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Une redéfinition de la dérivée

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Pourquoi le calcul différentiel fonctionne - et pourquoi il ne fonctionne pas

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Ajouté le : 15 février 2014
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Une redéfinition de la dérivée (Pourquoi le calcul différentiel fonctionne — et pourquoi il ne fonctionne pas)
1 Introduction
parMiles Mathis
Dans cet article, je prouverai que l’invention du calcul différentiel utilisant des séries infinies et son interprétation subséquente utilisant des limites étaient toutes deux des erreurs d’analyse du problème donné. En fait, comme je le montrerai, elles furent toutes deux basées sur la même erreur conceptuelle : appliquer des différences de plus en plus petites sur une courbe mathématique (une courbe des-sinée dans un graphe). De cette manière, j’éviterai et finalement falsifierai les ana-lyses standards comme non-standards.
UNE REDÉFINITION DE LA DÉRIVÉE
Le nid d’erreurs historiques que je vais soulever ici n’est pas seulement un nid sémantique, métaphysique ou de mauvaises définitions ou méthodes. C’est aussi une erreur dans la recherche de solutions. J’ai maintenant utilisé mes corrections à la théorie pour démontrer quedifférentes preuves sont fausses. De plus, ma meilleure compréhension du calcul différentiel m’a permis de montrer que celui-ci est mal utilisé dans desproblèmes physiques simples, donnant la mauvaise ré-ponse.
En redéfinissant la dérivée, je vais également saper les supposition de base de toutes les topologies actuelles, y compris la topologie symplectique — qui dé-pend de la définition traditionnelle dans son utilisation de points dans l’espace des phases. De même, l’algèbre linéaire, l’algèbre vectorielle et le calcul tensoriel seront fondamentalement affectés par ma redéfinition, car je montrerai que les mathématiques actuelles sont des représentations erronées des divers espaces ou domaines qu’ils espèrent exprimer. Toutes les représentations d’espaces vectoriels, abstraites ou physiques, réelles ou complexes, composées d’une quelconque com-binaison de scalaires, vecteurs, quaternions ou tenseurs, seront influencées, car je montrerai que tous les espaces mathématiques basés sur Euclide, Newton ou Cauchy, ainsi que les définitions courantes du point, de la ligne et de la dérivée sont au moins d’une dimension inférieure à l’espace physique. C’est-à-dire que les variables ou fonctions dans toutes les mathématiques actuelles interagissent dans des espaces qui sont des espaces mathématiques, et que ces espaces mathéma-tiques (tous ces espaces) ne représentent pas l’espace physique.
Ce n’est pas une controverse philosophique de ma part. Ma thèse n’est pas qu’il existe une certaine déconnexion métaphysique entre les mathématiques et la réalité. Ma thèse, prouvée mathématiquement ci-dessous, est que les définitions historiques ainsi que celles couramment acceptées de point, ligne et dérivée ma-thématique sont toutes fausses pour la même raison fondamentale, et que ceci fal-sifie tout espace mathématique. Je corrige cependant les définitions, ce qui permet une correction du calcul différentiel, de la topologie, des algèbres linéaire et vec-torielle et des tenseurs (parmi bien d’autres choses). De cette façon, le problème est résolu une fois pour toutes, et il n’y a pas besoin de parler de métaphysique, de formalisme ou autre charabia ésotérique.
En fait, je résous le problème par la méthode la plus simple qui soit, sans re-cours à l’un quelconque des systèmes mathématiques que je critique. Je n’aurai pas besoin de mathématiques autres qu’une analyse numérique élémentaire, de la géométrie de base et de la simple logique. Je fais cela ostensiblement, puisque la nature fondamentale du problème et son statut de plus ancien problème mathé-matique encore en place l’ont rendu peu réceptif à toute autre analyse abstraite. Le problème n’a pas seulement défié toute solution, il a défié toute détection. Il faut donc qu’une analyse des fondements soit faite au niveau élémentaire : toute utilisation de mathématique supérieure ne ferait que déplacer la question. Cela a comme avantage supplémentaire de rendre cet article compréhensible à tout lec-
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teur patient. Quiconque ayant des notions de calcul différentiel (et même ceux qui n’en ont pas) sera à même de suivre mes arguments. Les mathématiciens profes-sionnels pourront trouver tout ceci ennuyeux pour diverses raisons, mais on leur demande d’être bienveillants, car eux aussi pourront s’apercevoir qu’une analyse différente, à un rythme différent et dans un «langage »différent peuvent amener des résultats nouveaux et utiles.
