Produit scalaire 2D, cours, standard

Marcel Délèze

Description

ProduitScalaire-Cours_standard.nb 8Géométrie métriqueEdition 2007-2008 / DELM§ 2 Produit scalaireŸ Liens hypertextesExercices correspondants de niveau standard:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Exercices_standard.pdfCours de niveau avancé:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Cours_avance.pdfExercices de niveau avancé:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaire-Exercices_avance.pdfSupports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère):http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html§ 2.1 Norme d'un vecteur, vecteur unitaireŸ Norme d'un vecteurNous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. Celles-ci représentent lemême vecteur si elles ontla même direction,le même sens etla même longueur.fiufiLe vecteur 0 est représenté par un point.fi fi fiDéfinition: la longueur du vecteur u est appelée norme de u et est notée þ uþ.Ÿ Propriétés de la normefi fiPour tous les vecteurs u, v et pour tous les nombres réels k, on afiþuþ ‡0fifi fiþuþ =0 – u = 0fi fiþk ×uþ = ýký × þuþfi fi fi fi fi fiý þuþ - þv þ ý £ þu +v þ £ þuþ + þv þCette propriété est appelée inégalité triangulaire car pour tout triangle (éventuellement dégénéré), la longueur d'un côtéest supérieure ou égale à la différence des longueurs des deux autres côtés mais inférieure ou égale à la somme deslongueurs des deux autres côtés. Le ...

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Extrait

Norme d'un vecteur

§ 2 Produit scalaire

Liens hypertextes

Exercices de niveau avancé: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireExercices_avance.pdf

Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html

® u

Nous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. Cellesci représentent le même vecteur si elles ont la même direction, le même sens et la même longueur.

® Le vecteur 0 est représenté par un point.

Propriétés de la norme ® ® Pour tous les vecteursu,vet pour tous les nombres réelsk, on a ® þ þ³ u0 ® ® ® þ þ= = u0u0 ® ® þ×þ=ý ý×þ þ k uk u ® ®® ®® ® ý þþ-þ þý£þ+þ£þ þ+þ þ u vu vu v

Géométrie métrique

§ 2.1Norme d'un vecteur, vecteur unitaire

Edition 20072008 / DELM

® ®® Définition: la longueur du vecteuruest appelée norme deuet est notéeþuþ.

ProduitScalaireCours_standard.nb

Cours de niveau avancé: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireCours_avance.pdf

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Exercices correspondants de niveau standard: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/ProduitScalaire2D/ProduitScalaireExercices_standard.pdf

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Cette propriété est appelée inégalité triangulaire car pour tout triangle (éventuellement dégénéré), la longueur d'un côté est supérieure ou égale à la différence des longueurs des deux autres côtés mais inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Le lecteur est invité à illustrer cette propriété.

Expression de la norme dans un repère orthonormé ® ® Par rapport à un repère orthonorméO,i,j, on donne les pointsPHx,yL,AHx 1 ,y 1 L,BHx 2 ,y 2 ) et on considère les vecteurs ® ® x ® = =× + × =K O uOPx iy j y ® ® -x 2 x 1 =H-L× +H-L× =K O ABx 2 x 1 i y 2 y 1 j -y 2 y 1

y

0

® u

® 2 2 þ þ= + u xy

P

x

B y 2 AB y 1 A

x 1

2 2 þ þ=H-L+H-L ABx 2 x 1 y 2 y 1 Exemple: La distance entre les pointsAH-2; 3LetBH4;-5Lest -H-L 4 26 2 2 þ þ=O þþ K=þ KO þ= +H-L= AB 68 10 - --5 38 Remarque: Attention

2 2 +¹+ =+ = 3 49 163 47 2 2 + = += = 3 49 1625 5

mais

x 2

Vecteur unitaire Définition: un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1. 0.8 2 2 Exemple: le vecteurest unitaire car0.8+H-0.6L=1. -0.6 ®  ® Proposition: un vecteur non nulvétant donné, il existe exactement deux vecteursu 1 ,u 2 qui sont à la fois liés àvet unitaires.

