Compte-rendu de TP - Etude de deux systèmes chaotiques

Bérut Antoine Et Lopes Cardozo David

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Extrait

L3 PHYSIQUE EXPERIMENTALE – ENS LYON

Etude de deux systèmes chaotiques Pendule double et circuit de Chua Bérut Antoine et Lopes Cardozo David Mars 2009

Résumé Nous nous sommes intéressés à la mise en évidence du comportement chaotique de deux systèmes, l’un mécanique, le pendule double, et l’autre électronique, le circuit de Chua. Notre but était d'approcher pour la première fois ce genre de systèmes et d'essayer d'y trouver des points communs dus à leur caractère chaotique. Lors de l'étude du pendule double nous avons effectué des séries de lancés, enregistrant l'angle entre eux les deux parties de notre pendule ainsi que l'angle entre la verticale et la partie supérieure du pendule. Pendant chaque série de lancés, les positions et vitesses initiales du pendule étaient identiques de manière à mettre en évidence une sensibilité aux conditions initiales. Une grande partie de notre travail a ensuite été d'obtenir des signaux suffisamment propres par filtrage électronique et numérique pour pouvoir être dérivés et ainsi tracer des diagrammes de phase. Notre travail sur le circuit de Chua est une étude de ses différents composants. N'ayant pas réussi à obtenir les résultats souhaités nous présenterons ici brièvement les problèmes que nous avons dû affronter et quelques résultats présentés dans des articles de recherche que nous aurions voulu reproduire. Table des matières

I)

LE PENDULE DOUBLE............................................................................... 3

A) D ISPOSITIF EXPERIMENTAL ...............................3............................................ 1) Etude des problèmes mécaniques ............................................................ 4 2) Etude des problèmes d’acquisition .......................................................... 5 B) E XPLOITATION DES DONNEES ........................................................6................

II) LE CIRCUIT DE CHUA................................................................................ 8

A) T ROIS CIRCUITS DE C HUA ............................................8................................. B) R ESULTATS ESCOMPTES .............................................................................. 10

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I)Lependuledo ble A)Dispositifex érimental Le pendule double quenousavonsutiliséestconstituédedeuxbarresétalliques(cffigure1.1). Chacunedesliaisons(celleliantlaarresupérieureausupportetlesdeuxbarresensemble)estmuniede otentiomètres,lesvaleursdeleurr sistanceétantproportionnellesauxanglesr spectivementθ 1 etθ 2 . Lebutdelamanipulationestdelan erdelamanièrelaplusreproductiblepossi lenotrependule. Plusieursacquisitionsavecdesco ditionsinitialesidentiquesàmoinsd'unm llimètreprèsfurentainsi effectuées demanièreàmettreenévidencelasensibilitéauxconditionsinitia esdenotresystème.De lus,notreobjectifétaitdetracerlvitesseangulaireenfonctiondel'anglepouobtenirdesdiagrammes de phase

figure 1.1

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1)Etudedesp oblèmesmécaniques Lespotentiomètresprennendesvaleurscomprisesentre0et10po rl'unet0et20kpour l'autre.Pourpouvoirvisualiserl'év lutiondelavaleurdespotentiomètresauc ursdesacquisitionsnous avonsconstruitsdespontsdeWhea stone (cffigure1.2)demanièreàcequ'ilss ientéquilibréslorsquele enduleestdanssapositiond'é uilibre.Lesignalobtenuensortidespontsétaitenregistrésous Synchronie.

figure1.2 : Pont de Wheatstone Desbutéesempêchentquep usde10tours soienteffectuésautourdechaqueliaison. Lenombredetourspouvantêtreffectuésparlapremièreliaisonest,depl s,limitéparlesfilsdu otentiomètrequirisquentdes'en oulerautourdelaliaisonetmodifierlec mportementdusystème. Nous avonsdoncprislepartidela cerlependuledemanièreàcequelaprem èreliaisonn'effectuepas plus d'un tour sur elle-même. Nousavonsvoulutoutd'abordla cerlependuledepuisunpointplacéàlaverticaledesaposition d'équilibre (cf figure 1.3)maisdec ttemanièrecelui-cisecomportaittrèsviteommeunpendulesimple etbasculaitsoitàdroitesoitàgauche,cequirendaitlesacquisitionsdifficilescomparer.Nousprîmes doncladécisiondelelâcherunpeenbiais,detellesortequ'ilparteinitialeme ttoujoursdanslamême direction.Pouruneplusgranderep oductibilité,lependuleétaitsimplementlâc é,etnonpaslancé.Pour cefaire,nousavonstoutd'aborutiliséunepince,puisunélectroaimantpouréviterd'éventuels frottements,lependulerisquantdelisserunpeudanslapinceavantdechuter. Lahauteurdelâchéjoueégalem nt.Pluslependuleestlâchéhaut,plusilauneénergieinitiale importante.Aprèsplusieursessais,nousavonspuremarquerqu'uneénergiesuffisamment importante devaitêtreapportéeinitialementasystèmepourquelasensibilitéauxcon itionsinitialessoitbien visible.

