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Rencien

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3- EME Thème N°5 : RACINES CARREES (2) CALCULS NUMERIQUES (2) : PUISSANCES A - PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF A - 1 Puissance d’exposant entier positif Définition : nSi n est un entier supérieur ou égal à 2, alors : aa= ×a×a×a××.........a n facteurs 1 0 De plus , a = a et pour a ≠ 0 , a = 1 Exemples : 4 35 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ; ( −6) = ( −6) × ( −6) × ( −6) = - 216 9 0 13 = 19 683 ( −3) = 1 (5,7) = 5,7 A – 2 Puissance d’exposant entier négatif Définition : 1−n n −nSi a ≠ 0, alors le nombre a est l’inverse de a . C’est-à-dire : a = na Exemples : 1 1 1 1 1−1 −2 −34 = = 0,25 ; 5 = = = 0,04 ; ( −2) = = = 0,125 31 24 5 25 ( −2) − 8 A – 3 Puissances de dix 1°) Cas ou l’exposant est positif nPour tout entier positif n, l’écriture décimale de 10 est un 1 suivi de n zéros n Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 10 × 10 × 10 × …..× 10 = 10 n facteurs 3 0 Exemples : ...

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Extrait

 3EME Thème N°5 : RACINES CARREES (2) CALCULS NUMERIQUES (2) : PUISSANCES

A PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF  A 1Puissance d’exposant entier positif Définition : n Sin est un entier supérieur ou égal à 2, alors :a=a×a×a×a×.........×a nfacteurs 1 0  Deplus , a=a  et poura≠, 0 a=1 Exemples : 4 3 5=5×5×5×5= (625 ;−6)=(−6)×(−6)×(−6)= 216 9 01 3=19 683(−3)=1 (5,7)=5,7  A– 2Puissance d’exposant entier négatif Définition : 1 −n n −n Sia≠0, alors le nombrea est l’inverse dea. C’estàdire : a= n a Exemples : −1 1 −2 1 1 −3 1 1 4= =50,25 ;= = =(0,04 ;−2)== =0,125 1 2 3 4 5 25 (−2)−8  A– 3Puissances de dix

1°)Cas ou l’exposant est positif n Pour tout entier positifn, l’écriture décimale dedeun 1 suivi10 estnzéros n Pour tout entiern=à 2,10 × 10 × 10 × …..× 10 supérieur ou égal 10  n facteurs 30 Exemples :10 1000 =×10×10 = 10; 1= 10  2°)Cas ou l’exposant est négatif  –n 1 1 Pour tout entier positifn=, 10 = =0, 000 … 01 ( n  zérosprécédent le 1 , sans oublier la n 10 10......0 virgule ) – 3 1 1 Exemple := 10 = == 0,001 3 10 1000  A– 4Ecriture scientifique d’un nombre décimal

n Nombre décimal non nul pouvant s’écrire sous la forme a 10 , avec a nombre décimal non nul ne un comportant qu’un seul chiffre non nul avant la virgule etnun entier relatif. 5 Exemple :  835 000 =8,35×100 000= 8,35×10  5  0,000056 =5,6×0,000 01= 5,6×10  A– 5Règles de calculs Si a ≠ 0et si m  et n  sont des entiers relatifs, alors : m m nm+n a m−P nn n×p a×a=a et=a; (a)=a n a Exemples : 4 24+52 6−3 5+(−3) 2−6 5−6+5−1 1 3×3=3= 3; 9×9=9=9 ;2×2=2=2= 2 5 12 −2 5−2+5 3 7 5−3 2 2 12−15−3 1 1 (−4)×(−4)=(−4)= (−4) ;=7=7 ;=2=2= = 3 153 7 2 2 8 7 2 32×4 43 6×7 28−5 2−5×2−10 (5 )=5= 5; ( (−8) ) =(−8)= (−(7 )8) ;=7= 7 Si a  et b si0 et sont des nombres différents de n est un entier relatif, alors : n n n nn ⎛ a ⎞ a (ab)=a b;= ⎜ ⎟ n ⎝ b ⎠ b Exemples : 2 22−23 2−3 2 −6 (2×3)=2×3=4×9=; (5 36×10 )=5×(10 )=25×10

2 2 2 22 2 2 2 ⎛ 4 ⎞ 4 16 2 (5 x )=5× x = 25x ; (2 5)=2×5=4×5=20 ; ⎜ ⎟ = = 2 ⎝ 5 ⎠ 5 25 A – 6Organiser un calcul avec des puissances

7 –5 7×10×25×10 Donne les écritures décimale et scientifique du nombre suivant : A. = 8 –2 14×10×10 7−5 7×25 10×10 On rassemble les nombres et les puissances de dix= A× 8−2 14 10 10 7+(−5) 7×25 10 On simplifie les nombres et les puissances de dix = A× 8+(−2) 2×7 10 2 25 10  A=× 6 2 10 2−6  A= 12,5×10 − 4  A= 12,5×10 1−4 L’écriture scientifique est A= 1,25×10×10 1+(−4)  A= 1,25×10  3 = 1,25 × 10 L’écriture décimale est  A= 1,250,001 = 0,00125 B – PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES Produit de deux racines carréesB – 1 Siaetbsont deux nombres positifs, alors on a : a×b=a×b Exemples:7×3=7×3=21 18×2=18×2=36=6 ATTENTION :a+b≠a+ab et−b≠a−b Méthodepour calculer une somme de nombres écrits avec des radicaux. Calculer l’expression A=45+3 20−11 5 donnant le résultat sous la forme en a b , oùaun entier est relatif etbun entier positif le plus petit possible. On remarque que: 45 = 9 ×20 =5 et 4 ×5 On écrit donc45et20en fonction de5 A= 9×5+3 4×5−11 5  A= 9×5+3×4×5−11×5  A= 3×5+3×2×5−11×5  A= 35+6 5−11 5 On factorise par5= A (3+6−11)×5 On écrit le résultat sous la formea b  A=−(2 5 a et=  2 b = 5) B – 2Quotient de deux racines carrées

a a =  Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a : b b 42 4232 32 Exemples : = =6= =16=4 7 72 2 Méthode pour calculer avec des quotients de racines carrées. 75 Soit l’expression B = . Simplifier et écrireBsans radical au dénominateur 6 L’expression est un quotient de deux nombres écrits avec des radicaux, 75 On réécrit B comme le radical d’un quotient. B = 6 25 On simplifie la fraction par 3. B = 2 25 On écrit B comme le quotient de deux nombres écrits avec des radicauxB = 2 5 On remarque que 25=5 B = 2 5 2 2 On multiplie le numérateur et le dénominateur par 2 car ( 2 ) =2B = 2 ( 2 ) 5 2 On donne le résultat sans radical au dénominateur B = 2