Contribution à l'étude des lois d'endommagement en fatigue

Ngargueudedjim Kimtangar

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• Publié par: Fuwyang
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Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence

CHAPITRE IV     ETUDE DE LA SENSIBILITE DES LOIS VIS A VIS DE LEURS PARAMETRES D’INFLUENCE

     L’objet de ce chapitre est l’étude de la sensibilité des lois par rapport à la variation de leurs paramètres d’influence, cette sensibilité étant mesurée sur les prévisions de durée de vie.  Nous avons suggéré à la fin du chapitre 3 que les erreurs de prévision des lois d’endommagement pouvaient provenir de la non prise en compte, dans les calculs prévisionnels de durée de vie, de la variation des caractéristiques des matériaux au cours de leur vie.  Nous cherchons en fait à travers cette étude une manière adéquate d’intégrer la variation de ces paramètres dans les calculs de durée de vie. Certains modèles postulent d'ailleurs une évolution d'une propriété caractéristique du comportement en fatigue, la limite d'endurance.  Nous allons observer dans un premier temps l'évolution de ce paramètre au cours de la vie du matériau pour établir le lien effectif entre le postulat de départ et sa traduction au sein du formalisme.  La première partie de ce chapitre est donc consacrée à l'étude de la variation de la limite d'endurance telle qu'elle est prévue par les modèles de Henry et de Gatts. La seconde partie du chapitre vise à mesurer l'influence de la variation des constantes des lois (elles sont souvent issues de caractéristiques cycliques des matériaux), qui apparaissent comme coefficients de calage ou comme exposants dans les formulations des lois, sur les résultats de fraction de vie qu'elles fournissent.   1 – VARIATION DE LA LIMITE D’ENDURANCE    Henry et Gatts ont proposé, comme cela a été explicité au chapitre I, des fonctions d’évolution de la limite d’endurance en fonction de la fraction de vie r et de la contrainte addimentionnelle γ :

 

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γ =  γ ( 1 − r )    D ( γ − r ) γ D =γ ⎡ ⎢ 1 − r ( 1 C ) 1 1r1 ⎤ ⎥ ⎦   ⎣ − + γ( − ) (γ − ) Nous les avons appliquées aux quatre matériaux différents soumis à des essais de fatigue à deux niveaux de contrainte (essais Haut-Bas et Bas-Haut).   1. 1 – Modèle de variation de la limite d’endurance de Henry  Quelles que soient la nature du matériau et celle des sollicitations, la particularité du mode d’évolution de la limite d’endurance est la suivante : • La valeur instantanée (ou valeur courante) de la limite d’endurance décroît de sa valeur initiale (celle du matériau vierge) à la valeur nulle quand le nombre de cycles appliqués sous le niveau de contrainte donné varie de zéro au nombre de cycles à rupture. • Plus le niveau de contrainte est élevé, plus grand est le taux de décroissance de cette limite d’endurance (figure 41).   1. 2 – Modèle de variation de la limite d’endurance de Gatts  Les figures 42(a) à 42(c) montrent qu’avec ce modèle, quels que soient la nature du matériau, celle de la sollicitation et le niveau de contrainte appliqué, la limite d’endurance du matériau sollicité ne s’annule pas au moment de sa ruine (c’est à dire à la rupture, où la fraction de vie r 1 au premier niveau de contrainte vaut l’unité).  La loi de Gatts s’adapte de manière particulière aux sollicitations de niveau supérieur à 1,6. σ D0 ( σ D0 étant la limite d’endurance initiale c’est à dire celle du matériau vierge) comme le montre la figure 42(a). Les courbes représentatives de la décroissance de la limite d’endurance, pour ces niveaux de contrainte (au-dessus de 1,6. σ D0 ), sont des droites. On constate de plus que la décroissance de la limite d’endurance, selon le modèle de Gatts, est d’autant plus importante que le niveau de sollicitation est faible (un premier niveau de contrainte importante n’entraîne pas une grande diminution de la limite d’endurance initiale alors qu’au contraire des sollicitations légèrement au dessus de la imite d’endurance veut voir cette dernière fortement chuter).