Le produit final de ma preuve sera une re-dérivation de l’équation au cœur du calcul différentiel, par une méthode qui n’utilise aucune série infinie et aucun concept de limite. Je ne re-dériverai pas l’intégrale dans cet article, mais le nouvel algorithme que j’apporte ici rend aisée cette re-dérivation, et personne ne pourra douter que l’entièreté du calcul a été réétablie sur des bases plus solides.
Il peut également être intéressant pour beaucoup de monde de comprendre que ma méthode me permet de montrer, de la manière la plus simple qui soit, pourquoi le calcul ombral, ou calcul symbolique, a toujours fonctionné. Beaucoup de travail formel a été réalisé sur le calcul ombral depuis 1970; mais, bien que les diverses équations et techniques du calcul ombral aient été connectées et étendues, elles n’ont jamais été complètement fondées. Ma réinvention et ma ré-interprétation du Calcul des Différences Finies me permet de montrer — en soulevant un seul voile — pourquoi des indices agissent exactement comme des exposants dans beaucoup de situations.
Finalement, et peut-être est-ce le plus important, ma réinvention et ré-inter-prétation du Calcul des Différences Finies me permet de résoudre beaucoup de problèmes liés aux points-particules de l’Électrodynamique Quantique, sans re-normalisation. Je montrerai que les équations de l’EDQ ne demandent de la renor-malisation que parce qu’elles avaient tout d’abord été dé-normalisées par les ma-thématiques actuelles, lesquelles sont toutes basées sur ce que j’appelle le Calcul Infini. L’interprétation courante permet le calcul de vitesses et d’accélérations ins-tantanées, et ceci parce que l’on permet aux fonctions de s’appliquer à des points, et parce que l’on utilise des séries infinies pour approcher des points dans l’analyse de la courbe. En retournant au Calcul Fini — et en débarrassant les mathématiques appliquées au point — j’ai tracé la voie dans cet article pour nettoyer l’EDQ. En faisant de chaque variable ou fonction un intervalle fini, nous redéfinissons chaque domaine et espace, et en faisant cela nous nous dispensons en grande partie ou en totalité du besoin de renormalisation. Nous nous dispensons également de la première raison d’être de la théorie des cordes.
Le calcul de Newton est venu de tableaux qu’il avait fait lui-même à partir de ses séries de puissances, basées sur le développement binômial. Le développement binômial était un développement en séries infinies d’une différentielle complexe, utilisant une méthode fixe. En essayant d’exprimer la courbe en séries infinies, il suivait la ligne de raisonnement principale des algorithmes d’avant le calcul différentiel, ce qui nous ramène aux anciens Grecs. Plus récemment, Descartes et
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Wallis avaient attaqué les deux principaux problèmes du calcul — la tangente à la courbe et la surface de la quadrature — de façon analogue, et la méthode de Newton était une conséquence directe de ses lectures des papiers de Descartes et Wallis. Tous ces mathématiciens suivaient l’exemple d’Archimède, qui avait résolu beaucoup de problèmes du calcul 1900 ans plus tôt par une méthode similaire basée sur la sommation et l’annulation de séries infinies. Cependant, Archimède ne dériva jamais aucune équation du calcul proprement dit, la principale étant, 0n1 dans ses papiers,y=nx.
