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100 pages
oN d’ordre : 1830THESEPresentee aL’UNIVERSITE BORDEAUX IECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUEPar Xavier-Fran cois RoblotPOUR OBTENIR LE GRADE DEDOCTEURSPECIALITE : MATHEMATIQUES PURESAlgorithmes de factorisation dans les extensions relativeset applications de la conjecture de Starka la construction des corps de classes de rayonSoutenue le 26 juin 1997Apres avis de :MM. G. GRAS Professeur Universite de Franche-Comte RapporteursD. HAYES Universite du MassachusettsDevant la commission d’examen formee de :MM. Ph. CASSOU-NOGUES Professeur Universite Bordeaux I PresidentF. DIAZ y DIAZ Universite I ExaminateursD. FORD Professeur Universite ConcordiaM. OLIVIER Universite Bordeaux ID. SOLOMON Charge de Recherche King’s College London Rapporteur- 1997 -1iArrive au terme de ces trois annees de these, je me dois de remercier tous ceux et celles qui m’ont aide etsoutenu.Tout d’abord ma gratitude va a mes deux directeurs de these, Francisco Diaz y Diaz et Michel Olivier, quim’ont accompagne durant ce travail avec toutes leurs disponibilites et leurs competences. Je les remercie toutparticulierement d’avoir su diriger mes recherches tout en me laissant une grande liberte de man uvre.Je tiens a remercier egalement Henri Cohen et Jacques Martinet pour l’atmosphere conviviale de recherchequ’ils ont su creer au sein du laboratoire A2X, notamment dans le petit groupe de theorie algorithmique desnombres auquel j’ai eu ...
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oN d’ordre : 1830
THESE
Presentee a
L’UNIVERSITE BORDEAUX I
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
Par Xavier-Fran cois Roblot
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPECIALITE : MATHEMATIQUES PURES
Algorithmes de factorisation dans les extensions relatives
et applications de la conjecture de Stark
a la construction des corps de classes de rayon
Soutenue le 26 juin 1997
Apres avis de :
MM. G. GRAS Professeur Universite de Franche-Comte Rapporteurs
D. HAYES Universite du Massachusetts
Devant la commission d’examen formee de :
MM. Ph. CASSOU-NOGUES Professeur Universite Bordeaux I President
F. DIAZ y DIAZ Universite I Examinateurs
D. FORD Professeur Universite Concordia
M. OLIVIER Universite Bordeaux I
D. SOLOMON Charge de Recherche King’s College London Rapporteur
- 1997 -
1i
Arrive au terme de ces trois annees de these, je me dois de remercier tous ceux et celles qui m’ont aide et
soutenu.
Tout d’abord ma gratitude va a mes deux directeurs de these, Francisco Diaz y Diaz et Michel Olivier, qui
m’ont accompagne durant ce travail avec toutes leurs disponibilites et leurs competences. Je les remercie tout
particulierement d’avoir su diriger mes recherches tout en me laissant une grande liberte de man uvre.
Je tiens a remercier egalement Henri Cohen et Jacques Martinet pour l’atmosphere conviviale de recherche
qu’ils ont su creer au sein du laboratoire A2X, notamment dans le petit groupe de theorie algorithmique des
nombres auquel j’ai eu la chance d’appartenir.
Je suis tres sensible a l’honneur que m’ont fait Georges Gras et David Hayes qui ont accepte d’^etre mes
rapporteurs. Et je tiens a exprimer ma plus sincere gratitude a ce dernier ainsi qu’ a David Solomon pour
l’inter^et constant qu’ils ont porte a mon travail.
Je remercie egalement Philippe Cassou-Nogues et David Ford qui ont accepte d’^etre membres de mon jury.
Je suis redevable a Mauricette Jaubert et Daniel Ynbourg pour le soin et la diligence qu’ils ont apporte a
l’impression de cette these, et a Emmanuel Tollis pour son aide concernant le calcul des fonctions L.