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ProduitScalaireCours_standard.nb

u 1 u 2

® v

® Eneffet, nous cherchons des vecteurs de la formek×vqui sont unitaires 1 ® ® þ×þ= ý ý×þ þ= ý ý= k v1k v1k ® þ þ v On obtient deux solutions -1 1 =ou= k 1 k 2 ® ® þ þþ þ v v ® - ® 1 1 =ou= u 1 v u 2 v ® ® þ þþ þ v v § 2.2Produit scalaire de deux vecteurs

Rappel du théorème du cosinus

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2 22 Dans le théorème du cosinusa=b+c-2b ccosHΑL, leterme-2b ccosHΑL représente la correction à apporter au théorème de Pythagore. Isolons la moitié de ce terme correctif:

1 2 2 2 b ccosHΑL=Ib+c-aM 2

C'est cette forme du théorème du cosinus que nous allons appliquer au triangle formé par deux vecteurs.

Théorème du cosinus pour deux vecteurs

 - + v u

v 1  =H L v v 2 Α A ® ® Il s'agit de récrire le théorème du cosinus avec les vecteursu,v: ® ® AC=v;b=þvþ;

 u 1 =H L u u 2

ProduitScalaireCours_standard.nb ® ® AB=u;c=þuþ; ® ®® ® CB=CA+AB= -v+u;a=þu-vþ;   L'angleΑdésigne l'angle entre les deux vecteursu et v. Le théorème du cosinus devient

2 22   1    °u´ °v´cosHΑL=K°u´+°v´-²u-v¶ O 2

Le membre de droite peut s'exprimer avec les composantes des vecteurs par rapport à une base orthonormée

2 22 1    1 2 22 2 2 2 u v uv uu vu K° ´+° ´-²-¶ O=II 1 + 2 M+Iv 1 + 2 M-IH 1 -v 1 L+Hu 2 -v 2 L MM 2 2 1 2 2 2 2 22 22 =Iu+u+v+v-u+2uv-v-u+2uv-vM 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 =u 1 v 1 +u 2 v 2 Finalement,   °u´ °v´cosHΑL=u 1 v 1 +u 2 v 2

Définitions du produit scalaire

  Chacun des deux membres de l'équationprécédente est dénommé produit scalaire et est notéu.v ® ® Ainsi, par rapport à une base orthonormée, en notantΑ =Ju,vN,

   =þ þþ þHΑL u.v uvcos u 1 v 1   =K O×K O= + u.v u 1 v 1 u 2 v 2 u 2 v 2

HVoirFormulaires et tablesL

® ® ® ®  Dans le cas particulier oùu=0 ouv=0, on convient queu.v=0.

Si duproduit scalaire, ortho ® ® En tenant compte des propriétés de la norme dans l'expressionþuþ þvþcosHΑL, on obtient ® ® ® ®® ® × >K¹ ¹etHΑL>O u v0u0,v0 cos0 ® ® ® ® K¹ ¹etΑest aiguO u0,v0 ® ® ® ®® ® × <K¹ ¹etHΑL<O u v0u0,v00 cos ® ® ® ® K¹ ¹etΑest obtusO u0,v0 ® ® ® ®® ® × =K= =ouHΑL=O u v0u0,v00 cos ® ® ® ® K= =ouΑest droitO u0,v0 ® ®® ® ¦ Dans ce dernier cas, on dit que les vecteursuetvsont orthogonaux et on noteu v. ® ®® ® u ¦ vv u0  ×= En composantes dans une base orthonormée u 1 v 1 ¦ u 1 v 1 u 2 v 2 0 K OK O += u 2 v 2

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ProduitScalaireCours_standard.nb

Interprétation géométrique du produit scalaire

Dans la figure suivante, H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite AB (on dit alors que AH est la

projection orthogonale de AC sur la direction de AB).

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Perpendiculairement à AB en A, on a reporté la longueur de AB (il s'agit plus précisément de l'image du vecteur AB par une rotation de 90° dans le sens rétrograde autour de A).

