Cours Composites 06-07

Frichard

Description

9999Matériaux CompositesGENERALITESdéfinitions, avantages et inconvénients, marchés d’applicationPROPRIETES ELASTIQUESdes propriétés micro aux propriétés macroCRITERES DE RUPTURETECHNOLOGIE éléments constitutifs et procédés de fabrication58Critères de rupturematrice fibre + interface ou interphase microscopique mésoscopique macroscopique 591Critères de rupture pour une couche32 σ2σ6En général, 5 contraintes à la rupture : σ 11X: contrainte à la rupture en traction dans la direction 1X’ : la rupture en compression dans la direction 1Y: contrainte à lans la direction 2Y’ : lans la direction 2S: contrainte à la rupture en cisaillement dans le plan 1260Critères de rupture pour une couche1) Critère de la contrainte maximale :′−X<<σ XPas de rupture des fibres si : 1′Pas de rupture de la matrice si : −YY<<σ2−

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Extrait

Matériaux Composites

9 GENERALITES définitions, avantages et inconvénients, marchés d’application 9 PROPRIETES ELASTIQUES des propriétés micro aux propriétés macro 9 CRITERES DE RUPTURE 9 TECHNOLOGIE éléments constitutifs et procédés de fabrication

fibre

Critères de rupture

m atrice

+ interface ou interphase   microscopique

mésoscopique

 

macroscopique

 

58

59

1

Critères de rupture pour une couche

En général, 5 contraintes à la rupture : 1 X : contrainte à la rupture en traction dans la direction 1 X’ : rupture en compression dans la direction 1contrainte à la Y : contrainte à la rupture en traction dans la direction 2 Y’ : la rupture en compression dans la direction 2contrainte à S : contrainte à la rupture en cisaillement dans le plan 12

Critères de rupture pour une couche

1) Critère de la contrainte maximale :

Pas de rupture des fibres si : − ′  < σ 1 <X Pas de rupture de la matrice si : −Y ′ < σ 2 <Y Pas de rupture en cisaillement si : −S< σ 6 <S

2) Critère de la déformation maximale :

Pas de rupture des fibres si : Pas de rupture de la matrice si : Pas de rupture en cisaillement si :

-X’ ε <ε 1 < X ε -Y’ ε <ε 2 < Y ε -S ε <ε 6 < S ε

6

2 2

60

61

2

Critère de la contrainte max. Unidirectionnel dans les axes principaux d’orthotropie

X ′ = 1130

2 Y=42

Y ′ = 141

X=

1 ′ X=1130

6 S=63

S=63

X

=1

Critère de rupture en dehors des axes principaux

2 2 ⎧ ⎪ ⎨ σ 2 1 ⎡ = ⎪ ⎣ ⎬ ⎫ T σ ⎤ ⎧ σ ⎦ ⎪ ⎨ x y ⎫ = ⎡ ⎪ ⎢ ⎬ sc sc− s2 cs c 2 ⎤ ⎪ σ ⎨ ⎥ ⎧ 0 x ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ σ 6 ⎩ ⎪ σ ⎪ σ ⎭ xy ⎢ ⎭ ⎣ ⎪ ⎢ −s 2 c s 2 c c 2 −s 2 ⎥ ⎦ ⎪ ⎥ ⎩ 0 ⎪ ⎭

2 Traction sui σ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 σ ⎧ ⎬⎨ ⎪ = ⎪ ⎫ x c ⎬ ⎫ ⎪ vant x : σ 2  σ ⎪ ⎪ x s 2 ⎪ ⎩σ 6 ⎭ ⎩−σ x sc ⎭

− ′  < σ x c 2 <X Critère de la contrainte max : −Y ′ < σ x s 2 <Y −S< −σ x sc<S

x

x θ 1

1500

1000

500

Y 0 0

z 3

x

1

 

62

2

10 20 30 40 50 60 70 80 90 63

3

Tsai-Hill

2 2  2 Critère de rupture d’une couche : ⎝ ⎜ ⎛ X σ )'( 1 ⎜ ⎠ ⎟ + ⎝ ⎞⎛ Y σ )'( 2 σ ⎟ − ⎠ ⎞ X 1 '( σ 2 2) ⎛ σ ⎜ + ⎝ S 6 ⎞ ⎟ = ⎠ 1 Il ne faut pas oublier de placer au dénominateur des 3 premiers termes les valeurs des contraintes de rupture correspondant à la nature des sollicitations (traction ou compression)

