MTH2302B plan de cours automme 2006

Bernard Clément

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• Publié par: Naphang
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Extrait

1 Département de mathématiques et de génie industriel MTH 2302D–Probabilités et statistique TD10:tests d’hypothèses DATE vendredi09 avril 2010 12h45/ 13h45 LOCALgroupe 01M2203 JulienHackenbeck LAMBERT HMGB x.yHines, W.W.,Montgomery, D.C.,Goldsman, D.M.,Borror, C.M. Probabilités et statistique pour ingénieursx= chapitrey= numéro W x.ysite WEBhttp://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm Exercices supplémentairesx= chapitrey= numéro 1.(WMGB 11.3) Le diamètre (cm)d’un type de boulon a un écart typede0,01. Le diamètre moyen d’un échantillon de 10 boulons est de 0,26. 1a)Tester l’hypothèse nulle que ces boulons proviennent d’une population de moyenne 0,25. Employer un risque de première espèce (seuil) alpha de 0,05. 1b) Calculerla taille échantillonnale nécessaire pour détecter un écart de diamètre de 0,01 par rapport à la moyenne de 0,25. 2. (WMGB 11.5) La durée de vie(en heures) d’ampoules de 100W obéit à une loi normale avec un écart typeσ= 25 heures. La durée de vie moyenne de 20 ampoules a été de 1014 heures. 2a) Testerl’hypothèse nulle que ces ampoules proviennent d’une population dont la durée moyenne est 1000. Utiliser un seuil (alpha) de 0,05 2b) Calculeret tracer la courbe de puissance (1β)du test en 2a). Utiliser lesvaleurs d’écartsΔ Δ= |μ –1000|= k *σ k= 0,51,0 1,5 2,0pour le calcul de la puissance 1–β. 2c) Comparerla compatibilité du résultat du test en 2a) avec un intervalle de confiance bilatéral dont le coefficient de confiance est 95%. 3. (WMGB 11.18) La températurede fusion d’un alliage doit être de 1000 degrés Celsius afin de bien réaliser une opération en métallurgie.Tout écart d’au moins Δ degrés par rapport à 1000 entraine une opération non réussie et l’on doit remplacer l’alliage par un nouveau dont la composition modifiée est couteuse. On admet que la température de fusion est une variable aléatoire de loi normale avec écart typeσ= 10. On veut réaliser un test statistique en contrôlant les risques (α , β) de mauvaises décisions : α: risque de première espèce = probabilité de rejeter une hypothèse nulle vraie β: risque de deuxième espèce = probabilité de ne pas rejeter un hypothèse nulle fausse Calculer la taille n de l’échantillon à préleverpour les cas suivants : α = 0,050,05 0,01β = 0,1010 15Δ = 520 Lequel de Δ ou de β est le plus influent sur la valeur de n?

2 4. (WMGB 11.7) Dans une usine d’embouteillagedeuxmachines sont employées pour faire le remplissage de bouteillesd’eau. Les machines sont réglées pour donner en principe un volume nominal de 16 onces. Les écarts types du volume de remplissage des deux machines sont de σ 1 sur la machine 1 et de= 0,015σ 2 sur la machine 2.= 0,018 Notons parμ 1 (μ 2 ) la moyenne de remplissage sur la machine 1 (machine 2). On veut comparer les 2 machines et vérifier si elles sont bien ajustées à leur valeur nominale. Un échantillon aléatoire de bouteilles sur chaque machine a donné les volumes de remplissage suivant : machine 1 :16,03 16,04 16,05 16,05 16,02 16,01 15,96 15,98 16,02 15,99 machine 2 :16,02 15,97 15,96 16,01 15,99 16,03 16,04 16,02 16,01 16,00 4a) Effectuerun test pour vérifier si la machine 1 a une moyenne de 16. Employer un seuil (alpha) de 0,05. 4b) Testersi les moyennes des deux machines sont égales. Utiliser un seuil (alpha) de 0,05 4c)Déterminer la taille n d’un échantillon à prendre sur chaque machine afin d’être capable de détecter un écart de 0,075= |μ 1 –μ 2 | entre les moyennes des machines. On suppose que : l’on prélèvera unéchantillon de même taille n sur chaque machine; si cet écart existe, on veut être sur à 0,90 de le détecter; la probabilité de rejeter l’hypothèse nullede contrôler à 0,05si les moyennes sont égales. 4d) Répondreà la question 4a) si l’on suppose que les écarts types des populations sont inconnus. 4e) Répondreà la question 4b) si les écarts types sont inconnus mais supposés égaux. 5. (WMGB 11. 8) Le département de développement de films d’unmagasin envisage de remplacer sa machine à développer. Le temps (minutes)de développement d’un rouleau est une caractéristique importante. La direction du magasin n’achètera pas la nouvellemachine à moins que le temps de développement moyen soit d’au moins 2 minutes inférieures à celui de sa machine actuelle. On admet que le temps de développement est normalement distribué, avec un écarttype de 1,5 sur la machine actuelle et de 1,0 avec la nouvelle machine. Un échantillon aléatoire de 12 rouleaux de 24 photos couleur est soumis à la machine actuelle et le temps moyen de développement observé est de 8,1. Un échantillon aléatoire de 10 rouleaux de 24 photos du même type de film est choisi pour tester la nouvelle machine et le temps moyen de développement observé est de 7,3. La direction du magasin devraitelle acheter la nouvelle machine? Employer un seuil (alpha) de 0,05 pour décider. 6. (W 8.9) Le tableau suivant est le résultat d’observations recueillies durant une période de temps fixée et il présente le nombre de voitures qui empruntent une voie rapideà un point d’entrée. nombre 01 23 45 6 7 8 voitures effectif n52 151 130102 4512 51 2 Tester l’ajustement de ces données à une distribution de Poisson à l’aide d’un test duKhideux. Employer un seuil (alpha) de 0,05.