These Probleme de Cauchy caracteristique et scattering conforme en relativité

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presentee parTHESE DE l’UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
Jeremie Joudiouxsous le sceau de l’Universite europeenne de Bretagne
preparee au Laboratoirepour obtenir le titre de
de Mathematiques de BrestDOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE
sous la direction deMention: Mathematiques
Jean-Philippe NicolasEcole Doctorale SICMA
Probleme de Cauchy caracteristique
et scattering conforme
devant le jury compose de:en relativite generale Christian Gerard, president
Professeur a l’Universite Paris Sud
These soutenue le 2 juin 2010
Lars Andersson
Professeur au Max planck Institute fur GravitationphysikApres avis des rapporteurs:
Dietrich Hafner
Professeur a l’Universite Joseph FourierLars Andersson
Stephen HugettProfesseur au Max planck Institute fur Gravitationphysik
Reader a l’Universite de Plymouth
Philippe LeFloch Philippe LeFloch
Directeur de recherche a l’Universite Paris 6
Directeur de recherche a l’Universite Paris 6
Jean-Philippe Nicolas, directeur de these
Professeur a l’Universite de Bretagne Occidentale
Rachid Regbaoui
Ma^ tre de conference habilite a l’Universite de Bretagne OccidentaleIntroduction
Le probleme de Cauchy caracteristique en relativite generale, et plus particulierement
lorsqu’il est pose sur un c^one de lumiere, est un probleme central en relativite. Tout d’abord
d’un point de vue heuristique, nous observons de l’univers un c^one passe. La question se
pose donc de savoir si il est possible d’extrapoler a partir de ces donnees ce qui se passe
a l’interieur de ce c^one. Par ailleurs, un c^one de lumiere est une structure naturelle sur
une variete lorentzienne. Le probleme de Cauchy usuel suppose au contraire de considerer
un probleme d’evolution : ceci implique un double choix arbitraire non intrinseque d’une
surface de Cauchy pour les donnees initiales et d’un feuilletage temporel. D’un point de
vue technique, le probleme de Goursat est un outil essentiel qui intervient frequemment
en relativite :
dans l’etude des equations d’Einstein et de leur stabilite, le probleme de Cauchy
caracteristique est un element crucial ; on peut ainsi citer les travaux de Klainerman-
Nicol o ([58, 57]) ou plus recemment, Nicol o ([74] ou Caciotta-Nicol o ([10]) sur le
probleme caracteristique pour les equations d’Einstein.
Penrose s’interessa au debut des annees 1960 [77, 78] aux proprietes de radiation
des solutions d’equations des ondes. Son approche par compacti cation conforme lui
permet de decrire le comportement asymptotique des champs le long de rayons lumi-
neux comme des proprietes de traces sur une hypersurface caracteristique a l’in ni :
la resolution du probleme de Cauchy traduit alors le fait que que le comportement
asymptotique determine les solutions. L’approche de Penrose a ete reprise dans un
cadre numerique ([36]) et a donne lieu aux premieres theories de scattering conformes
dans le cas plat par Friedlander ([40]) puis par Baez-Segal-Zhou ([6]).
Le travail presente ci-apres est dans la lignee des travaux de Jean-Philippe Nicolas e ectues
sur le probleme de Cauchy caracteristique pour les equations de Dirac ([49, 50, 69, 70, 71])
et sur le probleme du scattering en relativite, en particulier celui de scattering conforme
([62, 63]). L’etude se concentre sur deux points :
l’etablissement d’une formule integrale pour le probleme de Cauchy caracteristique
pour l’equation de Dirac generalisant au cas courbe les travaux de Penrose dans [78] ;
un resultat de scattering conforme pour une equation des ondes non lineaire confor-
mement invariante sur un espace asymptotiquement simple.
Nous presentons dans la suite rapidement les idees sous tendant ce travail. Dans un
premier temps, nous introduisons la structure de c^one de lumiere, en insistant sur le
formalisme qui a ete utilise pour le decrire. Il s’ensuit une breve presentation du probleme
de Cauchy caracteristique ou sont en particulier presentees deux methodes de resolution.
Cette introduction s’acheve sur un resume des travaux e ectues.ii INTRODUCTION
Geometrie lorentzienne et relativite
Nous presentons dans cette section le cadre et les outils geometriques des travaux qui
suivent, avec un accent particulier sur la notion de structure nulle en relativite.
Dans toute cette section, on considere une variete lisse M de dimension 4 munie d’une
forme bilineaire symetrique g lisse de signature (+ ). Un tel espace est denomme
espace-temps . Par abus, la forme bilineaire g est aussi appelee metrique lorentzienne
(ou metrique) sur M.
M est par ailleurs munie d’une orientation temporelle.
Cadre geometrique
La structure de c^one de lumiere est essentielle en relativite generale a plus d’un titre.