Cette équation fut dérivée par Leibniz et Newton presque simultanément, si nous en croyons leurs propres témoignages. Leurs méthodes, quoique différentes dans la forme, étaient pratiquement équivalentes en théorie, les deux étant basées sur les séries infinies et des différences approchant zéro. Leibniz nous dit lui-même que la solution au calcul se fit jour en lui quand il étudia le triangle différentiel de Pascal. Pour résoudre le problème de la tangente, ce triangle doit être rendu de plus en plus petit.
Newton et Leibniz connaissaient tous deux la réponse au problème de la tan-gente avant de commencer, puisque ce problème avait été résolu bien longtemps auparavant par Archimède, en utilisant le parallélogramme des vitesses. De ce e parallélogramme vint l’idée de vitesse instantanée, et les mathématiciens du 17 siècle, plus spécialement Torricelli et Roberval, empruntèrent certainement leur croyance dans la vitesse instantanée aux Grecs. Les Grecs, en commençant par les Péripatéticiens, assumaient qu’un point sur une courbe peut agir comme un point dans l’espace. Ce point pouvait dès lors être imaginé comme possédant une vi-tesse. Lorsque le calcul fut utilisé presque deux millénaires plus tard par Newton pour trouver une vitesse instantanée — en lui assignant la dérivée — celui-ci suivit simplement l’exemple des Grecs.
Cependant, les Grecs semblaient avoir compris que leurs outils d’analyse étaient inférieurs à leur méthode synthétique, et beaucoup de mathématiciens plus tardifs (comme Wallis et Torricelli) pensaient même que les Grecs avaient dissimulé ces outils. Que ce soit vrai ou non, il est certain que les Grecs n’ont jamais synthétisé aucune méthode basée sur des séries infinies, des infinitésimaux ou des limites. Comme le démontre cet article, ils eurent raison de ne pas le faire. La supposi-tion que le point sur la courbe peut être traité comme un point dans l’espace n’est pas correcte, et l’application de toute série infinie à une courbe est dès lors une impossibilité. Proprement développée et analysée, l’équation dérivée ne peut pas produire de vitesse instantanée, car la courbe présuppose un sous-intervalle qui ne peut approcher zéro; un sous-intervalle qui est, finalement, toujours un.
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2 Lafondation
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Afin de prouver ceci, je dois tout d’abord fournir la fondation de ma théorie en analysant dans une certaine profondeur certains concepts n’ayant pas reçu suf-fisamment d’attention dans les cercles mathématiques ces dernières années. Cer-tains de ces concepts n’ont plus été discutés depuis des siècles, peut-être parce qu’ils ne sont plus considérés comme suffisamment abstraits ou ésotériques. Un de ces concepts est le nombre cardinal. Un autre est la ligne des nombres car-dinaux (ou naturels). Un troisième est l’assignation de variables à une courbe. Un quatrième est l’acte de dessiner une courbe et de lui assigner une équation. Si ces concepts étaient encore enseignés à l’école, ils le seraient très tôt, car ils sont de nature très élémentaire. En réalité, ils ont été traités comme s’ils étaient évidents par eux-mêmes — on pourrait dire qu’ils n’ont pas été jugés dignes de considération sérieuse depuis la chute d’Athènes. Même peut-être à cette époque n’étaient-ils déjà plus pris au sérieux, puisque les Grecs échouèrent aussi dans leur compréhension de la courbe — comme leur utilisation d’une vitesse instantanée le démontre clairement.
Le concept le plus élémentaire que je dois analyser ici est le concept de point. Dans l’édition Dover desÉlémentsd’Euclide, on nous dit : «Un point est ce qui ne contient aucune partie ». L’édition Dover fournit des notes sur chaque variation possible de cette définition, ancienne comme moderne, mais elle ne répond pas à la question centrale de l’article que vous êtes en train de lire, à savoir : « Est-ce que la définition s’applique à un point mathématique ou à un point physique? ». Ou, pour être encore plus brusque et clair : «Parlons-nous d’un point dans l’espace ou parlons-nous d’un point sur une feuille de papier? ».Cette question n’a jamais été posée, et on n’y a évidemment jamais répondu (jusqu’ici).