Finalement, j’exprime toute mon amitie et ma sympathie a tous mes camarades de travail de la salle 100
et d’ailleurs, a mes amis et a mes parents.ii
SOMMAIRE
Introduction
0. Quelques notations, de nitions et resultats
0.1 Groupes et caracteres 1
0.2 Corps de nombres 2
0.3 Theorie du corps de classes 2
1. Factorisation des polyn^ omes dans un corps de nombres et modulo
un ideal premier
1.1 Factorisation p-adique : methode de Buchmann-Lenstra 5
1.2 F p : methode Round 4 6
1.3 F des polyn^ omes dans un corps de nombres 6
1.4 Factorisation des polyn^ omes modulo un ideal premier 10
1.5 Applications de la factorisation des polyn^ omes dans un corps de nombres 14
1.6 de la modulo un ideal premier 17
2. Calcul de certains corps de classes de rayon par les unites de Stark
2.1 Les conjectures de Stark dans le cas abelien 27
2.2 Applications aux corps totalement reels 29
2.3 Methode de calcul explicite 31
2.4 Veri cation du resultat 39
2.5 Un exemple de construction 42
2.6 Corps de classes rami ees a l’in ni 44
2.7 Sur l’existence du corps K 47
3. Construction des corps de classes de Hilbert de corps totalement reels
3.1 dans le cas h = 2 51k
3.2 Construction dans le cas h 3 52k
3.3 Veri cation du resultat dans le cas h 3 55k
3.4 Une methode de reduction 55
4. Quelques applications et constructions particulieres
4.1 Extensions scindees de corps de classes 59
4.2 Classes de Steinitz de l’extension H =k 61k
4.3 Extensions non abeliennes non rami ees 63
4.4 Corps de petits discriminants 64
4.5 Construction de certains groupes de Galois 65
4.6 Corps CM diedraux principaux 66
Bibliographie
67
Tables de corps de classes de Hilbert de corps totalement reels
de degre 2, 3 et 4
A.1 Corps quadratiques 69
A.2 cubiques 75
A.3 Corps quartiques 87iii
INTRODUCTION
Ce travail de these s’inscrit dans deux orientations disctinctes : d’une part, le premier chapitre decrit une
nouvelle methode de factorisation des polyn^ omes dans un corps de nombres, ainsi qu’une methode de factori-
sation des polyn^ omes modulo un ideal premier. Ce chapitre s’accompagne d’un grand nombre d’applications
et d’exemples. D’autre part, les chapitres 2 et 3 sont devolus a la description d’une methode explicite de
construction de certains corps de classes de rayon via les conjectures de Stark, le chapitre 3 etant plus par-
ticulierement consacre a la construction du corps de classes de Hilbert ; le dernier c donne quelques
applications ou remarques concernant les exemples construits gr^ ace aux methodes developpees dans les deux
chapitres precedents.
Ces dernieres annees ont vu l’apparition de multiples algorithmes fournissant des reponses satisfaisantes
aux problemes e ectifs de base de la theorie algorithmique des corps de nombres (calcul du discriminant, d’une
base d’entiers, decomposition des nombres premiers, calcul d’un systeme d’unites fondamentales, du groupe des
classes...). Ainsi, il est possible de calculer tous ces objets dans des corps de nombres de discriminant raisonnable
allant jusqu’au degre 25.
Neanmoins, il est apparu qu’on atteignait les limites actuelles de ces algorithmes et des ordinateurs et que,
si on souhaitait s’aventurer plus loin, il devenait necessaire de ne plus considerer uniquement des extensions
deQ, mais de travailler desormais avec des extensions relatives. C’est ainsi qu’ont commence a appara^ tre des
generalisations des algorithmes absolus au cas relatif, et avec l’arrivee de telles methodes, des corps de nombres
de degre de plus en plus grand sont devenus accessibles ; on peut a present s’attaquer a des corps imprimitifs
de degre 100 et plus.
Le premier chapitre de cette these s’inscrit dans ce travail de generalisation des algorithmes absolus au
cas relatif en presentant un nouvel algorithme de factorisation des polyn^ omes dans un corps de nombres, ainsi
qu’une generalisation de l’algorithme de Berlekamp de des polyn^ omes modulo un nombre premier,
aux ideaux premiers d’un corps de nombres. L’algorithme de factorisation dans un corps de nombres utilise le
fait que tout corps de nombres k peut se plonger dansQ pour certains nombres premiers p et les methodesp
connues de factorisation p-adique. Le point crucial ici etant de retranscrire les informations obtenues dansQp
en des informations dans k ; on utilise pour cela la methode de reduction LLL appliquee a certains reseaux.
Les methodes usuelles impliquent de factoriser surQ un polyn^ ome de degre egal au produit du degre du
polyn^ ome a factoriser dans k par le degre du corps de nombres k, et donc, ne sont plus vraiment performantes
des que le degre du polyn^ ome ou du corps de nombres augmente trop. En revanche, l’algorithme presente ici
n’obeit pas a de telles contraintes et a permis de calculer la factorisation de polyn^ ome de degre 20 sur un corps
de m^eme degre en un temps raisonnable (quelques minutes).