 

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Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence   Evolut ion de la limit e d'endurance en fonct ion du niveau de cont raint e et de la fract ion de vie à ce niveau Evo t l r u a t i i n o t n e  d e e t  l d a  e li l mi f t r e a   c d' t e i n o d n ur d a e n v c i e e  e à n  c f e on n c i t v i e o a n u  d . u  M ni o v d e è a l u e  d d e e   con a . Modèle de Henry pour l'acier 35CD4 en flexion Henry pour l'acier SAE 4130 en flexion rot at ive. La limit e rot at ive. La limit e d'endurance init iale est σ D0 = 524,85 d'endurance init iale est σ D0 = 482,5 MP a, MP a γ D γ D 1,0 1,0 965 MPa 0 9 650 M Pa , 0,8 0,8 827 MPa 0,7 630 M Pa 0,6 0,6 689 MPa 0,5 0,4 550 M Pa 0,4 586 MPa 0,3 0,2 0,2 517 MPa 0,1 560 M Pa 0,0 r1  0,0  r1 0,0 0,5 1,0  0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0    (a) (b)   Evolution de la limite d'endurance en fonction du  Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau  niveau de la contrainte et de fraction de vie à ce niveau . M odèle de Henry p our la fonte GS61 en flexion  . M odèle de Henry p our la fonte GS61 en torsion. La p lane. La limite d'endurance initiale est σ D0 = 280,7  limite d'endurance initiale est σ D0 = 211,8 M Pa. M Pa. γ D γ D 1,0 1,0 320 M Pa  0 8 0,8 , 0,6 352  M Pa  0,6  249 M Pa 0,4 0,4  233 M Pa 303 M Pa 0,2 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  r1  0,0  0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  r1    (c) (d)   Figure 41 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Henry (a) acier 35CD4 en flexion rotative, (b) acier doux SAE 4130 en flexion rotative, (c) Fonte GS61 en flexion plane, (d) Fonte GS61 en torsion.        104

Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence   Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de contrainte et de la fraction de vie à ce niveau. M odèle de Gatts p our l'acier 300CVM 2000 M Pa en flexion rotative. La limite d'endurance initiale est σ D0 = 689 M Pa, 1793 M Pa γ D 1,0 1655 M Pa 1379 M Pa 0,8 1103 M Pa 1448 M Pa 0,6 965 M Pa 0,4 1241 M Pa 724 M Pa 0,2 r1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 827 M Pa    (a)   Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de Evolution de la limite d'endurance en fonction du niveau de contrainte et dde la fraction de vie à ce niveau. M odèle de Gatts contrainte et de la fraction de vie à ce niveau. M odèle de Gatts p our la fonte GS61 en flexion p lane. La limite d'endurance p our la Fonte GS61 en torsion. La limite d'endurance   initiale est γ D initiale est σ D0 = 280,7 M Pa. γ D τ D0 = 211,8 M Pa, 1,0 1,1 1,0 0,9 320 M p a 0,9 0,8 0,8 249 M Pa 0,7 352 M p a 0,7 233 M Pa 0,6 303 M Pa 0,6    0,5 0,5 0,4 0,4 0 3 , 0,3 r1 0,2 r1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0    (b) (c)   Figure 42 : Modèle d’évolution de la limite d’endurance selon Gatts (a) Acier Maraging 300CVM en flexion rotative, (b) Fonte GS61 soumise à une flexion plane, (c) Fonte GS61 soumise à une torsion.    105

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La particularité du modèle de Gatts consiste en une décroissance de la limite d’endurance du matériau au cours de sa vie, plus faible lorsque les niveaux de contrainte appliqués sont les plu importants.   2 – ETUDE DE LA SENSIBILITE DES LOIS D’ENDOMMAGEMENT VIS A VIS DE LEURS PARAMETRES D’INFLUENCE    Pour ce travail, nous faisons varier la valeur des paramètres dans des proportions d’étude de ±  10%, ±  5% et de + 1%, puis nous calculons simplement les écarts entre les valeurs de la fraction de vie obtenues et celles calculées avec la valeur initiale du paramètre. Cet écart de fraction de vie est défini par : ∆ r 2 = r 2x % − r 20 , où r 20 est la fraction de vie correspondant à la valeur initiale du paramètre, r 2x%  est la fraction de vie correspondant à la nouvelle valeur du paramètre, avec x% pouvant prendre les valeurs modifiées de ± 10%, ± 5% et de + 1%.   2.1 – Etude de sensibilité de la loi de Ellyin à la variation de la limite d’endurance réduite N * D    La figure 43 présente les variations de fraction de vie observées pour les essais de flexion plane à deux niveaux ou de torsion à deux niveaux également, soit pour un chargement Haut-Bas, soit pour un chargement Bas-Haut.  Nous constatons sur les figures 43(a) à 43(d) que quels que soient la nature de la sollicitation et le type d’essais (essais Haut-Bas ou essais Bas-Haut) les valeurs des écarts obtenus pour les cinq pourcentages sont négligeables : aucune valeur n’excède 5.10 -3 . Toute diminution de la valeur de la constante N * D augmente la valeur de la fraction de vie au second niveau de contrainte pour les essais Bas-Haut, et inversement la réduit dans le cas des essais Haut-Bas. Réciproquement, l’augmentation de la valeur de N * D  augmente la valeur de la fraction de vie au second niveau de contrainte pour les essais Haut-Bas mais la réduit pour les essais Bas-Haut. Compte tenu des très faibles valeurs des écarts de fractions de vie au second niveau de contrainte, nous pouvons considérer la loi de Ellyin comme étant très peu sensible à la variation de son paramètre N * D .

