SCA-7212 Cours No.4 (2009) Approche bayésienne 2.1

Gauthier_P

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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Approche bayésienne et estimation des statistiques d’erreurDépartement des sciences de la terre et de l’atmosphèreUniversité du Québec à MontréalApproche bayésienne aux problèmes inversesFonction de densité de probabilité conjointe (pdf, probability density function ): p(x,y)* Densités de probabilité marginales associéesP(x)  p(x,y)dy, P(y)  p(x,y)dx A priori pdf P(x): probabilité que x=xt* Exemple: cas Gaussien pour lequel on connaitrait les covariancesd’erreur et que nous ayons x comme seule réalisation de x.b* La variable x est distribuée normalement de moyenne x et covariance bB 1 T 11P(x)  exp   (x  x ) B (x  x ) b b2CEn absence d’autre information, x = x est l’état le plus bprobable (maximum likelihood) 1SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Autre perspective au problème de l’estimationstatistique ...De même, pour P(y), si y correspond aux observations odisponibles,P(y): probabilité que y = ytEstimé de la moyenne: y = yoCas gaussien:1 T 11P(y)  exp   (y  y ) R (y  y ) o o2C2* Variable aléatoire distribuée normalement, de moyenne y et de ocovariance R2SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Théorème de Bayes• Distribution de la probabilité conditionnelle* Probabilité de y étant ...

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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009

Approche bayésiennee ’ t estimation des  statistiques d erreur

’ Département des sciences de la terre et de l atmosphère Université du Québec à Montréal

Approche bayésienne aux problèmes inverses Fonction de densité de probabilité conjointe (pdf, probability density function ): p(x,y) * Densités de probabilité marginales associées P ( x )   p ( x , y ) d y , P ( y )   p ( x , y ) d x A priori pdf P(x): probabilité que x=x t * Exemple: cas Gaussien pour lequel on connaitrait les covariances d’erreur et que nous ayons x b comme seule réalisation de x . * La variable x est distribuée normalement de moyenne x b et covariance B P ( x )  1 C exp  1 ( x  x b ) T B  1 ( x  x b ) 2 ’ ’ En absence d autre information, x = x b est l état le plus probable (maximum likelihood)

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’ Autre perspective au problème de l estimation statistique ...

De même, pour P(y), si y o correspond aux observations disponibles, P( y ): probabilité que y = y t Estimé de la moyenne: y = y o Cas gaussien: P ( y )  C 1 2 exp  1 2 ( y  y o ) T R  1 ( y  y o ) * Variable aléatoire distribuée normalement, de moyenne y o et de covariance R

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Théorème de Bayes • Distribution de la probabilité conditionnelle * Probab ( ilit | é de y o é ) tant do ( ( nn o o é , u ) n ) e certai ( P n ( e o , o v ) al ) eur de x   p y x x  p p x x , y y d y  p x x y * Probabilité de x étant donné une certaine valeur de y p ( x | y  y o )   p ( ( x x , , y y o ) ) d x  p ( P x ( , y y ) o ) p o * Conséquemment, p ( x , y )  p ( x | y ) P ( y )  p ( y | x ) P ( x )

( x y  p y x P x • Théorème de Bayes p : | )  ( P | ( y ) ) ()

Représentation des distributions de probabilité associées P( y | x ) y

Hx b y t y o

P( y )

P( x )

x t x b

x

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L état le plus probable (ou mode) ’ • p(x|y): probabilité que x= x t étant donné que y a été observé * Densité de probabilité a posteriori associée à celle de l’erreur d’analyse • p(y|x): probabilité de y étant donné que x est la valeur exacte * H(x) : estimé de la valeur moyenne y .  Si x = x t , alors Hx t = y t +  R . * ( y – H(x) ) = y t +  m - R  y t =  m - R * y est distribuée normalement, de moyenne H(x) et de covariance R qui inclut l’erreur de mesure et l’erreur de représentativi R té  y  y y  y T  m  R  m  R  T T   m  mT   R  R

Distribution conditionnelle de y • On conclut alors que p ( y | x )  C 1 3 exp     1 2  y  H  x  T R  1  y  H  x     • Remarque * Lorsque l’erreur d’observation n’est pas corrélée pour les différents types d’instruments  R  1      R 0 1  1 R 0  2 1 0 0      0 0 R 3 1 

