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• Publié par: Zazak
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• Langue: Français

Extrait

THÈSE DE DOCTORAT D’UNIVERSITÉ
Discipline : Mathématiques Appliquées
Spécialité : Analyse Numérique
présentée
à l’Université de Rouen
par
Olivier GUIBÉ
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE ROUEN
(arrêté ministériel du 30 Mars 1992)
Existence de solutions pour des systèmes
couplés non linéaires elliptiques ou d’évolution
Date de soutenance : 27 Janvier 1998
Composition du Jury :
Président : M. Derridj Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs : T. Gallouët Université de Provence, Marseille
F. Murat Directeur de Recherche CNRS, Paris VI
Directeur de Thèse : D. Blanchard Professeur, Université de Rouen
Examinateurs : Y. Brenier Université de Paris VI
C. Dellacherie Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen
F. Mignot Professeur, Université de Paris Sud, OrsayA la mémoire de mon père,T
OUT D’ABORD, je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance
à D. Blanchard. Par sa rigueur mathématique, sa disponibilité
et sa bonne humeur, il a su me guider dans ce travail et m’in-
culquer quelques principes simples que tout apprenti chercheur doit connaître.
F. Murat et T. Gallouët ont accepté d’examiner cette thèse. Leurs travaux
ont été pour moi un guide précieux.
M. Derridj, par ses excellents cours d’analyse, a participé à ma formation.
Il me fait un grand honneur en participant au jury.
C. Dellacherie a accepté de participer au jury. Dans son vivant atelier
destiné aux doctorants, j’ai beaucoup appris, et je me souviens encore d’une
colle sur les espaces euclidiens...
Je remercie Y. Brenier et F. Mignot pour l’honneur qu’ils me font en parti-
cipant au jury.
G. Grancher et O. Benois m’ont initié à T X. La lettrine de cette page leurE
est dédiée.
Je trouve ici l’occasion de remercier tous ceux qui, professeurs ou amis,
m’ont soutenu pendant mes études. Je pense en particulier à P. Donato,
S. Legros, L. Verney, J. Calbrix et T. de la Rue ainsi qu’à tous mes amis
doctorants et post-doctorants de l’UPRES-A 6085.
Mes remerciements s’adressent aussi à Régine, Sylvie et Marc pour leur
gentillesse et leur efficacité.
Enfin, je destine ce dernier propos à Emmanuelle, qui a su apprécier la
mélodie des cliquetis du clavier : sa présence m’a été indispensable et je lui
donne rendez-vous le 14.Table des matières
Introduction iii
Première Partie 1
1 Étude d’un système elliptique couplé 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Rappels de quelques propriétés des solutions renormalisées . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Existence d’une solution pour des données petites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 d’une pour deses quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Quelques résultats concernant l’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Étude d’un système formellement équivalent 23
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Définitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Existence d’une solution pour le système S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Une condition suffisante pour qu’une solution de S2 soit solution de S1 . . . . . . . 58
Deuxième Partie 65
3 Existence d’une solution pour un système non linéaire en thermoviscoélasticité 67
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Définitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Rappels de quelques propriétés des solutions renormalisées . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Existence d’une solution pour des données petites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 d’une sous une hypothèse sur f surR . . . . . . . . . . . . . . 80Introduction
Dans cette thèse nous étudions des systèmes non linéaires elliptiques ou d’évolution issus du
modèle de la thermoviscoélasticité suivant,
2@ u @u
(1) div A" (u) +B" +Df() =g dans
(0;T );
2@t @t

@ @u @u @u
(2) div a(x;t;D) =B" " f()tr " dans
(0;T );
@t @t @t @t
@u
(3) u(t = 0) =u ; (t = 0) =v ; (t = 0) = dans
;0 0 0
@t
(4) u = 0; = 0; sur @
(0;T );
Noù
est un ouvert borné deR (N = 2 ou N = 3) et T > 0, et on pose Q =
]0;T [.
NLes inconnues sont le champ de déplacement u :
(0;T )!R et le champ de température
:
(0;T )!R. L’équation (1) est l’équation de conservation de la quantité de mouvement. Les