 

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Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence   Sensibilit   é F   o de n   t l e a    l G o S i  6 d 1 e     e E n l   l f y l i e n x   i p o ar  p r l appo   rt à N D* Sensibilit é de la loi de Ellyin par rapport à N D* 124240-573400 cy n c   les a . ne   Fonte GS61 en flexion plane   2 573400-124240 cycles. ∆ r ∆ r2 6,0E-03 6,0E-03 4,0E-03 4,0E-03 2,0E-03 2,0E-03 r1 r1 0,0E+00 0,0E+00  -10% -2,0E-03 0,00,20,40,60,81,0 - - 5 10 % % -2,0E03 0,00,20,40,60,81,0 -5% - 1% -4,0E-03 1% -4,0E-03 5% 5% 10% -6,0E-03 10%  -6,0E-03   (a) (b)   Sensibilit é de la loi de Ellyin par rapport à N D* Sensibilit é de la loi de Ellyin par rapport à N D* Font e GS61 en t orsion 144890-274180 cycles. Font e GS61 en t orsion 274180-144890 cycles. ∆ r2 ∆ r2 2,0E-03 2,0E-03 1,5E-03 1,5E-03 1,0E-03 1,0E-03 5,0E-04 5 E-04 0,0E+00 r1 ,0 r1 -5,0E-04 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  -10% 0,0E+00 0,00,20,40,60,81,0 - % 10 -5% -5,0E-04 -5% -1,0E-03 1% -1,0E-03 1 1,5E-03 5% % - -1,5E-03 5% -2,0E-03 10%    (c) (d)   Figure 43 : Sensibilité de la loi de Ellyin vis à vis de la limite d’endurance réduite N * D pour une fonte GS61 (a) et (b) : essais Haut-Bas et Bas-Haut de flexion plane (c) et (d) : essais Haut-Bas et Bas-Haut de torsion    107

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2.2 – Etude de sensibilité de la loi de Bui Quoc à la variation de la constante m  Les quatre graphiques de la figure 44 montrent que la diminution de la valeur de la constante m entraîne une diminution des valeurs de la fraction de vie au second niveau de contrainte pour les essais Haut-Bas mais l’augmente dans le cas des essais Bas-Haut. Réciproquement, l’augmentation de la valeur de m augmente les valeurs de la fraction de vie au second niveau de contrainte pour les essais Haut-Bas et les abaisse pour les essais Bas- Haut. Les valeurs de ces écarts sont cependantassez faibles (inférieures 3.10 -3 ) pour être négligées. Autrement dit, la loi de Bui-Quoc est assez peu sensible à la variation de sa constante m.  Pour des essais Haut-Bas avec des écarts importants entre les deux niveaux de contrainte (figure 44 (a)), les valeurs maximales des écarts de fractions de vie au second niveau de contrainte sont atteintes pour de faibles valeurs de la fraction de vie au premier niveau de contrainte. Par contre, pour des essais Bas-Haut avec les mêmes écarts importants entre les deux niveaux de contraint, elles sont atteintes pour de grandes valeurs de fraction de vie au premier niveau de contrainte (figure 44 (d)). Dans les cas d’essais avec deux niveaux de contrainte proches, les valeurs maximales des écarts sont atteintes pratiquement à moitié de vie du matériau sous le premier niveau de contrainte.   2.3 – Etude de sensibilité de la loi de Lemaitreet Chaboche à la variation de la constante β    La figure 45 montre que la valeur de la fraction de vie au second niveau de contrainte varie dans le même sens que la constante β pour les essais Haut-Bas et Bas-Haut. Les valeurs maximales des écarts de fractions de vie au second niveau de contrainte pour la loi de Lemaitre et Chaboche sont supérieures à celles obtenues avec la loi de Ellyin et la loi de Bui- Quoc : elles atteignent près de 4.10 -2 ce qui n’est pas forcément négligeable.  

