Cours du 09 mai

Ghislain Guigon

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• Publié par: Muvug
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• Langue: Français

Extrait

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Cours du 09 m ai. U ne re lation pa rticulière.
Supposez que c e qu’i l y a da ns l e c adre, c’e st t out c e qu’i l y a . Nous voul ons dé crire l a
situation re présentée da ns l e c adre.
Soit F le pré dicat ' est un c ercle’.
Im aginez que vous dé criviez l a s ituation c omme ç a : F a
E t i maginez que m oi j ’a i dé crit l a s ituation c omme ç a : F b
Il ne s emble pa s que nous a yons dé crit de ux s ituations di fférentes, m ais pl utôt que nous a yons
décrit de de ux fa çons di fférentes l a m ême s ituation.
Que di re de l a re lation e ntre a e t b ? O n di ra que a e t b s ont un s eul e t m ême obj et, a e t b
sont identiques. O n di ra a ussi que l es m ots ‘ a’ e t ‘ b’ dé signent l e m ême obj et.
L es l ogiciens a ttachent une i mportance t oute pa rticulière à c ette re lation bi en s péciale qu’e st
l’i dentité ; à t el poi nt qu’i ls ont un s ymbole pa rticulier pour c ette re lation :
=
Pour di re que a e st i dentique à b, on n’é crira donc pa s R ab, m ais on é crira :
a = b
Ce ci di t que c ’e st l e c as que a e st i dentique à b . S a né gation « a n’e st pa s i dentique à b » pe ut
être é crite :
(a = b )
ou bi en
a b
L aissons de c ôté, les c as où on a pl usieurs nom s propre s pour pa rler d’une s eule c hose. Q uand
on n' a qu' un nom propre , il s emble t rivialement vra i que a = a .Ú
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Tout l e m onde e st d’a ccord pour di re que ‘ a = a’ e st une phra se qui nous a pprend pe u de
chose s ur a e t qui e st t riviale à propos de a. E n fa it c ’e st t rivial à propos de n’i mporte quoi . Ce
que j ’e ntends pa r ‘t rivial’ c ’e st que ‘ a = a’ e st t oujours vra ie, pe u i mporte c e qu' est a, pe u
importe l 'objet que l e nom propre ' a' dé signe. O n pe ut donc gé néraliser c omme s uit :
x (x = x)
Qui s e l it « n’i mporte que l obj et e st t el qu’i l e st i dentique à l ui-m ême ». Ce tte phra se e st
universellement vra ie, elle ne pe ut pa s ê tre fa usse. Il y a donc que lque c hose de t rès s emblable
entre c ette phra se e t l es t autologies, qui s ont e lles a ussi de s propos itions qui s ont t oujours
vraies. Ce la di t i l y a a ussi une di fférence e ntre ‘ x (x = x)’ e t l es t autologies. Les t autologies
(voi r T P de l ogique) s ont t oujours vra ies e n ve rtu de l eur form e l ogique. P eu i mporte c e que
nous ra conte P , pa r e xemple, ‘P P’ e st t oujours vra i, étant donné es l es t ables de vé rité de
la di sjonction e t de l a né gation. L es c hoses s ont di fférentes pour ‘ x (x = x)’. Ce t é noncé e st
un é noncé a tomique. E t l es é noncés a tomiques, en ve rtu de l eur form e l ogique s ont pa rfois
vrais e t pa rfois fa ux. S i ‘ x (x = x)’ e st t oujours vra i ç a n’e st donc pa s e n ve rtu de s a form e
logique, m ais e n ve rtu de s c oncepts qu’i l c ontient e t e n pa rticulier du c oncept d’i dentité. Ce t
énoncé e st t oujours vra i e n ve rtu du s ens du c oncept d’i dentité : s i on c omprend c e qu’e st
l’i dentité, on s ait que ‘ x (x = x)’ e st t oujours vra i.
Pou rquoi l’identité est-elle si importante p our les l ogiciens ?
1) r elations non- réflexives.
Cons idérez l a s ituation s uivante.