L’algorithme de factorisation des polyn^ omes dans un corps de nombres modulo un ideal premier est une
generalisation de l’algorithme du^ a Berlekamp ; on a simplement inclus le cas pair qui n’est pas pris en con-
sideration dans le travail initial deamp.
Apres avoir expose ces deux algorithmes, on illustre leur utilite par de multiples applications et exemples.
En e et, la factorisation des polyn^ omes que ce soit dans un corps de nombres ou modulo un ideal premier est un
outil essentiel. Citons entre autres : calcul des automorphismes d’un corps, decomposition des ideaux premiers
dans une extension relative, calcul d’une pseudo-base de l’anneau des entiers d’un corps de nombres vu comme
module sur l’anneau des entiers d’un sous-corps, test d’inclusion a isomorphisme pres... Ce chapitre se termine
par une presentation de l’algorithme ROUND 4 relatif.
L’idee selon laquelle les valeurs d’une fonction z^eta (ou d’une fonction L) en certains points entiers fournit
de nombreuses informations sur la structure a laquelle elle est attachee n’est pas nouvelle. Ainsi, il existe de
nombreuses constructions permettant de construire de telles fonctions a partir de corps de nombres, courbes
elliptiques, formes modulaires etc...
Les conjectures de Stark reposent sur l’idee que les fonctions L attachees aux caracteres d’un groupe des
classes de rayon contiennent non seulement des informations sur le corps de base lui-m^eme, mais aussi sur
l’extension abelienne de ce corps associee a ce groupe par la theorie du corps de classes. C’est en quelque sorte
une generalisation du fait que certaines fonctionsL de Dirichlet surQ font appara^ tre des racines de l’unite qui
sont des elements privilegies des corps cyclotomiques.iv
Une application immediate (et utilisee d’ailleurs par Stark lui-m^eme) est de se servir de ces conjectures pour
trouver des elements generateurs des corps de classes de rayon, et de fournir ainsi une reponse au XIIe probleme
de Hilbert. Un premier obstacle survient lorsque les fonctionsL considerees ont un zero d’ordre strictement plus
grand que 1 au point s = 0. En e et, dans ce cas, ce n’est plus une mais plusieurs unites que fait appara^ tre
la conjecture a travers leur regulateur ; il n’est alors pas possible de les dissocier. C’est pourquoi on est oblige
de supposer que le corps de base sur lequel on travaille est totalement reel. Pour des raisons analogues, on est
aussi force de se restreindre aux corps de classes de rayon non rami es aux places in nies.
Apres avoir rappele une forme des conjectures de Stark dans le cas abelien, on est donc amene a faire
ces deux restrictions concernant la signature du corps de base k et celle de son extension abelienne L. Avec
ces restrictions, la conjecture de Stark permet de construire explicitement un element primitif de l’extension,
fournissant ainsi une reponse explicite mais conjecturale. L’idee est d’appliquer la conjecture a une extension
quadratique K=L abelienne sur k et veri ant certaines conditions aux places nies et in nies. Cette methode
reposant sur des conjectures et des calculs approches, on developpe dans ce m^eme chapitre une procedure de
veri cation de la construction a n de pouvoir certi er les resultats obtenus. On utilise egalement la theorie de
Kummer a n de construire des corps de classes de rayon rami es aux places in nies a partir de ceux construits
par les conjectures de Stark. On presente aussi dans ce chapitre un exemple de construction et de veri cation,
ainsi qu’une section devolue a une restriction technique concernant cette methode.
Le troisieme chapitre est consacre a l’application du chapitre precedent pour la construction du corps de
classes de Hilbert de corps totalement reels. En e et, de nombreux points de la se simpli ent
notablement dans ce cas. On expose aussi une autre construction du corps de classes de Hilbert quand le
nombre de classes vaut 2 par la theorie de Kummer. Ces methodes ont ete utilisees pour calculer explicitement
le corps de de Hilbert des premiers corps totalement reels de degre 2, 3 et 4 (voir les tables donnees en
annexe).
Le dernier chapitre montre ce que pourrait ^etre une exploitation de ces tables ou de cette methode. Cepen-
dant, il est a noter que les concepts et les resultats qui y sont exposes restent tres simples et ne font appel qu’ a
des outils elementaires.
