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Publications similaires

´UNIVERSITE DE NANTES
´FAC U LTE DES SCIENCES ET DES TECHNIQUES
´ECOLE DOCTORALE
SCIENCES ET TECHNOLOGIES
´DE L’INFORMATION ET DES MATERIAUX
Ann´ee 2004
SUR LES CORRESPONDANCES DE MCKAY
´POUR LE SCHEMA DE HILBERT DE POINTS
SUR LE PLAN AFFINE
Th`ese de Doctorat de l’Universit´edeNantes
´Sp´ecialit´e:Mathematiques et Applications
Pr´esent´ee et soutenue publiquement par
`Samuel BOISSIERE
le 27 septembre 2004 `a l’Universit´edeNantes
devant le jury ci-dessous
Pr´esident : Manfred LEHN Professeur (Mayence)
Rapporteurs : Geir ELLINGSRUD (Oslo)
´Eric VASSEROT Professeur (Cergy-Pontoise)
Examinateurs : Vincent FRANJOU Professeur (Nantes)
Dmitry KALEDIN Professeur (Moscou)
Fran¸ cois LAUDENBACH Professeur (Nantes)
Christoph SORGER (Nantes)
´Eric VASSEROT Professeur (Cergy-Pontoise)
Directeur de Th`ese : Christoph SORGER
Laboratoire : Jean Leray (UMR 6629 CNRS/UN)
◦N E.D. : 0366-158Je tiens `a exprimer ma profonde gratitude envers Christoph Sorger, mon
directeur de th`ese, pour ses encouragements permanents, son soutien et la
confiance qu’il m’a accord´ee. Nos longues discussions m’ont beaucoup appris
sur la vie d’un laboratoire de Math´ematiques ; j’ai pu profiter de son vaste
savoir math´ematique et me laisser guider par son intuition. J’ai aussi eu grand
plaisir et grand b´en´efice `a enseigner les travaux dirig´es de g´eom´etrie alg´ebrique
en Maˆıtrise de Math´ematiques sous sa direction.
J’adresse des remerciements tout particuliers `a Manfred Lehn pour son
aide, ses remarques judicieuses, sa disponibilit´eetlag´en´erosit´edesesid´ees
math´ematiques. Je suis tr`es honor´e qu’il ait accept´edepr´esider le jury et
le remercie aussi pour le contrat post-doctoral qu’il m’offre `a l’Universit´ede
Mayence.
´Je remercie Eric Vasserot pour ses ´eclaircissements, ses r´eponses `amesnom-
breuses questions, pour avoir accept´ederapportermath`ese et pour sa pr´esence
dans le jury. Je remercie aussi Geir Ellingsrud pour l’int´erˆet qu’il a port´e`ace
travail en acceptant de le rapporter.
Je suis flatt´e de remercier Vincent Franjou, Dmitry Kaledin et Fran¸ cois
Laudenbach pour avoir si´eg´edanslejury.
Pour leurs explications, r´eponses ou remarques, je remercie Michel Brion,
Baohua Fu, Victor Ginzburg, Mark Haiman, Laurent Manivel, Marc Nieper-
Wißkirchen et Miles Reid.
´Pour leur relecture attentive et leurs suggestions, je remercie Laurent Evain
et Friedrich Wagemann.
Je voudrais aussi remercier les membres du D´epartement de Math´ematiques
de l’Universit´e de Nantes, au sein duquel cette th`ese fut pr´epar´ee. Merci aussi `a
l’´equipedeth´esards pour la bonne humeur qui r´egnait, sp´ecialement `a Arnaud
Sourisse, dont l’amiti´e m’a accompagn´e pendant toutes ces ann´ees et qui s’est
occup´e de la reproduction de la th`ese.
Tout ceci n’aurait pu voir le jour sans la proximit´e de mes relecteurs stylis-
tiques pr´ef´er´es, supporters inconditionnels, garants de mon moral et de mon
garde-manger, Gaby et Denise, mes parents.ÀmesparentsSamuel Boissi`ere
SUR LES CORRESPONDANCES
´DE MCKAY POUR LE SCHEMA
DE HILBERT DE POINTS SUR
LE PLAN AFFINESamuel Boissi`ere
LaboratoiredeMath´ematiques Jean Leray, Universit´e de Nantes,
2 rue de la Houssini`ere, 44322 Nantes Cedex 03, France.
Classification math´ematique par sujets (2000). — Primaire 14C05 ;
Secondaire 05E05,20B30,55N91.
Mots clefs.—Sch´ema de Hilbert, correspondance de McKay, fonctions
sym´etriques, cohomologie ´equivariante, classes caract´eristiques, polynˆ omes de
Macdonald.SUR LES CORRESPONDANCES DE MCKAY
´POUR LE SCHEMA DE HILBERT DE POINTS
SUR LE PLAN AFFINE
Samuel Boissi`ere
R´esum´e.— Le quotient d’un espace vectoriel de dimension finie par l’action
d’un sous-groupe fini d’automorphismes est une vari´et´eeng´en´eral singuli`ere.
Sous bonnes hypoth`eses, la correspondance de McKay relie la g´eom´etrie de
bonnes r´esolutions des singularit´es aux repr´esentations du groupe. Pour le
sch´ema de Hilbert de points sur le plan affine, nous ´etudions comment les
diff´erentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative)
sont reli´ees les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules com-
binatoires pour les classes caract´eristiques des fibr´es vectoriels usuels sur le
sch´ema de Hilbert de points sur le plan affine. Parall`element, nous ´etudions le
comportement multiplicatif du th´eor`eme de Bridgeland, King & Reid construi-
sant la correspondance de McKay pour le sch´ema de Hilbert de points sur le
plan affine. Dans une derni`ere partie, nous calculons les classes de Chern du
fibr´e tangent au sch´ema de Hilbert de points sur le plan affine.x
Abstract (On the McKay correspondences for the Hilbert scheme of
points on the affine plane)
The quotient of a finite-dimensional vector space by the action of a finite
subgroup of automorphisms is usually a singular variety. Under appropriate
assumptions, the McKay correspondence relates the geometry of nice resolu-
tions of singularities and the representations of the group. For the Hilbert
scheme of points on the affine plane, we study how the different correspon-
dences (McKay, dual McKay and multiplicative McKay) are related to each
other. For this purpose, we compute combinatorial formulas for the charac-
teristic classes of the usual vector bundles on the Hilbert scheme of points on
the affine plane. We also study the multiplicative behavior of the theorem
of Bridgeland, King & Reid constructing the McKay correspondence for the
Hilbert scheme of points on the affine plane. We finish with the computation
of the Chern classes of the tangent bundle on the Hilbert scheme of points on
the affine plane.