Je sais que beaucoup de gens ne verront pas où je veux en venir avec cette question. Comment un point sur une feuille de papier serait-il différent d’un point dans l’espace ? Un point sur une feuille est physique — le papier et l’encre sont des choses physiques. Que veux donc dire l’auteur?
Permettez-moi tout d’abord de faire la clarté sur ce que je ne veuxpasdire. Certains lecteurs seront familiers avec les arguments historiques sur le point, et je veux être clair ici sur le fait que ma question est tout-à-fait nouvelle. La question historique, telle qu’elle a été discutée depuis plus de deux mille ans maintenant, concerne la différence entre une monade et un point. Selon les définitions an-ciennes, une monade était indivisible, tandis qu’un point était indivisible tout en ayant une position. La question naturelle était : «Une position où ça? ».La seule réponse, pensait-on, était « Dans l’espace, ou dans le monde réel ». Une chose ne peut avoir de position autre part. Un point est donc une position indivisible dans le monde réel. Une monade est un « quelconque-point » généralisé, ou en-core l’idée d’un point. Un point est une monade spécifique, ou la position d’une monade spécifique.
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Mais ma distinction entre un point mathématique et un point physique n’est pas cette distinction historique entre une monade et un point. Je ne suis pas concerné par des classifications ou par l’existence. Ça n’a pas d’importance ici, lorsque je fais la distinction entre un point physique et un point mathématique, que l’un, l’autre ou les deux soient des idées ou des objets. Ce qui est important est qu’ils ne sont pas équivalents. Un point sur un diagramme n’est ni un point physique ni une monade. Un point sur un diagramme est un point spécifique; il a (ou représente) une position définie. Il n’est donc pas une monade. Mais un point mathématique ou sur un diagramme est une abstraction d’un point physique; il n’est pas le point physique lui-même. Sa position est différente, pour commencer. Plus important, qu’il soit idée ou objet, il est à un niveau inférieur par rapport à un point physique, comme je le montrerai en détail plus bas.
La question historique concernait une sorte d’abstraction — du spécifique au général. Ma question concerne une sorte d’abstraction complètement différente — la représentation d’une chose spécifique par une autre chose spécifique. L’édition Dover appelle sa question une question ontologique. La mienne est opérationnelle. Un point mathématique représente un point physique, mais n’est pas équivalent à un point physique, car l’opération consistant à le représenter sous forme de diagramme crée des domaines qui ne sont pas directement transmuables dans des domaines physiques.
Les mathématiques appliquées doivent être appliquées à quelque chose. Les mathématiques sont de l’abstraction, mais les mathématiques appliquées ne peu-vent être entièrement abstraites, sinon elles ne pourraient s’appliquer à quoi que ce soit. Les mathématiques appliquées s’appliquent à des diagrammes, ou à leur équivalent. Elles ne peuvent s’appliquer directement au monde réel. Et c’est pour-quoi j’appelle un point de diagramme un point mathématique. La géométrie et l’al-gèbre appliquées sont appliquées à des points mathématiques, qui sont des points sur des diagrammes.
Un point sur une feuille de papier est un diagramme, ou le début d’un dia-gramme. C’est une représentation d’un point physique, pas le point lui-même. Lorsque nous appliquons des mathématiques, nous le faisons en assignant des nombres à des points ou des longueurs (ou des vitesses, etc.). La physique, c’est des mathématiques appliquées. Elle est sensée s’appliquer au monde réel. Mais les nombres mathématiques ne peuvent pas être appliqués directement à des points physiques. Les mathématiques sont une abstraction, comme chacun sait, et une partie de ce qui les rend abstraites, même quand elles sont appliquées à la phy-sique, est que les nombres sont assignés à des diagrammes. Ces diagrammes sont des abstractions. Un graphe cartésien est l’une de ces abstractions. Le graphe re-présente l’espace mais n’est pas l’espace lui-même. Le tracé d’un cercle, d’un carré, d’un vecteur ou toute autre représentation physique est aussi une abstraction. Le vecteur représente une vitesse, ce n’est pas la vitesse elle-même. Un cercle peut représenter une orbite, mais ce n’est pas l’orbite elle-même, et ainsi de suite. Mais
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ce n’est pas seulement que le tracé est simplifié ou mis à l’échelle qui le rend abs-trait. L’abstraction de base est due au fait que les maths appliquées au problème, quel qu’il soit, s’applique au diagramme, pas à l’espace. Les nombres sont assignés à des points sur la feuille de papier ou sur le graphe cartésien, pas aux points dans l’espace.