1 t @u 1 @u @u ttenseurs" (u) = (ru + (ru) ) et" = (r + (r ) ) sont respectivement les tenseurs2 @t 2 @t @t
de déformations linéarisés et le tenseur des taux de déformations. Les tenseurs (d’ordre 4) A etB
sont les tenseurs d’élasticité et de viscosité et vérifient les hypothèses habituelles de symétrie et
@ucoercivité. Le champ de contraintes de Cauchy est donné par =A" (u)+B" f()I (avec
@t
I = ) dans lequel f()I représente la contrainte thermique; la fonction f étant continue deij ij
N
R dansR. Le vecteur g :
(0;T )!R représente les efforts extérieurs volumiques appliqués.
L’équation (2) est l’équation de conservation de l’énergie dans laquelle le second membre que l’on

@upeut écrire ( A" (u))" est la dissipation intrinsèque mécanique dans le milieu (voir par
@t
exemple [19] et [30]). Nous prenons une loi de diffusion non linéaire (a(x;t;) est un opérateur
monotone coercif à croissance linéaire à l’infini). La masse volumique (ici constante) est fixée à
1. Dans le cadre de la mécanique des fluides, des systèmes d’évolution non linéaires similaires à
(1)–(4) ont été analysés par P.-L Lions dans [24].
La linéarisation du système (1)-(2) autour d’une température constante conduit au système
bien connu de la (visco)-thermoélasticité linéaire qui est étudié, par exemple, dans [17] (et la
bibliographie de cet article). L’originalité du travail que nous présentons ici résulte de la prise en
2compte de la non linéarité de la dissipation mécanique dans (2). En supposant que g2 L (
(0;T )), l’analyse du cas très simple où f est bornée montre que le second membre de (2) est au
1 1mieux dans L ( (0;T )). Les nombreux travaux sur les équations paraboliques à données L
(linéaires ou non linéaires) depuis [7] (voir aussi [5] et [12] ) montrent que appartient, dans le
N+2pcas le plus favorable, à L ( (0;T )) avec p< .
N
1Pourrésoudre(1)–(4)(avecunsecondmembredansL )noussommesdoncconduitsàsupposer6
iv INTRODUCTION
que la fonction f vérifie une hypothèse de croissance à l’infini du type :
N + 2jf(r)ja +Mjrj 8r2R; avec a 0;M 0 et < :
2N
En fait, sous cette hypothèses de croissance, les arguments de type point fixe ou approximation
ne permettent pas en général de conclure quant à l’existence d’une solution au système (1)–(4) (la
difficulté étant d’obtenir une estimation sur ).
Afin de mieux comprendre la nature du système (1)–(4), nous étudierons une version elliptique
modèle :
(5) u div(ADu f()) =g dans
;
(6) div(a(x;D)) = (ADu f())Du dans
;
(7) u = 0; = 0 sur @
;
N 2où
est un ouvert borné de R (N 2), de frontière @
, , > 0, g2 L ( ) , f est continue
N 1deR dansR ,A est une matrice symétrique à coefficients dans L ( ) uniformément coercive et
1 1v! div(a(x;Dv) est un opérateur strictement monotone qui opère de H ( ) dans H ( ) .0
Des systèmes elliptiques non linéaires couplés du type (5)–(7), qui présentent des difficultés
différentes, ont été étudiés par B. Climent et E. Fernández-Cara [11], T. Gallouët et R. Herbin
[18], et R. Lewandowski [21].
Pour le cas du système (5)–(7), nous sommes aussi amenés à considérer l’équation (6) à donnée
1L , pour laquelle les travaux de L. Boccardo et T. Gallouët [7] (voir aussi [1], [8], [26] et [27])
Npmontrent que 2 L ( ) avec p < pour N > 2 et p < +1 pour N = 2. Conserver le cadre
N 2
1des données L pour le système (5)–(7), nous conduit à supposer que la fonction f vérifie une
hypothèse de croissance à l’infini du type :
8r2R; jf(r)ja +Mjrj ;
Navec a 0, M 0 et < si N = 2 ou < +1 si N = 2.
2(N 2)
Considérons le problème régularisé (5) –(6) , obtenu en remplaçant dans (5)–(6)