Cours - Comparaison des suites

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c Christophe Bertault - MPSI
Comparaison des suites
Dans l’armoire des suites, la notion de limite crée des tiroirs qui permettent de faire un certain tri : dans le « tiroir∞ » sont
rangées toutes les suites de limite∞, dans le « tiroir 2 » toutes les suites de limite 2... et dans le « tiroir sans limite » toutes les
2suites sans limites. Or dans certains tiroirs, il serait intéressant que de nouveaux sous-tiroirs soient créés : les suites (n ) etn∈N
n(2 ) , par exemple, sont toutes deux dans le « tiroir∞ », mais on sent bien qu’elles portent des infinis de tailles différentes;n∈N
1 1
même chose dans le « tiroir 0 » avec les suites et .
nn 2∗n∈N n∈N
La figure ci-dessous résume schématiquement l’ambition de ce chapitre.
Pas de −∞ π ∞−2 0 1 limiteLes tiroirs
« limite »
 √ n 3 −n −2 n nsinn−n e n! 1 n (−1)− √ 1 1 n3 −n −n n+ n nn + n!−4 e −n +2n e 4 n+lnnn−2 n sinn √n nLes nouveaux 4 n 2−2 n n (n+2)! e nsinn1−n n+1 (−1) n−√ √ √ 2 3n 4tiroirs! −n 4 2 3n n+ n n +1n+sinn e +n 1+e n +3 n +2 e +1 ... ... ... ... ... ... ... ... √n n3 1 −n« Tiroir−2 » « Tiroir n » « Tiroir n! » « Tiroir (−1) » « Tiroir nsinn »« Tiroir−n » « Tiroir− » « Tiroir e »
n
1 Négligeabilité
1.1 Définition
Définition (Négligeabilité) Soient (u ) et (v ) deux suites. On dit que (u ) est négligeable devant (v ) s’iln n∈N n n∈N n n∈N n n∈N
existe une suite (ε ) de limite nulle et un rang à partir duquel u = ε v . Cette relation se note u = o(v ) et se litn n∈N n n n n n
n→∞
« u est un petit o de v ».n n
un
En pratique, si (v ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, dire que u = o(v ) revient à dire que lim = 0.n n∈N n n
n→∞ n→∞ vn
Explication Dans cette définition, il faut multiplier (v ) par une suite de limite nulle pour obtenir (u ) ; c’estn n∈N n n∈N
bien dire que u est toute petit devant v , et même de plus en plus à mesure que n croît — d’où la terminologie : (u ) estn n n n∈N
négligeable devant (v ) . On se sert de ce vocabulaire quand on veut comparer deux infinis ou deux zéros : on peut ainsi diren n∈N
que tel infini est plus petit que tel autre, etc.
1
2 3n n 1 1 22 4 3 4 nExemple n = o(n ) car lim = 0. n = o(n ) car lim = 0. = o car lim = 0.
4 4 2n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1n n n n
n
! Vous ne rencontrerez jamais l’expression « u = o(0) » en mathématiques. Banissez-la donc de$$$ Attention n
n→∞
vos copies! Cette expression a pourtant bien un sens, mais elle nous parle de la suite nulle — sans intérêt :
u = o(0) ⇐⇒ u = 0 à partir d’un certain rang.n n
n→∞
Nous avons introduit ci-dessus la notation « petit o » sous sa forme la plus élémentaire — mise en relation de deux suites.
Cette notation existe en réalité sous des formes assez diverses en mathématiques. Par exemple, vous rencontrerez souvent des
expressions du genre « u = v + o(w ) ». En l’occurrence, cette expression signifie simplement que u = v + x oùn n n n n n
n→∞
x = o(w ); bref : u et v ne diffèrent que d’un petit o de w .n n n n n
n→∞
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Explication
1 1 1 5 1• Partons de l’affirmation : = − + +o . Peu importe ici pourquoi cette affirmation est vraie.
2 3 2n→∞n+1 n n n n
1 1 1 5
Grosso modo, cette proposition affirme que lorsque n est assez grand, ≈ − + . Or une approximation n’a
2 3n+1 n n n
1 1 1 5 1
de sens que si l’on peut mesurer l’erreur commise. Ici il nous est dit que ≈ − + à un o près. Le
2 3 2n+1 n n n n
1 −2o représente le niveau de précision de l’approximation. C’est un peu comme quand on dit que π≈ 3,14 à 10 près.
2n
−2• Imaginez justement qu’on vous dise : « π est égal à 3,14012 à 10 près ». Vous répondrez naturellement : « Pourquoi
−2 −2ne pas se contenter de l’approximation 3,14 puisqu’on raisonne à 10 près? » Et vous aurez raison : raisonner à 10
−2 −2près, c’est négliger tout ce qui est plus petit que 10 . Ainsi l’approximation π≈ 3,14 à 10 près est aussi précise que
−2l’approximation π≈ 3,141592 à 10 près, bien qu’on ait deux décimales correctes dans un cas et six dans l’autre.
5 1 5
Lemêmephénomèneseproduitavecles petitso. Ainsi,puisque = o ,la quantité est inutiledansla relation
3 2 3n n→∞ n n
1 1 1 5 1 1 1 1 1
= − + +o ; nous pouvonsdonc lui couper la tête et affirmer que = − +o .
2 3 2 2 2n→∞ n→∞n+1 n n n n n+1 n n n
Cette nouvelle proposition n’est ni plus ni moins précise que la précédente, mais elle est plus lisible.
Vousdevezvoushabitueràpenserlespetitsocommedesniveauxdeprécisionouencorecommedesseuilsdevisibilité,
et penser de vous-mêmes à « nettoyer » les formules que vous écrivez comme nous venons de le faire ci-dessus.
Théorème (Limites et petits o) Soient (u ) une suite et ℓ∈R. Alors : lim u =ℓ ⇐⇒ u = ℓ+o(1).n n∈N n n
n→∞ n→∞
Cas particulier fondamental : lim u = 0 ⇐⇒ u = o(1). En résumé : o(1) = « une suite de limite nulle ».n n
n→∞ n→∞
Démonstration
u −ℓn
lim u = ℓ ⇐⇒ lim = 0 ⇐⇒ u −ℓ = o(1) ⇐⇒ u = ℓ+o(1). n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞1
1.2 Opérations sur les petits o
∗Théorème (Les petits o absorbent les constantes multiplicatives) Soient (u ) et (v ) des suites et λ∈R .n n∈N n n∈N
Si u = o(v ), alors u = o(λv ) et λu = o(v ).n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Montrons que u = o(λv ). Par hypothèse, il existe une suite (ε ) de limite nulle et unn n n n∈N
n→∞
ε εn n
rang N à partir duquel u =ε v . Alors u = (λv ) à partir du rang N et lim = 0. D’où le résultat.n n n n n
n→∞λ λ
Montrons que λu = o(v ). Reprenons les notations précédentes. On a λu = (λε )v à partir du rang N etn n n n n
n→∞
lim λε = 0. D’où le résultat. n
n→∞