Tout cela est vrai même quand il n’y a pas de papier ou d’écran utilisé pour résoudre le problème. Chaque fois que des maths sont appliquées à de la phy-sique, il existe une certaine représentation spatiale quelque part, même si cela consiste uniquement en des lignes flottant dans la tête de quelqu’un. Les nombres sont appliqués à ces diagrammes mentaux d’une façon ou d’une autre, puisque les nombres ne peuvent pas logiquement être appliqués à des espaces physiques.
La méthode la plus simple pour prouver l’inéquivalence entre le point phy-sique et le point mathématique est de montrer que vous ne pouvez pas assigner un nombre à un point physique. Nous assignons tout le temps des nombres à des points mathématiques. Cette assignation est le fait opérationnel primaire des maths appliquées. Il s’ensuit que si vous ne pouvez pas assigner un nombre à un point physique, alors un point physique ne peut pas être équivalent à un point mathématique.
Prenez un point physique. Je vais supposer que vous pouvez faire cela, même si les métaphysiciens vont dire que c’est impossible. Ils vont vous donner une varia-tion quelconque de l’argument de Kant, selon lequel quelque soit le point que vous choisissiez, ce point est déjà une construction mentale dans votre tête, pas le point lui-même. Vous aurez choisi unphenomenon, alors qu’un point physique est un noumenon. Mais je ne m’intéresse pas ici à de la métaphysique; je suis intéressé par une définition précise, une définition qui possède le contenu mathématique requis pour faire l’affaire. Une définition de « point » qui ne nous dit pas si nous avons affaire à un point physique ou à un point mathématique ne peut convenir et nous amènera à des problèmes purement mathématiques.
Donc, vous avez choisi un point. Je ne vais même pas chercher à être rigoureux et vous embêter pour savoir si ce point est vraiment sans dimension ou indivisible, puisque, une fois de plus, ce serait juste de la chicanerie dans le cadre de cet article. Disons que vous avez choisi le coin d’une table pour être votre point. La seule chose que je vais vous interdire est que vous imaginiez ce point en relation avec une origine. Vous ne pouvez pas mettre ce coin de table sur un graphe, même pas dans votre tête. Le point que vous avez choisi est simplement cela, un point physique dans l’espace. Il n’existe pas d’axes ou d’origines dans votre pièce ou dans votre monde. Bien, maintenant, essayez d’assigner un nombre à ce point. Si vous êtes têtu, vous pouvez le faire. Vous pouvez assigner le nombre 5 à ce point, disons, juste pour me contredire. Mais maintenant, essayez de donner à ce nombre une signification mathématique quelconque. Qu’est-ce qu’on peut conclure du fait que le coin de la table est «5 »? Clairement, rien. Si vous affirmez qu’il se trouve
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à 5 décimètres du centre de la table, ou de votre pied, alors vous lui avez assigné une origine. Le centre de la table, ou bien votre pied, devient l’origine. J’ai interdit toute origine, puisque les origines sont des abstractions mathématiques, pas des choses physiques.
La seule façon d’assigner un nombre à votre point est d’assigner l’origine à un autre point, puis de mettre en place des axes, de manière à ce que votre pièce devienne un diagramme, soit dans votre tête, soit sur une feuille de papier. Mais alors le nombre 5 s’applique au diagramme, pas au coin de la table.