En conclusion, l’algorithme de factorisation presente dans cette these etant une generalisation de l’algorithme
sur Q, il est vraisemblable qu’il ne pourra ^etre notablement ameliore que quand de nouvelles methodes plus
e caces auront ete decouvertes pour l’algorithme absolu. Il est certes possible d’utiliser la factorisation modulo
un ideal premier puis un relevement de Hensel plut^ ot que la factorisation p-adique ; cependant, il est apparu
apres de multiples essais que la methode p-adique etait de loin preferable. Neanmoins, cette option reste une
possibilite future pour d’eventuelles ameliorations.
Pour ce qui est de la methode de construction de corps de classes de rayon via les conjectures de Stark,
beaucoup de choses restent encore a decouvrir. Tout d’abord, il reste a etablir l’existence du corpsK necessaire
a la construction (voir section 2.7) ou de trouver des contre-exemples. Il serait egalement utile de trouver des
nouvelles methodes de reduction lors des calculs a n d’eviter l’explosion des nombres a gerer. Il reste a regler
aussi les autres cas, ie quand le corps de base n’est plus totalement reel. Cela suppose de travailler avec des
fonctions L dont le zero en s = 0 est d’ordre strictement plus grand que 1. Pour de telles hypotheses, les
conjectures sur les fonctions L font appara^ tre plusieurs unites et le probleme se pose de comment separer ces
unites. De surcro^ t, dans un tel cas, de multiples formes de la conjecture existent et il serait utile de proceder
a des constructions explicites a n de tester ces di erentes formulations. Un autre axe de recherche dans ce
domaine est de travailler non plus avec des fonctions L complexes, mais de considerer plut^ ot des fonctions
p-adiques. Il semble que dans ce domaine, du point de vue algorithmique, beaucoup reste a faire.
Pour nir, il reste evidemment a demontrer ces conjectures. Si les outils algorithmiques ne sont pas d’une
grande aide pour cela, ils permettent neanmoins de calculer explicitement des exemples sur lesquels il est alors
possible de chercher quelques indices pour cette demonstration. En ce sens, les tables construites peuvent aussi
avoir leur utilite.CHAPITRE 0
QUELQUES NOTATIONS, DEFINITIONS ET RESULTATS
1. Groupes et caract eres 1
2. Corps de nombres 2
3. Th eorie du corps de classes 2
0.1. Groupes et caracteres
Les references pour cette section sont : [26] pour le debut et [5], Algebraic Supplement, pour la theorie des
caracteres.
Soit G un groupe, l’element neutre de G est note 1 ou plus simplement 1 quand il n’y a pas de risque deG
confusion. On designe parjGj le cardinal de G. Le centre de G, note Z(G), est l’ensemble des elements de G
qui commutent avec tous les autres elements. Pour un sous-groupe distingue H de G, on denote par (G : H)
l’indice de H dans G.
SoitG un groupe abelien de type ni ; pour un nombre premier p, lep-rang deG, noter (G), est le nombrep
de composantes cycliques de G d’ordre divisible par p. Il ne depend pas du choix de la decomposition de G en
composantes et, bien sur,^ tout nombre premier p divise l’ordre d’une composante cyclique in nie.
On a egalement la formule :
p r (G)p(G :G ) =p ;
et le nombre de sous-groupes d’indice p de G est :
r (G)pp 1
:
p 1
^Soit G un groupe abelien ni ; on designe par G le groupe des caracteres de G, ie des homomorphismes de
groupes de G dansC : C’est un groupe isomorphe a G. Les deux formules de sommation suivantes sont tres
utiles. Pour tout caractere sur G, on a :
X jGj si = 1 ^G
(g) =
0 sinon
g2G
et pour tout element g de G : X jGj si g = 1G
(g) =
0 sinon
^2G
Soit H un sous-groupe de G ; alors tous les caracteres de H peuvent ^etre etendus a des caracteres de G
et ceci de (G :H) fa cons distinctes. De m^eme, on peut relever tout caractere du groupe quotient G=H en un
caractere de G de maniere canonique. Pour un caractere xe de G=H, le caractere obtenu s’appelle alors leere induit. Un caractere de G est dit primitif s’il n’existe pas de sous-groupe non trivial H de G et de
caractere de G=H dont il soit le caractere induit.
1 2 0. QUELQUES NOTATIONS, DEFINITIONS ET RESULTATS
0.2. Corps de nombres
Les references pour cette section sont : [5], [29] et [34].
Soit k un corps de nombres, ie une extension algebrique nie de Q. On designe par [k : Q] son degre.