Pour le present travail, elle joue un r^ole fondamental du fait qu’elle regit la propagation
des ondes et qu’elle determine la structure conforme de l’espace-temps. On s’attache dans
cette section a decrire brievement la structure de c^one de lumiere sur une variete, les
di cultes d’ordre geometrique et les methodes utilisees pour les etudier.
Etant donnee la signature de la metrique, il existe dans l’espace tangent en chaque
point de l’espace-temps un c^one de lumiere. Ce dernier est projete sur la variete a l’aide
de l’application exponentielle. On obtient alors sur M, de nie localement, une notion de
c^one de lumiere, qui, epointe en son sommet, est alors constitue de deux composantes
connexes, correspondant respectivement aux images des c^ones futur et passe.
Il est important de noter que cette de nition du c^one de lumiere est une de nition
locale. Les limites d’existence du c^one de lumiere sont celles qui de nissent le cut-locus
au point p : l’existence de champs de Jacobi entre p et un point du bord, nuls en ces
deux extremites (la di erentielle de l’exponentielle n’est pas injective) ou cisaillement
de geodesiques nulles issues de p (defaut d’injectivite de l’exponentielle ; voir [12]). Cette
limitation a une certaine importance dans la propagation des ondes dans un espace-temps.
L’un des outils fondamentaux de description d’une structure nulle est le formalisme de
Newman-Penrose et sa version compactee, le formalisme de Geroch-Held-Penrose :
1. la premiere est le formalisme de Newman-Penrose sous sa forme vectorielle : il re-
pose sur le choix d’une tetrade, dite de Newman-Penrose, formee de quatre vecteurs
complexes (l;n;m;m) de type lumiere formant une base deT MC, normalisee oup
non ;
A A2. a cette tetrade correspond une unique (modulo signe) base locale (o ; ) du bre
AS des spineurs a deux composantes (ou spineurs de Weyl) ; on obtient alors le
formalisme spinoriel de Newman-Penrose ;
3. lorsqu’on tient compte des proprietes de transformation des objets du formalisme
de Newman-Penrose par changement d’echelle des spineurs de la dyade, on obtient
le formalisme de Geroch-Held-Penrose qui ne repose que sur le choix de deux di-
rections isotropes, l et n, les deux autres etant laissees variables ; c’est un forma-
lisme plus souple et particulierement adapte a l’etude dynamique des congruences
de geodesiques isotropes.
L’etude de la geometrie des c^ones de lumiere est un sujet important en relativite
generale, tant comme objet fondamental (pour la propagation des ondes, pour la struc-
ture nulle a l’in ni) que comme outil de description de la geometrie locale d’une varieteiii
lorentzienne (pour les feuilletages par des hypersurfaces caracteristiques, par exemple). De
nombreux travaux lui ont donc ete consacres. L’approche fondatrice de Penrose, Newman-
Penrose et plus particulierement Geroch-Held-Penrose a ete utilisee tout d’abord par Pen-
rose dans son article [78] dont nous etendons les resultats dans cette these : il obtient
en espace-temps plat une formule integrale pour les solutions du probleme de Cauchy ca-
racteristique pour les equations d’ondes de spin arbitraire ; la dynamique des geodesiques
au sommet du c^one joue d’une part un r^ole essentiel dans sa construction et le formalisme
GHP y est d’autre part utilise pour veri er a posteriori que sa formule de nit bien une
solution. Ce formalisme est egalement a la base des travaux de Ehlers et al. ([34, 80, 35])
s’interessant aux caustiques sur les c^ones de lumiere et a ete developpe plus avant par
Frittelli-Newman et al. (voir par exemple [41, 42]) dans leur etude des singularites des sur-
faces isotropes. Des idees analogues sont egalement developpees dans les travaux recents
de Klainerman-Nicol o ([30, 59]) et Klainerman-Rodnianski ([60]).
Compacti cation conforme
Un probleme delicat en relativite est de de nir un comportement asymptotique sans re-
courir au choix d’une fonction de temps. Cette methode a ete introduite par Penrose dans
[77] pour etudier le comportement asymptotique de l’equation des ondes sur l’espace-temps
plat (ou plus precisement le peeling des solutions de l’equation des ondes, c’est- a-dire la
construction d’un developpement le long de geodesiques nulles). Le principe
consiste a faire un reechelonnement de la metrique g a l’aide d’un facteur conforme
en
2introduisant la metrique g^ =
g. Lorsque
est bien choisi, la variete (M;g^) se prolonge
^en une variete lorentzienne a bord (M;g^) dont le bord est donne par
= 0. Ce dernier
+est compose de deux composantes connexes I et I correspondant, respectivement, aux
extremites future et passee des geodesiques de type lumiere pour la metrique g. Si l’on
ajoute l’hypothese