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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009 Mode: d d dx  ln p    1 pd p x  0  d d p x  0 De par le théorème de Bayes: p ( x | y )  C exp  21 y  H x T R  1 1 y   y H y x o  T e R xp 1   y 1 2  ( x y o   x b ) T B  1 ( x  x b )  exp  2   ln p ( x y )  J ( x )  2 1  x  x b  T B  1 ( x  x b ) T  2 1 ( H  x   y ) T R  1 ( H  x   y )  C • Pour le c ’ asoùles statistiquessontgaussiennes, le  mode et l état minimisant la variance totale coïncident. • Formulation inclut le cas où H(x) est nonlinéaire. Distribution non-gaussienne pour p(x|y) associée à l assimilation d une mesure d intensité de vent ’ ’ ’ Distribution de probabilité a posteriori p(x|y) Opérateur d’observation u 2 2 0.5 X     HX  ,  u  v 0.4  v  0.3 Paramètres: u b  v b  0.4 0.2 0.2  b  v b  0  0.02 . 0.1 V obs  0 5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 p  |  exp   2  v  exp u v 2 . x y     u  u  u b 2   v  b 2         2   2  V obs 2    b o   P ( u , v ) 5

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Références

• Rodgers, C.D., 2000: sect. 2.3 • Tarantola, A., 2005: Inverse problem theory and methods for model parameter estimation . SIAM, Philadelphie, 342 pages. (ch.1) (disponible sur le Web à l’adresse http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/Books/index.html)

Contrôle de qualité

Département des sciences de la terre et de l atmosphère ’ Université du Québec à Montréal

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Introduction

• Nature des données reçues par les centres opérationnels * Grande variété de données provenant de plusieurs sources différentes * Plusieurs problèmes peuvent corrompre les données • Données incorrectes peuvent avoir un impact significatif sur l analyse ’ • Acquisition de données et le contrôle de qualité * Réception des données * Vérifie la qualité des données et rejet de celles ayant une forte probabilité d’être en erreur

Exemple: ajustement ’ par uneméthodedes moindres carrés en présence d une donnée en erreur grossière (tiré de Tarantola) • Régression linéaire: y = ax + b

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’ ’ Impact sur l analyse d une seule donnée en erreur ’ Rapport d une bouée dérivante: p = 1012.1 hPa ( 10 hPa trop basse) Analyse avec QC en noir Analyse sans QC en bleu

Contrôle de qualité

• Sources d erreurs : ’ * Erreurs de mesures associées à l’instrument * Erreur de représentativité * Instruments mal calibrés * Erreur d’inscription de l’observation * Erreurs dans la transmission des données

• Objectif : * Rejeter toutes les erreurs autres que celles associées à l’erreur de mesure * Identificateurs associés à chaque observation durant le processus d’assimilation

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Contrôle de qualité: rejets grossiers basé sur les valeurs extrêmes climatologiques

Limit values for surface tem erature Winter Summer Area Min2 Min1 Max1 Max2 Min2 Min1 Max1 Max2 45  S - 45  N -40  C -30  C +50  C +55  C -30  C -20  C +50  C +60  C 45  N - 90  N -90  C -80  C +35  C +40  C -40  C -30  C +40  C +50  C 45  S - 90  S Limit values for surface dew- oint tem erature Winter Summer Area Min2 Min1 Max1 Max2 Min2 Min1 Max1 Max2 45  S - 45  N -45  C -35  C +35  C +40  C -35  C -25  C +35  C +40  C 45  N - 90  N -99  C -85  C +30  C +35  C -45  C -35  C +35  C +40  C 45  S - 90  S

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Information contenue dans les innovations • Vecteur d innovation: y  Hx b ’ * Etat d’ébauche obtenue d’une prévision de courte échéance (6-h) contient l’information obtenue l’ensemble des observations assimilées précédemment * Comparaison des observations à l’ébauche qui résume notre connaissance a priori de l’état de l’atmosphère * L’ébauche fournit un état atmosphérique de référence contre lequel on peut comparer toutes les observations • Monitoring (surveillance) des observations * innovations sont représentées par types et moyennées sur un grand volume de données, après avoir été regroupées en différentes * Permet de détecter si un instrument particulier est défectueux

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71165 : Rae Lakes NWT Canada 71167 : Porter Lake NWT Canada 71168 : Powder Lake NWT Canada

wrongly assigned station elevation

Monitoring et contrôle de qualité Statistiques basées sur les innovations (y -HX b ): exemple extrait des radiances TOVS

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Vérification contre l ébauche ’ • Ecart entre l observation et X b : y  H ( X b ) ’

y  H ( X b )   o  H '  b (   H '  )(   H '  ) T  R  H ' BH ' T o b o b • Pour une seule observation: y  H ( X b )  2   o 2  b 2 • On doit calculer H ' BH ' T ce qui peut être accompli par une méthode de Observation est rejetée si y ˆ  y  H x b   (  o 2   b 2 ) 1 / 2 En prenant  suffisamment grand.

Difficulté associée avec la procédure du “background check” V obs . 

V obs. V obs.    Dé p p r r é ess e ion V obs . D a é n p a r l e y s s s é i e on vu V obs. 

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