cours-Chap3-Ordre et Valeur absolue

Olivier

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Seconde Chap C : Ordre – Valeur absolue 1. Comparaison de nombres. 1.1. Critère d'ordre. Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b – a est positive ou nulle. On écrit : a < b équivaut à b – a > 0 1.2. Quelques règles de comparaison. Règle 1 : Pour comparer deux nombres, on peut calculer leur différence : • Si a – b > 0 alors a > b • – b < 0 alors a < b 6 17 Exemple : Sans calculatrice, comparer et . 7 20 Règle 2 : a, b, c désignent des nombres réels positifs a b• et (c „ 0) sont rangés dans le même ordre que a et b. c cc c• et (a „ 0 et b „ 0) sont rangés dans l'ordre contraire de a a bet b. Exemples : Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : 5 5• et 1,253 1,25425 23• et 21 218 23• et 7 21 Règle 3 : Comparaison à un nombre intermédiaire a, b, c désignent des nombres réels Si a < b et b < c alors a < c 31 28 Exemples : Classer par ordre croissant les nombres suivants : ; ; 30 3130 31 31 29 ; ; ; 31 28 29 31 BERTAUD MH – Seconde 3 – 28 ex – 17/10/2002 page 1 Règle 4 : Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. • Si a < b alors a + c < b + c • Si a < b alors a – c < b – c Règle 5 : Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l'ordre. • Si a < b et c > 0 alors ac < bc a b• Si ...

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Seconde  ChapC : Ordre – Valeur absolue 1.Comparaison de nombres. 1.1. Critère d'ordre. Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b – a est positive ou nulle. On écrit : a<b équivaut à b – a>0 1.2. Quelques règles de comparaison. Règle 1comparer deux nombres, on peut calculer leur différence :: Pour ·Si a– b > 0alors a> b ·Si a– b < 0alors a< b 6 17 Exemple: Sans calculatrice, compareret . 7 20 Règle 2b, c désignent des nombres réels: a,positifs a b ·¹ et (c0) sont rangés dans le même ordre que a et b. c c c c ·¹ ¹ et (a0 et b0) sont rangés dans l'ordre contraire de a a b et b. Exemples: Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : 5 5 ·et 1,253 1,254 25 23 ·et 21 21 8 23 ·et 7 21 Règle 3: Comparaisonà un nombre intermédiaire  a,b, c désignent des nombres réels  Sia < b et b < calors a < c 31 28 Exemples: Classer par ordre croissant les nombres suivants :; ; 30 31 30 31 31 29 ; ; ; 31 28 29 31 BERTAUD MH – Seconde 3 – 28 ex – 17/10/2002page 1

Règle 4: Ajouter(ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. ·Si a<b alorsa + c<b + c ·Si a<a – cb alors<b – c Règle 5: Multiplier(ou diviser) par un nombrestrictement positifconserve l'ordre. ·Si a<b etc > 0 alors ac<bc a b ·Si a<b etc > 0 alors< c c Règle 6: Multiplier(ou diviser) par un nombrestrictement négatifchangel'ordre. ·Si a<b etc < 0 alors ac>bc a b ·Si a<b etc > 0 alors> c c Exemple 1: Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : ·3 –2et 2 –2 2 2 ·et 4 3 5 ·p p –2 et– 2 p p Exemple 2< 3,15. Comparer les nombres suivants :+ 7: On donne 3,14 < ; 10,15 ; 10,14 ; p  +7,1. 3 1.3. Comparaison dea,a² etalorsque a est positif. Théorème 3 ·Sia> 1 alorsa<a² <a 3 ·Si0 <a< 1 alorsa<a² <a Démonstration : A retenir :Multiplier par un nombre entre 0Multiplier par un nombre supérieur à 1 augmente laet 1 diminue la valeur. valeur. 4 2 Exemple9 – 3: Comparer5et 9–35et; même question pour 9 3  page2

2.Intervalles de IR  aet b sont deux nombres réels tels que a < b. ·  L'intervalleFERME [a ; b]est l'ensemble des réelsxtel que :a<x<b -¥ +¥  ab ·a<x<b  L'intervalleOUVERT ]a ; b[est l'ensemble des réelsxtel que : -¥ +¥  ab · ¥  L'intervallenoté [b ; +[ est l'ensemble des réelsxtels que :x>b -¥ +¥  b · ¥  L'intervallenoté ]; a] est l'ensemble des réelsxtels que :x<a -¥ +¥  a ¥ ¥ Remarquesl'infini") ne sont pas des nombres;("moins l'infini") et+ ("plus: – ce sont des symboles. ¥ ¥  Ducôté de –ou +le crochet est toujours ouvert, par convention. ¥ ¥  L'ensembledes réels IR se note aussi ]–; + [. Exemples: Résoudre l'inéquation 3x–2>5x+ 3. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de cette inéquation etécrire cet ensemble à l'aide d'intervalle.  Mêmequestion pour les inéquations suivantes : 6x+1  2(x–3)–(x+4)>x–6x–<2 5  SoitI et J deux intervalles de IR.  L'intersectionde I et de J est l'ensemble des réels appartenant à la fois à I et à J. IÇJ  Onle note(On lit : I inter J).  Laréunionde I et de J est l'ensemble des réels appartenant à l'un ou l'autre des intervalles. IÈJ  Onle note(On lit : I union J). Exemples:Déterminer la réunion ou l'intersection des intervalles suivants. On pourra s'aider d'un graphique.  page3

[ 2; 3]È]1;5[ = [ 2; 3]Ç]1;5[ = ]- ¥;3]È]0 ;6[ = ]- ¥;3]Ç]0 ;6[ = [ 2; 3]È]3; 7] = [ 2; 3]Ç]3; 7] =

3.Valeur absolue. ¾®  Soitune droite munie d'un repère (O; i).  Toutréelxest l'abscisse d'un point M de cette droite graduée.  Lavaleur absolue dexest la distance OM. x= OM. ConséquencesLa valeur absolue étant une distance, la valeur absolue de tout : nombrexest positive ou nulle.  Deuxnombres opposés ont la même valeur absolue :–x=x 4. Distance entre deux réels. Soit a et b deux réels. Par définition, la distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence :  AB= b– a On a bien–sûr :b – a= a– b. Exemple: Placer sur une droite graduée d'origine 0, les points A, B, C, D et E 5 d'abscisses 2, 1, 5, 3, 2  DéterminerOA, OB, AE, DC, BD ExerciceTrouver tous les nombres :xtels quex 4= 3. Même question pour x+ 2= 1.

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