Paramétrisation de l'ensemble des solutions d'un système de contrôle - Soutenance de thèse

Description

Param´etrisationParam´etrisation de l’ensemble des solutions d’unsyst`eme de contrˆoleSoutenance de th`ese8 juin 20051/36Param´etrisationPlanPlan1 Probl´ematique2 Syst`eme `a trois ´etats et deux entr´ees3 Cas g´en´eral : point de vue local alg´ebrique2/36Param´etrisationProbl´ematiquePr´esentation du syst`emeSoit n et m≤ n deux entiers.x˙ = f(x,u) (1)n mx ∈R et u∈R .n+mU ouvert deR .nf, analytique r´eelle, U→R .3/36¯ ¯ ¯Pour toute solution (x¯,u¯) de (1), il existe h = (h ,...,h )1 mtelle que x¯ ¯=φ(j (h)).μu¯Param´etrisationProbl´ematiqueSoit μ = (μ ,...,μ ) un m-uplet d’entiers positifs.1 m x=φ(j (h)) (2)μu(μ ) (μ )1 m˙avec j (h)(t) = (h ,h ,...,h ,h ,...,h ).μ 1 1 2 m1x˙ = f(x,u) (1)D´efinitionφ est une param´etrisation d’ordre μ de (1) siPour tout h = (h ,...,h ) fonctions arbitraires du temps,1 mt7→φ(j (h)(t)) est solution de (1).μ4/36Param´etrisationProbl´ematiqueSoit μ = (μ ,...,μ ) un m-uplet d’entiers positifs.1 m x=φ(j (h)) (2)μu(μ ) (μ )1 m˙avec j (h)(t) = (h ,h ,...,h ,h ,...,h ).μ 1 1 2 m1x˙ = f(x,u) (1)D´efinitionφ est une param´etrisation d’ordre μ de (1) siPour tout h = (h ,...,h ) fonctions arbitraires du temps,1 mt7→φ(j (h)(t)) est solution de (1).μ¯ ¯ ¯Pour toute solution (x¯,u¯) de (1), il existe h = (h ,...,h )1 mtelle que x¯ ¯=φ(j (h)).μu¯4/36Param´etrisationProbl´ematiqueExemple trivialExempleLe syst`eme trivial x˙ = u avec m = n est param´etrable.˙En effet, x = h et u = h5 ...

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Extrait

Param´etrisation

Parame´trisationdel’ensembledes syst`emedecontrˆole

Soutenancedethe`se

8 juin 2005

solutions

d un ’

1 / 36

aPra lP m a ´e n trisation

Plan

1

2

3

Proble´matique

Syste`mea`troise´tatsetdeuxentr´ees

Casge´ne´ral:pointdevuelocalalg´brique e

2 / 36

Para P m or ´e b t l r e´ is m a a t t i i o q n eu

Presentation du systeme ´ `

Soitnetm≤ndeux entiers.

x∈R n etu∈R m . Uouvert deR n+m . fquer´eel,analyti,el

x=f(x,u) ˙

fquer´eel,analyti,el U→R n .

(1)

3/63

Pam´rarietitas rP no ´lbotameqieu Puotr ¯u  = e  ¯x lequ ) tel ¯ , m h.,.. ¯ ( 1 h ¯ e=hstxile,i1)e()d¯u,x¯(noitulosetuo

(2)

(µ m ) avecj µ (h)(t) = (h 1 , ˙ h 1 , . . . ,h ( 1 µ 1 ) ,h 2 , . . . ,h m ). ˙x=f(x,u) (1)

D´efinition φdreasirte´mro’dnoitesrapanetuµde (1) si Pour tout h= (h 1 , . . . ,h m )fonctions arbitraires du temps, t7→φ(j µ (h)(t))est solution de (1).

/4 .)

Soitµ= (µ 1 , . . . , µ m ) unm-uplet d’entiers positifs.  u x  =φ(j µ (h))

63 µ j(φ)h ¯ (

aPar P m ro e´ b t l r ´e is m a a t t i i o q n eu

Soitµ= (µ 1 , . . . , µ m ) unm-uplet d’entiers positifs.  u x  =φ(j µ (h)) avecj µ (h)(t) = (h 1 ,h ˙ 1 , . . . ,h ( 1 µ 1 ) ,h 2 , . . . ,h ( m µ m ) ). x˙ =f(x,u) (1)

D´efinition φamartr´eatisndiotsepenuo’drerµde (1) si Pour tout h= (h 1 , . . . ,h m )fonctions arbitraires du temps, t7→φ(j µ (h)(t))est solution de (1). ¯ ¯ ¯ Pour toute solution(x¯,u¯)de (1), il existe h= (h 1 , . . . ,h m ) telle que  ¯ x¯  =φ(j µ (¯ u h)).

(2)

4/36

aPar P m ro e´ b t l r e´ is m a a t t i i o q n eu

Exemple

Exemple

trivial

Lesyst`emetrivial˙x=u ˙ En effet,x=hetu=h

avec

m

=

n

est

parame´trable.

5 / 36

Para P m or ´e b t l r ´e si m a a t t i i o q n ue

Exemple Lesyst`em e

 ˙x=vcosθ  y θ ˙= ˙ vsinθ  =u

estparam´etrable. En effet,

⇐⇒

x˙ sinθ−y˙ cosθ= 0

     x y θ = = a= h h r 1 2 ctan h h ˙ ˙ 2 1

(3)

(4)

6/63

leabriva +mtnsetenadnepe´dniselbavari i +1)c P (µPave’dDEe`emySts 36

Uneconditionn´ecessaire

Laparam´etrisationφ= (ϕ, ψ) d’ordreµudnoitari´evqu´el’fie sytemex=f(x,u) : ` ˙

k m X =1 µ X k ∂ ∂h ϕ ( j i k ) (j µ (h)).h (i k +1) =f j (ϕ(j µ (h)), ψ(j µ (h))) i=0

(5)

naet.s /7 dse´epdn raP ro n P ioatistr´eam uqeamitlbe´

aPar P m or ´e b t l r e´ si m a a t t i i o q n ue

Uneconditionne´cessaire

Laparame´trisationφ= (ϕ, ψ) d’ rdreµv´equation´deurifiel’ o syt`eme˙x=f(x,u) :

(5)

µ k X m X ∂ ∂h ϕ k ( j i) (j µ (h)).h (i k +1) =f j (ϕ(j µ (h)), ψ(j µ (h))) k=1i=0 Syste`med’EDPavec P (µ i tesetnadnepe´dnisleabriva1)+n+m variablesde´pendantes.

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lIe`aerestmerqxpri aPm´rariettisaon

Six˙ =f(x,u) est integrable. ´

admet

une

parame´trisation,

ce

sy t`me s e

d’EDP

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Probl´ematique

.φrpah) µ (tjanedc´´ea n tn )uua(f,x˙e=xiondolututesueto

aPar P m or e´ b t l r e´ si m a a t t i i o q n eu

Six˙ =f(x,uetdm)aamarepunst`emed’EDPe´rtsitaoi,necys est int´ rable. eg Il reste a exprimer que toute solution dex˙ =f(x,u) a un ` ante´ce´dantj µ (h) parφ.

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