These Vauclair

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• Publié par: Miching
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• Langue: Français

Extrait

Conjecture de Greenberg g¶en¶eralis¶ee et
capitulation dans lesZ -extensions d’un corpsp
de nombres
David Vauclair
D¶ecembre 2005R¶esum¶e : Le cadre g¶en¶eral de cette thµese est celui de la th¶eorie d’Iwa-
sawa. Nous nous int¶eressons plus particuliµerement µa la conjecture de Green-
bergg¶en¶eralis¶ee(multiple)(GG).Aprµesavoirreli¶ecelle-ciaµdifi¶erentsproblµe-
mesdecapitulationpourcertainsgroupesdecohomologie p-adiquesendegr¶e
(i) (i) (i)2 (FCap , TCap , fCap ), nous proposons une version faible (GGf) de
(GG) dont nous montrons la validit¶e, pour tout corps de nombres F conte-
nant„ et un corps quadratique imaginaire dans lequel (p) se d¶ecompose, dup
moment que F v¶erifle la conjecture de Leopoldt. Les outils d¶evelopp¶es per-
mettent de retrouver et de g¶en¶eraliser (notamment dans des Z -extensionsp
autre que laZ -extension cyclotomique) un certain nombre de r¶esultats clas-p
siques en th¶eorie d’Iwasawa.
Mots-cl¶es : Th¶eorie d’Iwasawa, cohomologie galoisienne, capitulation, cup-
produit, conjecture de Greenberg g¶en¶eralis¶ee.Table des matiµeres
1 Th¶eorie d’Iwasawa des groupes de cohomologie p-adique 11
1.1 D¶eflnitions et propri¶et¶es fondamentales . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Th¶eorie d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
(i)1.2.1 Les modules X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
(¡i) (i)1.2.3 Lien entreX et X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 La conjecture de Greenberg g¶en¶eralis¶ee 35
2.1 Th¶eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Sur les ⁄-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
(¡i) (i)2.1.2 Lien entreX et A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Diަerentes formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Le cas cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Cup produit dans uneZ -extension 60p
3.1 Etude du cup-produit par mont¶ee et descente . . . . . . . . . 61
1 23.1.1 L’application[a:H (F;Z (i))!H (F;Z (i)) . . . . 61p pS S
3.1.2 Symbole de S-unit¶es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Th¶eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Cup produit et normes universelles . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 A propos des univ . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 Sur la structure de certains modules . . . . . . . . . . 83
4 Capitulation 94
4.1 Th¶eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.1 Cup produit et capitulation . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.2 Les noyaux de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 La conjecture faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2.1 R¶ecapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.2 R¶esultats n¶egatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.3 R¶ positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2Introduction
L’objet initial de la th¶eorie d’Iwasawa classique est l’¶etude du compor-
tement asymptotique de groupes de nature arithm¶etique (essentiellement
le groupe de classes) dans une Z -extension (souvent cyclotomique) F =Fp 1
de groupe ¡. Par limite projective dans la tour F =F, on d¶eflnit des mo-1
0 0dules X (F ) = limCl(F )›Z sur l’algµebre d’Iwasawa ⁄ = Z [[¡]] =1 n p p
ˆ¡
limZ [G(F =F)].L’¶etudeasymptotiqueenquestionser¶esumealorsµad¶etermi-p n
ˆ¡
nerlastructuredecesmodules.Comme⁄estunanneaunoeth¶erienfactoriel
dedimensiondeKrull¶egaleaµ2,ondisposed’unth¶eorµemedeclassiflcationdes
⁄-modules de type flni aµ pseudo-isomorphisme prµes. En 1973 R. Greenberg
a propos¶e la conjecture suivante :
0 cConjecture 0.0.1 (GC) ([G1]) Le module d’Iwasawa X (F ) associ¶e aux
cp-groupes de classes dans la tour cyclotomique F =F d’un corps de nombres
totalement r¶eel est pseudo-nul.
0Cette conjecture ¶equivaut µa la trivialit¶e de Cl(F )›Z . Il est bien connu1 p
+que pour F =Q(„ ) , cette conjecture est un afiaiblissement de la conjec-p
ture de Vandiver, si bien que (GC) constitue une g¶en¶eralisation raisonnable
(d’une version faible) de la conjecture de Vandiver aµ tous les corps r¶eels.