L’anneau des entiers algebriques dek est noteO ; c’est un anneau de Dedekind dont le discriminant est appelek
le discriminant du corps k et on le designe par d . On noteD la di erente de k ; c’est le dual deO pour lak k k
forme trace et sa norme absolue vautjdj. On appelle signature du corps k le couple d’entiers (r ;r ) tel quek 1 2
r + 2r = [k :Q] ou r est le nombre de plongements reels de k et 2r le nombre de plongements complexes.1 2 1 2
A chaque plongement v de k dansC, on associe une place in nie noteej:jv
Le groupe des ideaux fractionnaires dek est noteI et le sous-groupe des ideaux principauxP . Le groupek k
quotient I =P est un groupe ni note Cl et appele le groupe des classes de k ; son cardinal h est le nombrek k k k
de classes. Pour tout ideal fractionnaire a dek, on designe parNa la norme absolue de cet ideal de nie comme
le cardinal du quotient (O =a) si l’ideal a est entier et etendue par multiplicativite a tous les ideaux. A chaquek
ideal premier p, on associe une valuation val , une place nie j:j et nalement le corps complete de k en cettep p
place k .p
Le groupe des elements inversibles deO est appele le groupe des unites dek et noteE . C’est unZ-modulek k
(multiplicatif) de rangr :=r +r 1 dont la partie de torsionW est formee par les racines de l’unite contenues1 2 k
dans k.
SoitK une extension nie de k. On note d le discriminant relatif ; c’est un ideal entier dek. On designeK=k
par N et T la norme et la trace de K sur k. Pour tout ideal premier P de K, l’ideal p := P\k estK=k K=k
un ideal premier de k. On dit que P est au-dessus de p et que p est au-dessous de P ; on utilise la m^eme
terminologie pour les places in nies. On de nit l’ indice de rami cation e (K=k), et le degre residuelf (K=k),P P
respectivement par :
e (K=k) := val (pO )P P K
et :
f (K=k)PNP =Np :
Si cette extension est galoisienne, on designe par Gal(K=k) son groupe de Galois. Dans ce cas, l’indice
de rami cation et le degre residuel ne dependent que de p et on les note plut^ ot e (K=k) et f (K=k), ou plusp p
simplemente etf quand il n’y a pas de risque de confusion. Pourw une place deK, l’ensemble des elementsp p
de Gal(K=k) qui stabilise cette place forme le groupe de decomposition de w ; on le note D (K=k). Dans lew
cas ou l’extension est abelienne, il ne depend que de la placev dek au-dessous dew et on ecrit plut^ otD (K=k)v
ou plus simplement D quand il n’y a pas de risque de confusion.v
0.3. Theorie du corps de classes
Les references pour cette section sont : [34] et [43].
Soit m un module dek, ie le produit formel d’un ideal entier dek note m et d’un ensemble de places in nies0
reelles dek note m . On noteI (m) le groupe des ideaux fractionnaires dek premiers avec m . Le sous-groupe1 k 0
des ideaux engendres par un element congru multiplicativement a 1 modulo m est designe parP (m). Le groupek
quotient Cl (m) := I (m)=P (m) est appele le groupe des classes de rayon modulo m. Les sous-groupes dek k k
Cl (m) sont appeles les groupes de congruence modulo m. Pour un ideal a de k premier avec m , [a] designek 0 m
la classe de a dans Cl (m).k
Soit n un module divisant m, ie n j m et n m ; il existe une surjection canonique notee s de0 0 1 1 m;n
Cl (m) sur Cl (n). Un module m est appele un conducteur s’il n’admet pas de diviseur strict n pour lequelk k
cette surjection est un isomorphisme. A chaque groupe de congruenceH modulo m et a chaque diviseur n
de m, on peut associer le sous-groupeH modulo n de ni par H := s (H). On dit que le module m estn n m;n
le conducteur du groupe de congruenceH s’il n’existe pas de diviseur strict n de m tel que Cl (m)=H soitk
isomorphe a Cl (n)=H par l’application induite par s .k n m;n
La theorie du corps de classes permet d’associer a un couple (H;m) ouH est un groupe de congruence
modulo m, une extension abelienne nie de k. Le conducteur de cette extension est le conducteur du groupeH.0.3. THEORIE DU CORPS DE CLASSES 3
Cette correspondance est bijective si on se restreint aux couples (H;m) ouH est un groupe de congruence de
conducteur m.