Im aginez que c e qu’i l y a da ns l e re ctangle, c’e st t out c e qu’i l y a . Com ment e xprimer l e fa it
qu’un c ube e st a u-de ssus de s a utres c ubes ?
Soit C le pré dicat e st un c ube, et D l a re lation e st a u-de ssus de .
On pourra it e ssayer l a form alisation s uivante : x (Cx & y (Cy Dxy))$
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Ce tte phra se nous di t qu’i l y a un c ube t el qu’i l e st a u-de ssus de n’i mporte que l c ube. Le
problème e st que c ette phra se e st fa usse, m ais a ussi a bsurde. Le c ube qui e st a u-de ssus de s
autres c ubes ne pe ut pa s ê tre a u-de ssus de l ui–même. O r ‘ x (Cx & y (Cy Dxy))’ nous
dit qu’i l y a un c ube qui e st a u-de ssus de n’i mporte que l c ube e t donc a u-de ssus de l ui-m ême.
Ce qui e st a bsurde.
C’est s eulement a vec l ’a ide de l ’i dentité qu’on pe ut e xprimer l e fa it qu’un c ube e st a u-de ssus
de t ous l es a utres, comme s uit :
x (Cx & y ((Cy & x y) Dxy))
Il fa ut l ire c et é noncé de l a m anière s uivante : « il y a un c ube x t el que pour t out c ube y qui
est di stinct de x, x e st a u-de ssus de y. » ‘di stinct’ e st s ynonyme de ‘non-i dentique’.
2) C ombien ?
Cons idérez l e c as s uivant :
Ce qu’on pe ut di re qua nd on di spose s eulement de s qua ntificateurs, c’e st qu’i l y a a u m oins
un obj et qui e st t el que …, ou bi en que t ous l es obj ets d’un c ertain t ype s ont t els que …
C’est un l angage a ssez pa uvre. P arfois on ne voudra it pa s s eulement di re qu’i l y a a u m oins
un c ube, ou que t ous l es c ubes s ont bl ablabla. Il y a de s c hoses vra ies à propos de not re de ssin
qu’on ne pe ut pa s di re s i on di spose s eulement de s de ux qua ntificateurs :
(i ) Il y a au m oins de ux cubes.
(i i) Il y a au pl us un triangle.
(i ii) il y a au pl us de ux triangles.
(i v) il y a e xactement un l osange.
Tous c es é noncés s ont vra is da ns l a s ituation c onsidérée. C’e st a u m oyen de l ’i dentité e t
seulement a u m oyen de l ’i dentité qu’on pe ut e n pa rler e n l angage de s pré dicats. $
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2a . A u m oins …
E ssayons de form aliser (i ). P renons C pour l e pré dicat e st un c ube.
On pourra it propos er : (i ’) x y (Cx & Cy)
qu’i l fa ut l ire « il y a a u m oins un x, i l y a a u m oins un y t el que x e st un c ube e t y e st un
cube. »
On pe ut vra iment ê tre t enté de pe nser que (i ’) e xprime c e qu’on ve ut, c’e st-à -di re qu’i l y a a u
moins de ux c ubes.
M ais c onsidérez :
M ême s ’i l n’y a qu’un c ube da ns c ette de rnière s ituation, i l s emble que (i ’) e st vra i pour c ette
situation. D ’a bord pa rce que (i ’) ve ut di re e n vé rité l a m ême c hose que « il y a a u m oins une
chose qui e st un c ube e t i l y a a u m oins une c hose qui e st un c ube ». Ce qui e st vra i de l a
dernière s ituation. U tiliser de ux va riables di fférentes ne nous pe rmet pa s de di re que l es
choses dé signées pa r c es va riables s ont di fférentes. x e t y da ns (i ’) pe uvent ê tre une s eule e t
même c hose. C’e st pourquoi (i ’) e st vra i de l a de rnière s ituation, m ême s i da ns c e de rnier c as,
il e st fa ux qu’i l y a a u m oins de ux c ubes.
Pour pouvoi r di re qu’i l y a a u m oins de ux c ubes, il s uffit de pré ciser que x e t y ne s ont pa s
identiques c omme s uit :
(i ’’) x y (Cx & Cy & x y)
(i ’’) doi t ê tre l u « il y a une c hose x e t une c hose y t elles que x e st un c ube e t y e st un c ube e t
x n’e st pa s l e m ême c ube que y. »
Ce qui s emble bi en voul oir di re c e qu’on s ouhaite, à s avoir « il y a a u m oins de ux c ubes ».
2b. A u pl us …
E ssayons d’a bord d’e xprimer (i i) qui e st pl us s imple que (i ii) m ême s i not re s tratégie s era l a
même. Ú
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Que ve ut-on di re qua nd on di t qu’i l y a a u pl us un t riangle ? O n ve ut di re qu’i l n’y e n a pe ut-
être a ucun. E n e ffet s ’i l n’y a pa s de t riangle, c’e st vra i qu’i l y e n a a u pl us un. S urtout, on
veut di re que s ’i l y a un t riangle, y e n a pa s un de uxième. Autrement di t, s’i l y a un t riangle, il
y a s eulement c elui-l à e t pa s un a utre.
Il y a de ux m anières dont on pourra it di re ç a e n l ogique de s pré dicats, une m anière qui ut ilise
deux né gations, et une m anière qui n’ut ilise pa s de né gation.
IM PORTA N T ! E n gé néral da ns c e ge nre de c as, en l ogique c omme e n F rançais ordi naire,
préférez e xprimer c e que vous voul ez de l a m anière qui n’ut ilise pa s de né gation (ou qui
utilise l e m oins de né gations pos sible) : m oins i l y a de s ymboles m oins vous ri squez de m al
placer un s ymbole.
L es de ux form alisations pos sibles de « il y a a u pl us un t riangle » ont l a form e :
- Pour t out obj et, si x e st un t riangle, alors i l n’y a pa s de y t el que y e st un t riangle e t y
n’e st pa s i dentique à x.
- Pour t out obj et x pour t out obj et y, s i x e st un t riangle e t s i y e st un t riangle, alors x e st
identique à y.
Vous de vriez voi r que c es de ux phra ses di sent l a m ême c hose. La pre mière di t, que s ’i l y a un
triangle, alors i l n’y a pa s de t riangle di stinct du pre mier. L e s econd vous di t que s ’i l y a une
chose qui e st un t riangle e t s ’