 

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Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence   Sen sibilit é de la lo i de Bui Q uo c à la v ariat io n de la Sen sibilit é de la lo i de Bui Q uo c à la v ariat io n de co n st an t e m . A cier 3 0 0 CVM en flex io n ro t at iv e : la co n st an t e m . A cier 3 0 0 CVM en flex io n 1 2 8 0 -2 4 4 0 0 0 cy cles. ro t at iv e : 1 2 0 0 0 -4 4 0 0 0 cy cles. ∆ r2 ∆ r2 4  ,0 E -0 4 2 ,0 E -0 3 3 ,0 E -0 4 1 ,0 E -0 3  2 ,0 E -0 4 0 ,0 E +0 0 r1  1 ,0 E -0 4 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  r1 0 ,0 E +0 0 -1 ,0 E -0 3 -1 0 %  0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 5 %  -1 ,0 E -0 4  -1 0 % - -2 ,0 E -0 3  1 %  -2 0 E -0 4  -5 % , 5 %  1 % -3 ,0 E -0 3  1 0 %  -3 ,0 E -0 4  5 % -4 ,0 E -0 4  1 0 %    (a) (b)     Sen sibilit é de la lo i de Bu -Q uo c à la v ariat io n de la Sen sibilit é de la lo i de Bui Q uo c à la v ariat io n de la co n st an t e m . A cier 3 0 0 CVM en flex io n ro t at iv e : co n st an t e m . A cier 3 0 0 CVM en flex io n ro t at iv e : ∆ r2 9 4 0 0 0 -3 8 0 0 cy cles. 2 4 4 0 0 0 -1 2 8 0 cy cles. ∆ r2 3 ,0 E -0 3 2 2 ,0 E -0 3  ,5 E -0 3  -1 0 % 2 ,0 E -0 3  -5 % 1 ,0 E -0 3  1 ,5 E -0 3  1 % 1 ,0 E -0 3  5 % r1 5 ,0 E -0 4  1 0 % 0 ,0 E +0 0  0 ,0 E +0 0 r 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  -1 0 %  -5  ,0 E -0 4 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 -5 %  -1 ,0 E -0 3 -1 ,0 E -0 3  1 %  -1 ,5 E -0 3 5 % -2 ,0 E -0 3 1 0 % -2 ,0 E -0 3  -2 ,5 E -0 3    (c) (d)   Figure 44 :  Sensibilité de la loi de Bui-Quoc à la variation de sa constante m pour l’acier Maraging 300CVM en flexion rotative (a) et (b) Essais Haut-Bas, (c) et (d) Essais Bas-Haut.        109

Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence     Sen sibilit é de la lo i de L em ait r e-Ch abo ch e à la Sen sibilit é de la lo i de L em ait re-Ch abo ch e à la v ariat io n de la co n st an t e β . A cier 3 0 0 CVM en v ariat io n de la co n st an t e β . A cier 3 0 0 CVM en flex io n r o t at iv e : 1 2 8 0 -2 4 4 0 0 0 cy cles. flex io n ro t at iv e : 1 2 0 0 0 -4 4 0 0 0 cy cles. ∆ r2 ∆ r 2  0 ,0 4 0 ,0 4 0 ,0 2 0 ,0 2 r 1 0 ,0 0  -1 0 %  0 ,0 0  r1  -1 0 % 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 -5 % -5 % -0 0 2  1 %  -0 ,0 2  1 % , 5 % 5 % -0 ,0 4  1 0 %  -0 ,0 4  1 0 %    (a) (b)   Sen sibilit é de la lo i de L em ait re-Ch abo ch e à la Sen sibilit é de la lo i de L em ait re-Ch abo ch e à la t e β . A cier 3 0 0 CVM en co n st an t β er 3 0 0 CVM en v ariat io n de la co n st an v ariat io n de la e . A ci flex io n ro t at iv e : 9 4 0 0 0 -3 8 0 0 cy cles flex io n ro t at iv e : 2 4 4 0 0 0 -1 2 8 0 cy cles. ∆ r2 ∆ r2 0 ,0 4  0 ,0 4 0 ,0 3 0 ,0 2  0 ,0 2 0 ,0 1  r1 r1 0 ,0 0  -1 0 %  0 ,0 0  -1 0 % -0 ,0 1 0 ,0 0 ,5 1 ,0  -5 %  0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  -5 % -0 ,0 2 1 % -0 ,0 2  1 % -0 ,0 3  5 %  5 % -0 ,0 4  1 0 %  -0 ,0 4  1 0 %    (c) (d)   Figure 45 : Sensibilité de la loi de Lemaitre-Chaboche à sa constante β pour l’acier Maraging 300CVM en flexion rotative (a) et (b) Essais Haut-Bas, (c) et (d) : Essais Bas-Haut.   2.4 – Etude de sensibilité de la loi de Manson à la variation de ses constantes p et b  Pour la loi de Manson, nous avons étudié séparément l’influence de la variation de ses deux paramètres p et b sur son comportement. L’étude est réalisée, avec les mêmes essais que ceux utilisés pour les études de sensibilité des lois de Bui-Quoc et de Lemaitre-Chaboche. Les résultats sont présentés sur la figure 46. On s’aperçoit que le sens de variation de la fraction  110

Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence de vie au second niveau de contrainte est le même que le sens de variation de l’une ou de l’autre des deux constantes. Les valeurs des écarts de fraction de vie au second niveau de contrainte sont très importantes (environ 0,85) dans le cas de la variation de la constante b (figure 46(a)), ce qui apparaît justifié puisqu’il s’agit de l’exposant de la durée de vie totale dans l’expression de la courbe S-N du matériau.     Sen sibilit é de la lo i de M an so n à la v ariat io n de la  Sen sibilit é de la lo i de M an so n à la v ariat io n de la co n st an t e p . A cier 3 0 0 CVM en flex io n ro t at iv e  co n st an t e b. A cier 3 0 0 CVM en lex io n ro t at iv e 1 2 8 0 -2 4 4 0 0 0 cy cles.  1 2 8 0 -2 4 4 0 0 0 cy cles. ∆ r2 0 ,4 ∆ r2 0 ,3 0 ,5 0 ,2 0 ,3 0 ,1  0 ,1 0 ,0  r1  -0 1  0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 r1  % 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  -1 0 %  ,  -1 0 -0 ,1  -5 %  -0 ,3  -5 % -0 ,2 1 % -0 ,5 1 % 5 % -0 ,3  -0 ,7  5 % 1 0 %  1 0 % -0 ,4 -0 ,9  (a)   Sensibilit é de la loi de M anson à la variat ion de  Sensibilit é de la loi de M anson à la variat ion de la const ant e p . A cier 300CVM en flexion  la const ant e b. A cier 300CVM en flexion rot at ive :12000-44000 cy cles,  2  rot at ive :12000-44000 cy cles. ∆ r ∆ r2 0,2 0,02 0,1 0,01 r1 -10% 0,00 r1  -10%  0,0  0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  -5% 0,000,200,400,600,801,00 -5% , 1% -0,01 1%  -0,1  5% 5% 10% -0,02 10%  -0,2    (b)    111

Chapitre IV Etude de la sensibilité des lois vis à vis de leurs paramètres d’influence   Sensibilit é de la loi de M anson p ar rap p ort à la Sen sibilit é de la lo i de M an so n p ar rap p o rt à la variat ion de la const ant e p . A cier 300CVM en v ariat io n de la co n st an t e b. A cier 3 0 0 CVM en fexion rot at ive :94000-3800 cy cles. fex io n ro t at iv e :9 4 0 0 0 -3 8 0 0 cy cles. ∆ r2 ∆ r2 0  ,4 0 ,0 5 0 0 ,0 4  ,3 0 ,0 3  0 ,2 0 ,0 2  0 1 , 0 ,0 1  r1 r1 0  ,0 0 ,0 0  0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0  -1 0 % 0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 -10% -0 ,0 1  -0 ,1 -5 % -0 ,0 2 -5% 0 ,2  1 % - -0 ,0 3 1% 5 % - -0 ,0 4 5% 0 ,3  1 0 % -0 ,0 5 10% -0 ,4    (c)   Sensibilit é de la loi de M anson p ar rap p ort à la Sen s ib ilité d e la lo i d e M an s o n p ar rap p o rt variat ion de la const ant e p . A cier 300CVM en à la v ariatio n d e la co n s tan te b . 300CVM fexion rot at ive :244000-1280 cy cles. en flexio n ro tativ e 244000-1280 cy cles . ∆ r2 ∆ r2 0,10 0,4 0,08 0,3 0,06 0,2 0,04 0,1 0,02 r1 0,0 r1  -10% 0,00 ,00,20,40,60,81,0 -10% 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  -5% -0,02 0 -0,1 -0,04 -5% -0,2 1% -0,06 1% -0,3 5% -0,08 5% -0,4 10% -0,10 10%    (d)   Figure 46 :  Sensibilité de la loi de Manson à ses constantes p et b pour l’acier Maraging 300CVM (a) et (b) Essais Haut-Bas, (c) et (d) Essais Bas-Haut.   Remarque :  Les courbes des écarts de la fraction de vie au second niveau de contrainte comprennent pour simplifier trois segments de droite. La raison en est simple, elle peut s’expliquer sur la figure 47 où est représentée, dans deux cas particuliers de cumul de  112