Qu’est-ce que ceci prouve? La géométrie d’Euclide est une forme de mathé-matiques. Je ne pense pas que quiconque niera que la géométrie est de la ma-thématique. La géométrie devient utile uniquement lorsque nous pouvons com-mencer à assigner des nombres à des points, et ainsi trouver des longueurs, des vitesses et des accélérations. Si nous assignons des nombres à des points, alors ces points doivent être des points mathématiques. Ce ne sont pas des points phy-siques. Les définitions d’Euclide concernent des points sur une feuille de papier, des diagrammes. Elles ne concernent pas directement des points physiques.
Je ne vais pas prétendre que vous ne pouvez pas traduire vos recherches ma-thématiques dans le monde physique. Ce serait nihiliste et idiot, pour ne pas dire contre-intuitif. Mais jeprétendsici que vous devez être très prudent quand vous le faites. Vous devez faire la différence entre des points mathématiques et des points physiques, parce que si vous ne le faites pas, vous comprendrez de travers toutes les mathématiques supérieures. Vous allez mal interpréter le calcul différentiel, pour commencer, et cela va influencer toutes les autres mathématiques, y compris la topologie, l’algèbre linéaire et vectorielle, ainsi que le calcul tensoriel.
Afin de montrer comment tout ceci s’applique au calcul différentiel, je com-mencerai avec une analyse serrée de la courbe. Disons que l’on nous donne une courbe mais que l’on ne nous donne pas son équation. Pour trouver cette équation, nous devons importer la courbe dans un graphe. C’est la façon traditionnelle de la « mesurer »,en utilisant des axes, une origine et tous les outils avec lesquels nous sommes familiers. Chaque axe agit comme une sorte de règle, et le graphe dans son entier peut simplement être vu comme un mètre à deux dimensions. Cette analyse peut sembler auto-évidente, mais j’ai déjà énuméré plusieurs concepts qui méritent une attention spéciale. Premièrement, la courbe est définie par le graphe. Lorsque nous découvrons l’équation d’une courbe par nos mesures de cette courbe, l’équation dépendra entièrement du graphe. Ce qui veut dire que le graphe génère l’équation. Deuxièmement, si nous utilisons un graphe cartésien, avec deux axes perpendiculaires, alors nous avons deux et seulement deux variables. Ce qui si-gnifie que nous avons deux et seulement deux dimensions. Troisièmement,tout point sur le graphe possédera, de même, deux dimensions. Je répète : chaque POINT sur le graphe possédera DEUX DIMENSIONS (laissez cette phrase pénétrer un moment). En utilisant les variables les plus communes, le point aura une di-mensionxet une dimensiony. Cela signifie que toute équation à deux variables
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implique deux dimensions, ce qui implique deux dimensions en chaque point sur le graphe et en chaque point sur la courbe.
Si vous êtes un mathématicien irrité par tout ce «charabia philosophique» — ou qui que ce soit un peu perdu dans cette argumentation, pour une raison ou une autre — laissez-moi vous expliquer très directement pourquoi j’ai mis en évidence les mots ci-dessus. Car cette phrase peut être appelée l’assertion mathématique centrale de tout cet article : la thèse principale de mon analyse. Un point sur un graphe possède deux dimensions. Mais bien sûr un point physique ne possède pasdeux dimensions. Un mathématicien qui définirait un point comme une quan-tité possédant deux dimensions serait un être bizarre, pour le moins. Personne dans toute l’Histoire n’a jamais proposé qu’un point possède deux dimensions. Un point est généralement compris comme n’ayantaucunedimension. Pourtant, nous n’avons aucun scrupule pour appeler un point sur un graphe un point. Cette im-précision dans la terminologie a causé de terribles problèmes, historiquement, et c’est l’un de ces problèmes que je dévoile ici. La preuve historique et actuelle de la dérivation traite à la fois un point sur un graphe et un point sur une courbe comme une variable à zéro dimension. Ce n’est pas une variable à zéro dimen-sion : c’est une variable à deux dimensions. Un point dans l’espace ne peut avoir de dimension, mais un point sur une feuille de papier peut avoir autant de dimen-sions que nous désirons lui en donner. Cependant, nous devons garder la trace de ces dimensions à tout moment. Nous ne pouvons pas être paresseux dans notre langage ou dans nos assignations. La preuve du calcul différentiel a été imprécise dans son langage et dans ses assignations.