C

C

Α Α A HB H AB

× AB AC þ þ AB

- × AB AC þ þ AB

Dans le cas où l'angleΑest aigu, l'aire de la surface grisée représente le produit scalaire AB×AC

þ þ×þ þ=þ þ×J þþHΑLN= × AB AH ABAC cosAB AC

Dans le cas où l'angleΑest obtus, l'aire de la surface grisée est égale à l'opposé du produit scalaire AB×AC

þ þ×þ þ=þ þ×þJ þH° - ΑLN= AB AH ABAC cos180 þ þ×J-þ þHΑLN= -× AB ACcos ABAC

Propriétés du produit scalaire ® ® ® Pour tous les vecteursu,v,wet pour tous les nombres réelsk, on a ® ®® ®® ® ® ×J+N= × + ×HdistributivitéL u vw uv uw ® ®® ® × = ×HcommutativitéL u vv u ® ®® ®® ® JN× = ×JN=J×N k uv uk vk u v ® 2 ® 2 =J þþNHle carré scalaire est égal au carré de la normeL u u Pour les démonstrations, on peut exprimer tous les vecteurs dans une base orthonormée. Par exemple, pour la commutativité, exprimons chacun des deux membres en composantes puis comparons: ® ® u 1 v 1 × =K O×K O= + u vu 1 v 1 u 2 v 2 u 2 v 2 ® ® v 1 u 1 × =K O×K O= +ce qui établit l 'égalité. v uv 1 u 1 v 2 u 2 , v 2 u 2

ProduitScalaireCours_standard.nb

Le lecteur est invité à démontrer les autres propriétés.

Exemple 1 (problème résolu)

Dans un repère orthonormé, on donneAH-2; 3L,H5; 1L,CH0;-3L. Calculez le produit scalaire AB×AC. 7 2 × =K O×K O= × +H-L×H-L= AB AC7 22 626 - -2 6

Exemple 2 (problème résolu)

ABC est un triangle équilatéral de6 cm de côté; K est le milieu du segment AC; L est le milieu du segment KB.

Calculez les produits scalairesAB×AC, BK×BC, AB×BL, CA×KB,

K

C

L

B × =þ þþ þJJ NN×= ×H°L= AB ACAB ACcos AB,AC 66 cos 6018 6 3 × =þ þþ þJJ NN×= ×H°L= BK BCBK BCcos BK,BC 6cos 3027 2 3 327 × =þ þþ þJJ NN= ××H°L= -AB BLAB BLcos AB,BL 6cos 150 2 2 CA ¦ KB CAKB 0 donc× =

Angle entre deux vecteurs De la définition du produit scalaire, on tire ® ® × + u vu 1 v 1 u 2 v 2 HΑL= = cos   þ þþ þ 2 22 2 u v + + u 1 u 2 v 1 v 2

Exemple 3 (problème résolu)

Dans un repère orthonormé, on donneAH2; 3L,BH5; 1L,CH4; 0L. Calculez les angles du triangle.

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ProduitScalaireCours_standard.nb

A 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 B 0.5 1 2 3 4 5 -0.5 C -3 21 =K O=K O=K O AB ,AC ,BC - --2 31 × ×+H-L×H-L AB AC3 22 312 12 HΑL= == = cos þ þþ þ 2 2 13 3 2 13 13 AB AC +H-L +H-L 3 2 2 3 12 Α =» ° arccos 22.62 13 Durant le calcul précédent, on aura remarqué que le triangle est isocèle. Par suite ° - Α 180 Β = Γ =» ° 78.69 2

Produit scalaire et théorème du cosinus

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C'est en appliquant le théorème du cosinus à la géométrie vectorielle que nous avons construit le produit scalaire. Celui ci est donc apparu comme une conséquence du théorème du cosinus. Nous montrons maintenant que la réciproque est vraie, à savoir que le théorème du cosinus peut se déduire des propriétés du produit scalaire. En effet, pour un triangle de sommets ABC, en utilisant les notations usuelles, on a

2 22 22 2 2 = =J+N= +× += -× + aBA 2AB ACACBC BAAC BA2 BAAC AC 2 2 2 2 = -þ þþ þHΑL-+ =HΑL+ BA 2 ABAC cosACc2c bcosb 2 2 = + -HΑLà b c2b ccos

Ceci montre que, en calcul vectoriel, il est possible de se passer du théorème du cosinus. Il est d'usage de remplacer ce dernier par les propriétés du produit scalaire.