Cours d'analyse spectrale, INPG-ENSIEG-2A, 2005-2006

Jean-Marc Brossier

Description

Analyse spectrale - ENSIEG 2A- version 2005-2006Jean-Marc BROSSIER23 f´evrier 20064 Analyse spectrale, INPG-ENSIEG 2A - 2005-2006 version betaTable des mati`eres1 Introduction 71.1 De quoi s’agit-il? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Transformations fonctionnelles 112.1 L’exponentielle complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Transform´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Transform´ee de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11´2.2.2 Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Transform´ee de Fourier discr`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 Transform´ee en Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.5 Inversion de la transform´ee en Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.6 Inv de la trm´ee de Fourier discr`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.7 S´erie et int´egrale de Fourier.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.8 TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Mesure des fonctions de corr´elation. 153.1 Estimation d’une moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Extrait

Analyse

spectrale

-

ENSIEG

2A-

version

Jean-Marc BROSSIER

23

fe´vrier

2006

2005-2006

espscertAanyl-ENSIEG2ale,INPGv600isre02-A2-50beon

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Table des matieres `

1 Introduction 1.1 De quoi s’agit-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Transformations fonctionnelles 2.1 L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Transfor ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mees. . . 2.2.1Transforme´edeFourier................................ ´ 2.2.2 Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3Transform´eedeFourierdiscre`te........................... 2.2.4 Transf ´e enZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . orme 2.2.5Inversiondelatransform´eeenZ. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6Inversiondelatransform´eedeFourierdiscr`ete................... 2.2.7S´erieetint´egraledeFourier.............................. 2.2.8 TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mesure des fonctions de correlation. ´ 3.1 Estimation d’une moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Estimationdelacorr´elation................................. 3.2.1De´finitiondel’estimateuranalogique........................ 3.2.2 Mesure de performance de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mesure par TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1Passagea`tempsdiscret............................... 3.3.2D´efinitiondel’estimateurdiscret.......................... 3.3.3 Mesure de performance de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Mesuredesdensit´esspectralesdepuissance 4.1Pe´riodogramme........................................ 4.1.1 Expression de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.1.2Etudedespropri´ete´sstatistiquesdupe´riodogramme............... 4.2P´eriodogrammemoye´...... nne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Estimation du spectre de puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4Corre´logrammeetapodisation................................ 4.4.1Remarquesurl’apodisationdesdonne´es...................... 4.4.2Corre´logramme.................................... 4.5Probl`emesli´`alavisualisationdesdonn´ees........................ es 4.5.1Sur´echantillonnagefre´quentiel............................ 4.5.2Sur´echantillonnagetemporel.............................

7 7 9 11 11 11 11 12 12 13 13 13 13 14 15 15 16 16 16 20 20 21 22 25 25 25 26 28 28 29 29 30 30 30 31

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5

Un 5.1 5.2 5.3

4.5.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6

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peu de pratique F ´ uences “pures” . . . . . . . . . . . req . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1Miseen´evidencedelagrilledelaTFD.................. 5.1.2 Estimation du spectre de puissance d’une sinusoıde. . . . . . . . . . . ¨ Lepe´riodogrammen’estpasunestimateurconsistant.............. 5.2.1Variancedup´eriodogramme........................ 5.2.2Variancedup´eriodogrammemoyenn´e................... SpectredepuissanceetdeDensit´eSpectraledePuissance..........

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33 33 33 34 35 35 35 37

31

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tabeonsirev6002-5002-A2GNSIEPG-Ee,INtralpsceylesAan

Chapitre 1

Introduction

Sommaire 1.1 De quoi s’agit-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9

Attention,ntlesnomstna`edespscaseodppsaontineentiarhtamedsrcnofsel:’estecinncoupasuc nous´echappent,lesinte´gralesetlessommesconvergentsansprotester,lesDiracsontdesfonctions,...

1.1 De quoi s’agit-il ? Cecourstraiteessentiellementdel’estimationduspectredesprocessusale´toiresstationnaires.Le casdessinuso¨ıdesestinclusdansl’approchepr´esente´e. Quesignifie“estimerlespectred’unprocessusstationnaire”?LavraieDensit´eSpectraledePuis- sance(DSP)estlatransforme´edeFourierdelafonctiondecorre´lation,ellenepeuteˆtrecalcul´ee exactementqu’`apartirdel’observationdusignalsurtoutesadure´ed’existence.Pouruneobservation dedur´eefinie,ilfautsecontenterd’uneestimation. Meˆmelorsquesuffisammentdedonn´eessontdisponibles,latailleutiledel’observationpeutse trouverre´duitedufaitd’unenonstationnarit´e.Souventl’hypothe`sedestationnarit´en’estvalable que localement, cette restriction engendre une limitation de la taille de l’observation utile pour les traitementspre´sente´sdanscedocument. Unepremie`reid´ee,quiestimplicitementcellequ’exploitentlesme´thodesdeFouriersurlesquelles cecoursestcentre´,consiste`afiltrerlesignalautourd’unecertainefr´equencepoure´valuersapuissance autourdecettefre´quence.Pluslefiltreest´etroit,plussar´eponseimpulsionnelleestlongueetmoins ilestadapte´auxsignauxcourts:lesm´ethodesdeFouriersontnaturellementadapt´eesauxsignaux longs;pourdessignauxcourtsleurr´esolutiondevientsouventinsuffisanteetd’autresm´ethodes,non d´ecritesdanscedocument,doiventˆetreenvisag´ees. Ce cours ne fait qu’effleurer ce sujet difficile 1 edohte´msednoitaonsnlemii,slsentpr´eauneite` parame´triquesfond´eessurl’analysedeFourier. Lelecteurint´eresse´parplusdede´tailspeutconsulterlesre´f´erencesbibliographiquessuivantes: 1 li?eer`ueomPidcffinptublroracteslesylaepseiouqna’l Estimerlespectred’unsignala`partird’unnombrefinid’e´chantillonsissusd’uner´ealisationparticulie`reestunprobl`eme malpos´e.Nonseulementlar´eponsen’estpasunique,maislasolutiontrouve´epeuteˆtreinstable(unefaiblevariationdes observationsengendrantunefortevariationdel’estimation);uneapprocherigoureuseimposeder´egulariserleproble`me poureˆtreenmesuredeler´esoudrecorrectement.