Laissez-moi clarifier tout ceci par un exemple. Disons qu’un insecte rampe sur un mur. Vous marquez ses traces. Maintenant vous essayez d’appliquer une équa-tion à ces traces, sans axe. Disons que la courbe ressemble à une courbe familière, 2 par exemple la courbey=x. Bien, essayez d’assigner des variables au mouve-ment de l’insecte. Vous ne pouvez pas le faire. La raison pour laquelle vous ne pouvez pas le faire est qu’une courbe dessinée sur un mur, par un insecte ou par Michel-Ange, demande trois axes pour la définir. Vous avez besoin dex,yett. La courbe a l’air d’être la même, mais elle n’est pas la même. Une courbe sur un mur et une courbe sur un graphe sont deux choses différentes.
Deuxième exemple. Disons que votre petit frère saute dans sa nouvelle voiture et se met à foncer dans la rue. Vous courez après lui et regardez les traces de pneus que la voiture laisse derrière elle. Votre frère est encore en train d’accélérer, vous devez donc pouvoir voir ces traces, d’accord? Une courbe décrit une accélération, d’accord ?Pas nécessairement. La voiture se déplace dans une direction unique, vous pouvez donc dessinerxpar rapport àt. Il n’y a pas de troisième variabley. Mais cela ne fait toujours pas une courbe. La voiture va en ligne droite. Intrigant.
Pour qu’une équation décrive une courbe, elle peut uniquement le faire sur un graphe. Sa courbe est dépendante du graphe. Ce qui veux dire que son taux de va-riation est défini par le graphe. Toutes ces illustrations et ces diagrammes que vous
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avez vus dans les livres, avec des courbes dessinées sans graphe, sont incomplets. Depuis un certain nombre d’années — personne ne sait exactement combien — les illustrations dans les livres ne contiennent plus les tracés des axes, car ceux-ci prenaient de la place. Même Descartes, qui inventa ces lignes, les laissa proba-blement s’évaporer comme une nuisance artistique. Nous nous retrouvons donc à notre époque, ayant oublié que toute courbe mathématique implique son propre graphe.
Une courbe physique et une courbe mathématique ne sont pas équiva-lentes. Elles ne sont pasmathématiquementéquivalentes.
Ceci est de la plus haute importance, pour plusieurs raisons. La raison la plus critique est que, une fois que vous dessinez un graphe, vous devez assigner des variables aux axes. Disons que vous assignez les variablesxetyaux axes, comme il est commun de le faire. Maintenant, vous devez définir vos variables. Que signifient-elles ?En physique, une telle variable peut signifier soit une distance, soit un point. Que signifient vos variables? Il n’y a aucun doute que vous allez répondre : « mes variables sont des points ». Vous direz quexreprésente, pour un point, saxl’origine. Vous continuerez en disant que des-distance à partir de distances sont spécifiées en mathématique parΔx(ou toute autre notation sem-blable) et que sixétait unΔx, vous l’auriez appelé ainsi.
Je sais que cela a été l’interprétation tout au long de l’histoire. Mais il se fait que c’est faux. Vous construisez un graphe de façon à pouvoir assigner des nombres à vos variables en chaque point du graphe. Mais l’acte même d’assigner un nombre à une variable en fait une distance.Vous ne pouvez pas assigner un numéro à un point. Je sais que cela va sembler métaphysique au premier abord, pour beaucoup de gens. Cela aura l’air d’une bouillie philosophique. Mais si vous considérez la situation pour un moment, je crois que vous pourrez voir que ce n’est rien d’autre que du bon sens. Il n’y a rien d’ésotérique là-dedans.