La conjecture (GC) a fait l’objet de nombreuses ¶etudes, dont beaucoup ont
fournidesexemplesnum¶eriquescorroborantsavalidit¶e.Plustard,sefondant
sur une heuristique dans le cas ouµ F est un corps quadratique imaginaire
(p)-d¶ecompos¶e, attach¶e aµ une courbe elliptique µa multiplication complexe,
~R. Greenberg proposa une g¶en¶eralisation (GG) de (GC). On note F=F le
~compositum de toutes les Z -extensions de F, ¡ son groupe de Galois, etp
~ ~ ~⁄=Z [[¡]]. ⁄ est un anneau noeth¶erien factoriel dont la dimension de Krullp
~est ¶egale µa rg ¡+1, si bien qu’on dispose encore d’un th¶eorµeme de classi-Zp
~flcation des ⁄-modules de torsion. On se propose dans cette thµese d’¶etudier
diަerents aspects de la conjecture (GG) :
0~ ~Conjecture 0.0.2 (GG)([G3]conj.3.5,voiraussi[G2])Le⁄-moduleX (F)
est pseudo-nul.
Si F est un corps totalement r¶eel, la conjecture de Leopoldt pr¶edit que la
Z -extensioncyclotomiqueestl’uniqueZ -extensiondeF ;sic’estvrai,(GG)p p
co˜‡ncide alors avec (GC). On possµede quelques exemples de corps (non r¶eels)
3v¶eriflant (GG). Le r¶esultat le plus spectaculaire serait celui de [MC] et [Ma1]
concernantQ(„ )silapreuveen¶etaitcomplµete,nousreviendronssurcepointp
en 2.3. Plus r¶ecemment, W. McCallum et R. Sharifl ont montr¶e (GG) pour
Q(„ ),p<1000eti(p)•1(l’indiced’irr¶egularit¶edep).Leurm¶ethodereposep
d’abord sur l’¶etude d’un certain cup-produit, puis sur la th¶eorie de Hida et
certaines propri¶et¶es d’un op¶erateur de Hecke, v¶erifl¶ees num¶eriquement (cf
[MCS], [Sh]).
Le point de vue adopt¶e dans cette thµese est le suivant. Soit E=F une
0Z -extension multiple, et laissons E =F parcourir ses sous-extensions flnies.p
Plut^ot que de travailler avec le module X(E) attach¶e au p-groupe de classes
0(ou m^eme le module X (E) attach¶e au p-groupe de (p)-classes) dont le com-
portement galoisien laisse µa d¶esirer, on s’int¶eresse syst¶ematiquement au mo-
(i) 2 0dule X (E) := limH (G (E );Z (i)), celui-ci ayant un comportement ga-S p
ˆ¡
0loisien id¶eal. Comme le p-groupe de (p)-classes de E co˜‡ncide avec la Z -p
2 0torsiondeH (G (E );Z (1)),onpeutconsid¶ererquecepointdevueenglobeS p
l’¶etude du p-groupe de (p)-classes. Les m¶ethodes de la th¶eorie d’Iwasawa se
heurtentn¶eanmoinsrapidementµaladi–cult¶esuivante:eng¶en¶eral,legroupe
2 0H (G (E );Z (1)) n’est pas flni (son quotientZ -libre s’identifle au moduleS p p
de Tate du S-groupe de Brauer). On contournera souvent cette di–cult¶e en
2 0choisissantunboni(ie.telquetouslesgroupesH (G (E );Z (i))consid¶er¶esS p
soientflnis,parexemplei‚2,parunth¶eorµemedeC.Soul¶e).Lechangement
d’objet par rapport aµ la th¶eorie d’Iwasawa classique n’est en fait qu’appa-
rent puisqu’il est possible de changer i au-dessus de laZ -extension multiplep
consid¶er¶ee, dµes que celle-ci contient laZ -extension cyclotomique.p
La ligne conductrice est l’¶etude de la conjecture de Greenberg g¶en¶eralis¶ee
(voir 2.2.3). Nous proc¶edons en deux temps : Dans un premier temps (Cha-
pitres 1 et 2), on ¶etablit le lien pr¶ecis entre (GG) et difi¶erents problµemes de
capitulation (faible, total, fort...) pour les groupes de cohomologie p-adiques
en degr¶e 2. De fa»con vague, cette premiµere partie correspond µa l’¶etude du
conoyau de l’application de capitulation (voir le chap. 1 pour la d¶eflnition de
mH )S
~2 2 ¡~H (F;Z (i))!H (F;Z (i))p pS S
Ensuite, on entame l’¶etude du problµeme de capitulation lui-m^eme. Nous pro-
posonsalorsl’afiaiblissementsuivantde(GG)(voir2.2.3etflnduparagraphe
2.2) :
(i)Conjecture 0.0.3 GGf (conj. 4.2.10) : Le noyau de l’application de ca-
pitulation ci-dessus est non trivial.
4L’approche propos¶ee consiste en l’¶etude d’un certain cup-produit. Nous ob-
tiendrons le r¶esultat positif suivant (cor. 4.2.23) :
Th¶eorµeme 0.0.4 SoitF un corps de nombres contenant „ . On suppose quep
F v¶erifle la conjecture de Leopoldt. Si F contient un corps quadratique ima-
(i)ginaire k dans lequel (p) se d¶ecompose, alors F v¶erifle la conjecture GGf
pour i‚2.
Au passage, les m¶ethodes d¶evelopp¶ees pour obtenir ce r¶esultat permettent
de donner de nouvelles preuves d’un certain nombre de r¶esultats classiques
de la th¶eorie d’Iwasawa cyclotomique, et de les ¶etendre facilement aux Z -p
extensions quelconques.
Le plan est le suivant. Les notations qui ne sont pas expliqu