L’extension associee au couple (1;m) est appelee le corps de classes de rayon modulo m et note k(m). En
particulier, l’extension associee au couple (1;O ) est le corps de de Hilbert, note H .k k
Soit K une extension abelienne de k de conducteur f. Les ideaux premiers rami ees dans K=k sont ex-
actement les ideaux premiers divisant f ; les places in nies reelles de k qui deviennent complexes dans K sont0
exactement celles contenues dans f . Le groupe des normes de K=k est le groupe engendre par P (f) et les1 k
normes des ideaux de K premiers avec fO . En quotientant ce groupe par P (f), on obtient le groupe de0 K k
congruenceH associe a K modulo f. Pour un ideal premier p non rami e dans K=k, son degre residuel dans
l’extension K=k est alors l’ordre de sa classe dans Cl (f)=H:k
Le groupeCl (f)=H est isomorphe au groupe de Galois deK=k, l’isomorphisme etant donne par l’applicationk
d’Artin. On de nit cette application pour un ideal premier p non rami e dans K=k en lui associant son Frobenius
dans Gal(K=k), note et de ni comme l’unique element de ce groupe de Galois tel que :p
Np () (mod P)p
pour tout2K, ou P est un ideal premier deK au-dessus de p. Ce Frobenius est egalement un generateur du
groupe de decomposition D (K=k). On etend cette application a tous les ideaux de I (f) par multiplicativite.p k 4 0. QUELQUES NOTATIONS, DEFINITIONS ET RESULTATSCHAPITRE 1
^FACTORISATION DES POLYNOMES DANS UN CORPS DE
NOMBRES ET MODULO UN IDEAL PREMIER
1. Factorisation p-adique : ethodem de Buchmann-Lenstra 5
2. p :m Round 4 6
3. des polyn^omes dans un corps de nombres 6
4. Factorisation desomes modulo un id eal premier 10
5. Applications de la factorisation dans un corps de nombres 14
6. de la modulo un id eal premier 17
La factorisation des polyn^ omes a coe cients rationnels est un outil indispensable de la theorie algorithmique
des nombres. Elle intervient dans de multiples problemes concernant l’etude des corps de nombres surQ. Avec
le developpement des methodes relatives (cf [9], [11], [12], [15]...), la factorisation des polyn^ omes sur un corps
de nombres devient de m^eme un outil primordial.
On presente dans ce chapitre un nouvel algorithme s’inspirant directement de celui utilise sur Q et plus
perfomant en general que ceux dej a existant ( cf [8], [25], [36], [44] et [55]). Cet algorithme utilisant la
factorisation p-adique, les deux premieres sections sont consacrees a la presentation de deux methodes de dansQ [X]. On decrit egalement une methode de factorisation des polyn^ omes modulo un idealp
premier suivant la technique proposee par Berlekamp (cf [4]) pour les corpsF .p
Finalement, on termine ce chapitre par un certain nombre d’exemples d’applications de ces algorithmes.
1.1. Factorisation p-adique : methode de Buchmann-Lenstra
Soit S le polyn^ ome a coe cients dans Q que l’on cherche a factoriser. La premiere chose a faire est dep
multiplierS par un entierp-adique assez grand de maniere a ce que ses coe cients soient des entiers p-adiques.
Ainsi, on suppose desormais que le polyn^ ome S est a coe cients entiers.
Comme S est connu par une approximation de ses coe cients dans Z[X], on peut aussi supposer sans
perte de generalite queS est a coe cients entiers et irreductible dans Z[X] (cf [25] ou [8] section 3.5 pour une
methode de factorisation surZ). De plus, comme S est irreductible dansQ[X], il est separable dansQ [X].p
On note une racine de S dans une cl^ oture algebrique xee de Q. La factorisation de S dansQ [X] estp
intimement liee a la decomposition du nombre premier p dans le corps de nombres k :=Q().
On xe un entier n 1 qui represente la precision voulue sur les coe cients des facteurs irreductibles de S
n(i.e. on cherche une approximation de ses coe cients modulo p ).
SoitO un ordre p-maximal de k obtenu par exemple a l’aide des algorithmes Round 2 ou Round 4. On
commence par decomposer le nombre premier p dans cet ordre en utilisant la methode decrite dans [8] section
6.2. On obtient :
gY
eipO = p ;i
i=1
ou les ideaux p sont premiers (dansO) et deux a deux distincts. De plus, on connait une representation de cesi
ideaux sous la forme :
p :=pO +Oi i
5

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