Supposons qu’en un certain point sur le graphe,y= 5. Qu’est-ce que cela signifie ?Vous allez dire que cela signifie que cetyest au point 5 sur le graphe. Mais je répète, qu’est-ce que cela signifie ? Siypoint, alors 5 ne peux pas luiest un appartenir. Qu’en est-il deyqui possède la caractéristique « 5 »? Rien. Un point ne peut pas posséder de magnitude. Le nombre appartient au graphe. Le « 5 », c’est compter les petites boîtes. Ces boîtes ne sont pas des attributs dey, elles sont des attributs du graphe.
Vous allez répondre : «Tout ça n’est que chicanerie. Je maintiens que ce que je voulais dire est clair :yla cinquième boîte, c’est tout. Cela ne méritese trouve à pas d’explication».
Mais le nombre « 5 » n’est pas un ordinal. En disant «yest à la cinquième boîte », vous insinuez que 5 est un ordinal. Nous avons toujours supposé que les nombres dans ces équations sont des nombres cardinaux (j’utilise «cardinal »ici
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dans le sens traditionnel de cardinal par rapport à ordinal. Il ne faut pas confondre avec l’utilisation de Cantor du terme cardinal). Les équations peuvent difficilement fonctionner si nous définissons les variables comme des ordinaux. Les nombres viennent de la ligne des nombres, et la ligne des nombres est faite de cardinaux. 2 L’équationy=x@x= 4ne se lit pas « la seizième chose égale la quatrième chose au carré». Elle se lit «seize choses égalent quatre choses au carré». Quatre points n’égalent rien. Vous ne pouvez pas additionner des points, exactement comme vous ne pouvez pas additionner des ordinaux. La cinquième chose plus la quatrième chose n’est pas la neuvième chose. Ce sont juste deux choses sans magnitude.
La vérité est que les variables dans des équations mathématiques graphées sur des axes sont des nombres cardinaux. De plus, elles sont des variables delta, de toutes les façons possibles. Ce qui veut dire quexdevrait être étiquetéΔx. 2 L’équation devrait se lireΔy= Δx. Toutes les variables sont des distances. Elles sont des distances à partir de l’origine.x= 5signifie que le point sur la courbe se trouve cinq petites boîtes à partir de l’origine.C’est une distance. C’est aussi une différence :x= (50).
Voyez cela de la façon suivante : chaque axe est une règle. Les nombres sur une règle sont des distances. Ils sont des distances à partir du début de la règle. Allez au nombre « 1 » sur la règle. Maintenant, qu’est-ce que ça nous dit? Quel contenu informationnel possède ce nombre? Nous dit-il que la ligne sur la règle se trouve en première place? Non, bien sûr que non. Il nous dit que la ligne au nombre «1 »se trouve à un centimètre du début de la règle. On nous donne une distance.
Vous pouvez dire : « Bien, mais même si c’est une distance, votre nombre ’5’ s’applique toujours aux boîtes, pas à la variable. Votre argument échoue donc».
Non, il n’échoue pas. Examinons les deux assignations possibles de la variable :
x=cinq petites boîtes ou
Δx=cinq petites boîtes
La première assignation de variable est absurde. Comment un point peut-il égaler cinq petites boîtes ? Un point ne possède pas de magnitude. Mais la seconde assignation de variable a un sens. C’est une assignation logique. Changement enx égale cinq petites boîtes. Une distance est cinq petites boîtes en longueur. Si nous sommes des physiciens, nous pouvons faire de ces boîtes des mètres, des secondes ou ce que nous voulons. Si nous sommes des mathématiciens, ces boîtes sont juste des entiers.
Vous pouvez voir que cela change tout, concernant un problème de taux de changement. Si chaque variable est une variable delta, alors chaque point sur la
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