Critère de rupture en dehors des axes principaux

⎪ ⎧ ⎩ ⎪ ⎨ 1 2 ⎬ ⎭ ⎫ ⎣ ⎪ = ⎪ ⎡ T σ ⎨ ⎪ ⎦ ⎧ ⎪ ⎤ y x ⎢ ⎪ − ⎬ ⎢ ⎢ ⎫ ⎡ = ⎪ s c 2 2 c s 2 2 −2 2 − sc csσ ⎥ ⎥ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎥ ⎤ ⎪ 0 x ⎬ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ σ σ σ σ 6 ⎩σ xy ⎭ ⎣  ss c c c 2 s 2 ⎦ 0

Traction suivant x : σ ⎨ ⎪ ⎧ 2 1 6 ⎨ σ ⎬ = ⎪ ⎪ ⎫ ⎧ ⎪⎪ x c 2 2 c ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ σ σ x s ⎪ ⎩ σ ⎭ ⎩ −σ x s ⎭

x

x

θ 1

Critère de Tsai-Hill (traction) : σ x 2 < c 4 s 4 1 c 2 s 2 c 2 s 2 2 + Y 2 − X 2 + S 2

z

3

x

 

64

2

65

4

Tsai-Wu

Critère de rupture d’une couche :

un paramètre supplémentaire

⎡ ⎣ ⎢ 1 X − X 1 ⎦ ⎤ ′ ⎥ σ 1 ⎣ + ⎡ ⎢ Y 1 − Y 1 ⎦ ⎤ ′ ⎥ σ 2 + X σ 1 X 2 + ′ Y σ Y 2 2 + ′ S σ 2 2 6 +2 XX F 1 ∗ ′ 2 YY ′ σ 1 σ 2 =1

−1≤F 1 ∗ 2 =F 12 XX ′ YY ′ ≤ 1 assure la convexité du critère

1 Hypothèse possible : F 1 ∗ 2 = − 2

Autres hypothèses

von Mises généralisé

66

67

5

Tsai-Wu Unidirectionnel dans la base d’orthotropie von Mises Généralisé

X ′ = 1130

2 Y=42

X=1270 1

Y ′ = 141

X ′

1130

6

S=63

S=63

X=

Déformations des couches dans la base du stratifié

⎧ ⎨ ⎪ ⎪ γ ε ε x y xy ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ k ε ⎧ ⎪ ⎩ γ ⎨ ε ⎪ 0 0 0 x y y x ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ h ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ a a a 21 1 1 1 6 ⎩ ⎪  ⎢ = =

0xy

 

a a 22 21 a a 61 62 ⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎧ ⎤ ⎪ 0 0 ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ a 26 a 66 ⎥ ⎩ ⎦ σ 0xy ⎭

déformation des couches (dans x,y,z)=déformation du stratifié (dans x,y,z)

70

68

69

1

6

Déformations des couches – Arbre de transmission

ε x a a ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ε 0 0y ⎬ ⎪ ⎫ ⎪ =h ⎢ ⎢ ⎡ a 1 21 1 a 21 22 ⎩γ 0xy ⎭ ⎢ ⎣ a 16 a 26

  z h/2

-h/2

a 16 00 a 26 ⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎪ ⎧ ⎤ ⎥ 0 ⎬ = ⎪ ⎪ ⎫ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ a 66 σ ⎩ ⎦ 0xy ⎭ 2.9 10 −5 σ 0xy ⎭

+45  -45  -45  +45 

z 4   z 3   z 0  

y

70

Contraintes dans les couches dans la base du stratifié

x x σ y Q 12 Q 22 Q 26 ε y Q 12 Q 22 ⎪ ⎧ ⎪ ⎨ ⎩ σ ⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎭ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Q 11 Q 12 Q 16 ⎥⎢ ⎩⎭ ⎪ ⎣ ⎪ ⎤ ⎥⎢ ⎡ ⎪ ⎧⎫ ⎬ ⎢⎥ ⎪ ⎢⎥ ε = ⎨ Q 11 Q 12 σ k xy ⎣ Q 16 Q 26 Q 66 ⎦ γ xy k Q 16 Q 26 k ⎩ ⎨ ⎪ ⎧ ⎪ σ σ σ x y yx ⎬ ⎪ ⎫ ⎭ ⎪ k ⎢ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Q Q Q 12 16 11 Q Q Q 22 26 21 Q Q Q 26 66 61 ⎥ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ k ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 10.9 0 0 2 5 σ 0xy ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ −

