220 295-300 Annexe F - Etude des paliers . billes

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ANNEXEETUDE DES PALIERS A BILLES1. Bases théoriquesLa théorie de Hertz [GRAG-89] considère les contraintes et les déformations de deuxcorps lisses et ellipsoïdes en contact (Fig. F.1).Fxraxray Corps ayxrbxCorps brbyyFFig. F.1. Caractéristiques dimensionnelles de deux ellipsoïdes en contactElle permet, moyennant le respect des hypothèses suivantes :- matériaux homogènes ;- contraintes inférieures à la limité d'élasticité de ces matériaux;- dimensions de la zone de contact faibles par rapport aux rayons desellipsoïdes ;- corps en équilibre statique ;295296 ANNEXE F. ETUDE DES PALIERS A BILLESd'exprimer la distribution de pression sur la surface de contact entre les deux ellipsoïdesainsi que leur déformation.Ces expressions font intervenir des paramètres géométriques :1 1 1 , (F.1)R R Rax bxR y , (F.2)rRxoù :1 1 1 , (F.3)R r rx ax bx1 1 1 , (F.4)R r ry ay byet des paramètres constitutifs :2E' , (F.5)2 21 1a bE Ea bE , E et , étant respectivement le module de Young et le module de poisson desa b a bcorps a et b. Outre ces paramètres, elles dépendent également de k , le paramètreeelliptique, E, l'intégrale elliptique du premier type, et F, l'intégrale elliptique du secondtype. Suivant la théorie de Hertz classique, ces trois grandeurs sont déduites de lasolution d'une équation transcendantale les reliant à la géométrie des corps en contact.[HAMROCK-99] propose cependant une solution analytique ...

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A NNEXE

E TUDE DES PALIERS A BILLES

1.Bases théoriques

La théorie de Hertz [G RAG -89] considère les contraintes et les déformations de deux corps lisses et ellipsoïdes en contact (Fig. F.1). F x

r ax r ay Corpsa y

x r bx Corpsb r by

y F Fig. F.1. Caractéristiques dimensionnelles de deux ellipsoïdes en contact Elle permet, moyennant le respect des hypothèses suivantes : -matériaux homogènes ; -contraintes inférieures à la limité d'élasticité de ces matériaux; -dimensions de la zone de contact faibles par rapport aux rayons des ellipsoïdes ; -corps en équilibre statique ;

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d'exprimer la distribution de pression sur la surface de contact entre les deux ellipsoïdes ainsi que leur déformation.

Ces expressions font intervenir des paramètres géométriques : 1 11   , R RR ax bx R y , r R x où :

et des paramètres constitutifs :

1 1 1   , R rr x ax bx

1 1 1  , R rr y ay by

2 E' , 2 2  1   1  a b  E E a b

(F.1)

(F.2)

(F.3)

(F.4)

(F.5)

E a ,E b et a , b étant respectivement le module de Young et le module de poisson des corpsa etb. Outre ces paramètres, elles dépendent également dek e , le paramètre elliptique,E, l'intégrale elliptique du premier type, etF, l'intégrale elliptique du second type. Suivant la théorie de Hertz classique, ces trois grandeurs sont déduites de la solution d'une équation transcendantale les reliant à la géométrie des corps en contact. [H AMROCK -99] propose cependant une solution analytique dépendant directement du paramètre géométrique  r (Tableau F.1).

1 1000 1  r  r 0. 1 2 k e  r 2 k  r e   F q.ln (F.6)   a  r  F.7) 2 F  q a .ln  r ( 2 q a E 1  E 1 q a .  r  r  où : q 1 a 2 Tableau F.1. Expressions analytiques proposées par [H AMROCK -99] pour les paramètresk e ,EetF

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La distribution de pression sur la surface (Fig. F.2) de contact est finalement donnée par la relation : 2 2     2.x 2.y     pp. 1  , (F.9) max   D D     x y où D x et D y , les diamètres principaux de la surface de contact, valent : 6.E.F.R D2.10) x ,(F. 3 k E . e . '

etp max , la pression maximale :

2 6.k.E.F.R e 3 D y 2. , .E'

6.F p, max .D x .D y

(F.11)

(F.12)

étant donné que l'intégration de la pression sur la surface de contact équivaut à la force Fappliquée entre les deux corps.

max

x /2

y /2

Fig. F.2. Distribution de la pression sur la surface de contact entre deux corps

La déformation subie est, quant à elle, donnée par la relation :

2.Exploitation

2 9  F  F. .  . 3 max 2.E.R.k.E'   e

2.1.Calcul de la capacité de charge

(F.13)

Deux critères différents permettent de déterminer la charge limite que peuvent supporter deux corps en contact. Le premier, repris par [B RÄNDLEIN -99] pour le dimensionnement des paliers à billes et à rouleau, impose une limite supérieure à la

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déformation totale. Dans le cas statique, par exemple, cette limite est fixée à 0,01 % du diamètre de l'élément roulant. Le second critère, plus général, consiste à comparer la pression maximump max apparaissant entre les corps en contact à la limite d'élasticité des matériaux les constituant. Dans le cadre de notre étude, c'est ce dernier critère que nous avons considéré. Moyennant quelques manipulations algébriques des relations (F.10), (F.11) et (F.12), il permet d'exprimer, en fonction des caractéristiques géométriques et constitutives des corps en contact, la force maximale qu'ils peuvent supporter : 3  .D' x .D' y . LE  ,(F.14) F max    6   où : 6.E.R D' 2. x ,(F.15) 3 k E . e . '

2 6.k.E.R e 3 D' y 2. .(F.16) .E' La capacité de charges d'un système donné est donc obtenue en additionnant les contributions au support de chacun des éléments constituant le système. Afin d'illustrer ce propos, prenons le cas d'un roulement à bille classique (Fig. F.3).

 max

 cage externe  billes

max,i max  max,i Fig. F.3. Distribution des billes, de leur déformation et de leur charge dans un roulement classique

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Dans ce cas, le contact entre la bille inférieure et la bague intérieure étant le plus contraignant, c'est ce dernier qui conditionne la capacité de charge du palier. En effet, la relation (F.14) détermine la force maximum que cette bille peut supporter et donc, via l'équation (F.13), la déformation qu'elle subit sous cette charge. Cette déformation va, à son tour, déterminer la déformation des autres billes via la relation géométrique : . cos  i.  ,(F.17) max,imax oùi.correspond à l'écart angulaire de la billeipar rapport à la direction de la charge C. Connaissant la déformation de chacune des billes du roulement, il devient possible, en inversant la relation (F.13), de calculer la charge supportée par chacune d'elles : 3 2.E.R   max,i  F i .k e .E'. .   .(F.18) 9F   Cette charge étant radiale, seule la composante alignée avec la direction de mise en charge, donnée par la relation : F F. cos.i F.19) //,i  i    ,( participe effectivement à la capacité de charge du palier. La capacité de charge du palierCfinalement obtenue en additionnant les est contributions de toutes les billes subissant une déformation non nulle : C F2.F.cos 2.i.cos . (F.20)  max  1     F   .i  

2.2.Calcul de la rigidité

Une fois la capacité de charge déterminée, le calcul de la rigidité est trivial. En effet, nous connaissons déjà les deux grandeurs entrant dans sa définition : C F . (F.21)  ax m