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• Publié par: Nifor
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• Langue: Français

Extrait

R´esum´e
L’objet de cette th`ese est une ´etude du sous-d´ecalage de type infini a` l’aide d’op´erateurs de
transfert et son utilisation pour l’´etude d’autres syst`emes dynamiques non uniform´ement hyper-
boliques.
Lapremi`erepartieestune´etudedu sous-d´ecalagedetypeinfini,T :F →F, ou`F estunepartie
invariante de l’ensemble des suites d’entiers. Pour cela, on s’int´eresse aux op´erateurs de transfert
agissant sur certains sous-espaces vectoriels de l’espace des fonctions scalaires.
On introduit une famille d’espaces de Banach de fonctions satisfaisant une condition de
r´egularit´e et une condition de d´ecroissance. Certaines hypoth`eses sur l’op´erateur de transfert
permettent de garantir sa continuit´e sur de tels espaces puis de le d´ecomposer en un op´erateur
compact de rayon spectral 1 et un op´erateur dont le spectre est inclus dans un disque de rayon
strictement plus petit que 1. On en d´eduit l’existence d’une fonction invarianteρ et d’une mesure
conforme m pour l’op´erateur. La mesured=ρdm est invariante.
Lesautresvaleurspropresisol´eesdemodule1sontli´eesauxpropri´et´esdem´elangedusyst`eme.
Sous une condition de m´elange topologique, on montre qu’il n’a qu’une valeur propre de module 1
et qu’elle est simple. Une telle d´ecomposition du spectre permet de conclure que la mesure est
ergodique, qu’elle satisfait la propri´et´e de m´elange faible, et la propri´et´e de m´elange exponentiel
pour certaines classes de fonctions.
La th´eorie des perturbations d’op´erateurs et des r´esultats d’inversion de Fourier permettent
demettreen´evidencedesclassesdefonctionssatisfaisantlesth´eor`emesdelimitecentrale,delimite
locale et des r´esultats de grandes d´eviations.
La deuxi`eme partie est consacr´ee a` l’application des r´esultats obtenus sur le d´ecalage `a l’´etude
d’autres syst`emes dynamiques non uniform´ement hyperboliques:
• Syst`emes symboliques. Le formalisme du d´ecalage se transpose naturellement pour l’´etude
des chaˆınes de Markov ainsi que pour celle des champs de Gibbs unidimensionnels.
• Syst`emes dilatants a` partition infinie. Il est standard de coder un syst`eme dynamique `a
l’aide d’une partition. Si la partition utilis´ee est infinie, le d´ecalage correspondant est de
type infini. Les r´esultatsde la premi`erepartiepermettent d’´ecriredes conditions sur le Jaco-
biendu syst`emefournissantuned´ecompositionspectralede l’op´erateurdePerronFrobenius,
l’existence d’une mesure de probabilit´e invariante absolument continue (p.i.a.c.), et une de-
scription du syst`eme sous la mesure invariante.
• Pointscritiques. Uneconstructioninspir´eeparYoung([BY92])permetdeconjuguercertaines
applications ayant des points critiques a` des syst`emes dilatants a` partition infinie auxquels
on peut appliquer les r´esultats obtenus.
1Contents
1 Pr´esentation 4
1.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Syst`emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Hyperbolicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Hyperbolicit´e non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 D´ecalage de type infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Notations et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Trou spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Spectre p´eriph´erique - M´elange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Th´eor`emes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Etude du d´ecalage de type infini 14
2.1 Formalisme du d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 D´efinition du d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Normes et espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Op´erateurs born´es sur un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Pression et pression a` l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Potentiels cohomologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Pression a` l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Spectre essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 D´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 It´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Autres conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Sous-partie stricte deS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4 Potentiel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Mesure conforme, Mesure invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Trou spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Fonction invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3 Mesure conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.4 Mesure invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 M´elange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.1 Semi-simplicit´e de la valeur propre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Simplicit´e de la valeur propre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.3 Autres valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.4 Potentiel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.5 Description ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.6 Synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7 Th´eor`emes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1 Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7.2 Cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.3 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.4 Th´eorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
22.7.5 Reformulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.6 D´emonstration du th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.7 D´emonstration des corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Applications 74
3.1 Chaˆıne de Markov non uniform´ement ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 Syst`emes dynamiques et d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Repr´esentation symbolique de syst`emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Passage de l’op´erateur de Perron Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.3 Transposition des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Applications d’un intervalle r´eel dans lui-mˆeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.1 Application dilatante avec une infinit´e de branches . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.2 Application avec un point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 Famille quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.4 Famille de type Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 M´ecanique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.1 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.2 Interpr´etation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.3 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3Chapter 1
Pr´esentation
Nous commencerons par rappeler quelques propri´et´es permettant de d´ecrire un syst`eme dy-
namique. Nous signalerons le roˆle important jou´e par l’´etude des op´erateurs de transfert sur le
d´ecalage de type fini dans l’´etude des syst`emes dynamiques hyperboliques.
Nous pr´esenterons ensuite l’ensemble des r´esultats obtenus sur le d´ecalage de type infini a