 figure 1.3

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2)Etude des problèmes d’acquisition

Nous avons d’abord obtenus des courbes de cette allure :

On constate sur ces images un premier trait caractéristique d'un comportement chaotique. Toutes les courbes suivent le même chemin pour les premiers instants d'acquisitions et divergent systématiquement les unes des autres pour un temps suffisamment long (environ 1 seconde pour l'angleθ 1 et moitié moins pour l'angleθ 2 ). D'autre part, on remarque des discontinuités dans les signaux acquis qui apparaissent pour certaines valeurs de l'angleθ 2 . Cela semble provenir de défauts du potentiomètre correspondant. Nous avons essayé de regarder l'allure d'un portrait de phase avec les courbes ainsi obtenues, mais, même pour les courbes qui semblent les plus lisses (celles de l'angleθ 1 par exemple), les dérivées étaient particulièrement bruitées et même avec un nombre important de lissages numériques les résultats n'étaient pas très probants.

Allure d’une dérivée « brute » (en bleu). Allure après une soixantaine de lissages numériques. Pour améliorer nos acquisitions nous avons donc décidé de nous placer le plus loin possible des zones problématiques, les lancés ont donc été effectués de manière à ce que les angles provoquant des discontinuités ne soient pas réalisés lors des acquisitions (ce qui n’est pas très contraignant puisqueθ 2 ne fait jamais plus de 3 tours sur lui même), quitte à régler à nouveau le zéro des ponts de Wheatstone (ce qui n'était pas non plus difficile puisqu'ils étaient réalisés avec des résistances variables pour faciliter l’étalonnage). Nous avons également rajouté un filtre passe-bas et un amplificateur entre les ponts et la plaquette d'acquisition (cf figure 1.4). Nous nous sommes de plus affranchis au maximum des effets d'antenne en réalisant les circuits de la manière la plus compacte possible. 5

figure 1.4 B)Exploitation des données Nous avons obtenu des courbes d’allure suivante (nous avons réalisé en tout trois séries de 4 lancés dont une avec une position initiale différente des deux autres) :

Nous avons alors essayé de réaliser un portrait de phase, en combinant les lissages numérique et la fonction "filtre passe-bas" disponible sous synchronie. Qualitativement, les oscillations observées sur nos signaux étaient, pour les plus rapides, de l'ordre de 1 Hz, ce qui laissait a priori une grande marge dans le choix de la fréquence de coupure du filtre numérique à appliquer. Cependant, nous avons constatés que des filtres numériques trop restrictifs, même s'ils permettaient d'obtenir de superbes portraits de phase (figure 1.5 (a)), provoquaient un étrange décalage entre les courbes expérimentales et les modèles lissés (figure 1.5 (b)). Nous avons donc décidé de nous limiter à des filtres d'une fréquence de coupure relativement proche du 50Hz, fréquence de plus grand poids dans le bruit, comme nous l'avaient indiqué les transformées de Fourier des signaux obtenus (figure 1.6).

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figure 1.5 : (a) Filtre numérique à 2Hz. figure1.5 : (b) Divergence du modèle (noire) par rapport à l’expérience (rouge). Nous obtenons alors des portraits de phase d’allure suivante (réalisés ici pour trois anglesθ 1 et trois anglesθ 2 ) :

figure 1.6 : filtre numérique à 15Hz et une dizaine de lissages par signal. On constate avant tout dans chaque portrait de phase un enroulement autour d'un point d'équilibre, correspondant à l'amortissement du mouvement dû à la présence de frottements. Cependant, on constate également que, malgré la divergence apparente sur les courbes représentants les angles en fonction du temps, les portraits de phase présentent de fortes similarités, et ce, quel que soit le lâché initial.  Il y a donc bien ici l'illustration de deux choses : _ Le comportement chaotique du pendule double, qui, malgré des conditions initiales les plus identiques possible, diverge très rapidement dans le temps. _ Le caractères déterministe du chaos suggéré par la similarité des portraits de phase. 7