1 1 1 1 2 1 2 1
n nExemple Si l’on admet l’égalité : e = 1+ +o , alors : 2e = 2+ +2 o = 2+ +o .
n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n
′Théorème (La somme de deux petits o est un petit o) Soient (u ) , (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N
′ ′Si un = o(vn) et si u = o(vn), alors un +u = o(vn).n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Parhypothèse,ilexisteunesuite (ε ) delimitenulleetunrangN àpartirduquelu =ε v ,n n∈N n n n
′ ′ ′ ′ ′ ′ainsi qu’une suite (ε ) de limite nulle et un rang N à partir duquel u = ε v . Alors u +u = (ε +ε )vn n∈N n n n n n n n nn o
′′à partir du rang max N,N et lim (ε +ε ) = 0. D’où le résultat. n n
n→∞
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1 1 1 1 1 1
nExemple Admettons momentanément les égalités : e = 1+ +o et sin = +o .
n→∞ n n n n→∞ n n
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
nAlors : e +sin = 1+ +o + +o = 1+ +o +o = 1+ +o .
n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n n n n n
Théorème (Un petit o d’un petit o est un petit o) Soient (u ) , (v ) et (w ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N
La relation « être négligeable » est transitive : si u = o(v ) et si v = o(w ), alors u = o(w ).n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
Démonstration Parhypothèse,ilexisteunesuite (ε ) delimitenulleetunrangN àpartirduquelu =ε v ,n n∈N n n n
′ ′ ′ ′ainsi qu’une suite (ε ) de limite nulle et un rang N à partir duquel v =ε w . Alors u = (ε ε )w à partirn n∈N n n n n n n nn o
′′du rang max N,N et lim ε ε = 0. D’où le résultat. n n
n→∞

1 1 1
2nExemple Admettons momentanément l’égalité : e = 1+ +o .
2 2n→∞ n n
11 1 1 1 1 1 1
2nAlors puisque = o : e = 1+o +o o = 1+o +o = 1+o .
2 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞n n n n n n n
′ ′Théorème (Avec le produit, tout va bien) Soient (u ) , (v ) , (w ) , (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N n n∈N n∈N n∈Nn n
′ ′ ′ ′• Si u = o(v ) et si u = o(v ), alors u u = o(v v ).n n n nn n n n
n→∞ n→∞ n→∞
• Si u = o(v ), alors u w = o(v w ).n n n n n n
n→∞ n→∞

1 1 1 1 1 1
nExemple Admettons momentanément les égalités : e = 1+ +o et sin = +o .
n→∞ n→∞n n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
nAlors : e sin = 1+ +o × +o = +o + + o +o ×o
2n n→∞ n n n n n→∞ n n n n n n n
1 1 1 1 1 1 1
= +o + +o +o = +o .
2 2 2n→∞ n→∞n n n n n n n| {z }
1
= o( )
nn→∞
Théorème (Avec les suites extraites, tout va bien) Soient (u ) et (v ) des suites.n n∈N n n∈N
Si ϕ :N−→N est strictement croissante et si u = o(v ), alors u = o v .n n ϕ(n) ϕ(n)
n→∞ n→∞
$$$ Attention ! Il est formellement interdit de composer une relation de négligeabilité par la gauche : si 12u = o(v ), on n’a pas forcément f(u ) = o f(v ) . Par exemple n = o(n ), mais si on compose à gauche par x→ ,n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ x
1 1
= o .
2n n→∞ n
1.3 Exemples fondamentaux
α βThéorème (Exemples fondamentaux de petits o) Soient a,b,α,β∈R. (i) Si α <β, alors n = o(n ).
n→∞
βn n α(ii) Si|a| <|b|, alors a = o(b ). (iii) Si α> 0, alors lnn = o(n ).
n→∞ n→∞
α n n(iv) Si a> 1, al