Q Q 16 26 ⎥ ⎤ ⎥ ε ε ⎪ ⎧ 0 0y x ⎫ ⎪ Q 66 ⎥ ⎦ ⎥ k ⎩ γ ⎪ ⎨ 0xy ⎬ ⎪ ⎭

71

7

Contraintes dans une couche dans sa base d’orthotropie

⎧σ x ⎫ ⎧ 0.92 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ y ⎪ ⎪ ⎭ ⎬ = ⎪ ⎨ ⎩ ⎪ 0.92 ⎫ ⎪ σ ⎬ ⎭ ⎪ 0xy ⎨ σ ⎪ σ ⎧ ⎩ ⎪ x y xy ⎬ ⎪ ⎫ ⎪ ⎭ −45 ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ .0- 0- 29 1 29. ⎪ σ ⎬ ⎪ ⎫ ⎭ 0xy σ xy 45 1

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎩ σ σ σ 6 2 1 ⎪ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ k ⎣ = ⎡ T σ ⎦ ⎤ k σ ⎧ ⎩ σ ⎨ ⎪ ⎪ σ yx y x ⎭ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ k ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ − ⎡ = s s c 2 2 sc c s 2 2 c c − 2 2 2 −s cs cs 2 ⎥ ⎤ ⎨ ⎧ ⎥ ⎪ ⎩ ⎦ ⎥ σ σ ⎪ σ yx y x ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ k ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ σ σ 6 2 1 ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ 45 ⎪ ⎧ ⎨ 0.0- 6329.1 4 0 76 ⎫ σ ⎪ ⎬ 0xy ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ σ σ ⎪ 1 ⎭⎩ ⎧⎫ ⎪⎪ ⎬⎨ = ⎪⎪ 0 4 236 0.076 -1.9 ⎫ ⎪ ⎪ ⎭ σ ⎬ 0xy ⎩⎭ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ 2 6 −45

Contrainte max [ -45 45] S   dans la base (x,y,z)

⎧ ⎪ ⎨ σ 1 ⎪ = ⎨⎬ ⎫⎧ ⎪ 1.9236 ⎪ ⎫ 0764σ xy ⎪ ⎩ σ 6 2 ⎪ ⎭ 45 ⎪ ⎩ 0 .0- ⎬ ⎪ ⎭ 0

−1130≤1.9236σ 0xy ≤1270 −141≤ −0.0764σ 0xy ≤42 −63≤0≤63

−587.4≤ σ 0xy ≤660.2 -549.7≤ σ 0xy ≤1845.5

0xy

0xy

72

 

0x

8

Contrainte max [ -45 45] S dans la base (x,y,z)

0y

0x

Tsai-Hill [-45 45] s

0xy

0xy

Critère de rupture d’une couche : ⎛ ⎝ ⎜ X σ ')( 1 ⎞ ⎠ ⎟ 2 + ⎛ ⎝ ⎜ Y σ )(' 2 ⎞ ⎠ ⎟ 2 − σ X ( 1 σ 2 2)' ⎜ + σ ⎛ ⎝ S 6 ⎠ ⎞ ⎟ 2 =1

Il ne faut pas oublier de placer au dénominateur des 3 premiers termes les valeurs des contraintes de rupture correspondant à la nature des sollicitations (traction ou compression)

⎜ ⎛ −1,92 X 3 ′ 6σ 0xy ⎞ ⎟ 2 ⎛ ⎜ + ⎝ 0,076 Y 4σ 0xy ⎞ ⎟ ⎠ 2 − (−1,9236σ 0xy X ) ′ ( 2 0,0764σ 0xy ) ⎛ ⎜ + 0 S ⎞ ⎟ 2 =1 ⎝ ⎠  ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎛ 1,9236σ 0xy ⎟ ⎠ ⎞ 2 ⎜ ⎝ + ⎛ −0,0764σ 0xy ⎟ ⎠ ⎞ 2 − (1,9236σ 0xy )(−0 2 ,0764σ 0xy ) =1 1130 42  1130

0xy =397MPa

 

0x

75

9

Tsai-Hill

0xy =397MPa

Adresse Web

http://www.materials-sciences.com/

Calculateur permettant l’obtention :

• de la matrice A • du critère de rupture du premier pli des stratifiés 9contraintes et déformations max 9von Mises généralisé

77

10

Tsai-Wu [ -45 45] S

0y

0x

0xy

604.6

320.6

-320.6

-604.6

0x

78

11