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Détermination d'une table de mortalité : la conversion des taux en quotients - article ; n°6 ; vol.46, pg 1441-1490

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53 pages
Population - Année 1991 - Volume 46 - Numéro 6 - Pages 1441-1490
Calot Gérard, Caselli Graziella. - Détermination d'une table de mortalité: la conversion des taux en quotients L'article est consacré à la détermination des formules permettant de déduire le quotient de mortalité à un âge i donné lorsqu'on connaît l'un ou l'autre des taux Tp ou Tc calculés respectivement dans le parallélogramme et dans le carré du schéma de Lexis. Si on néglige les migrations et si on suppose que les dates de ie anniversaire sont uniformément réparties, la formule simplifiée de conversion d'un taux en quotient : Q # l-e-r s'applique en première approximation. On peut cherchera améliorer cette formule pour tenir compte : — du fait qu'elle ne vaut qu'au premier ordre : il faut alors pousser les développements au deuxième ou au troisième ordre, ce qui fournit la formule de Reed et Merrel, applicable en l'absence de migrations et sous l'hypothèse d'uniformité des distributions des dates de ie anniversaire; — de la non-uniformité de la distribution des dates de ie anniversaire au sein de la génération concernée (taux Tp) ou du couple de deux générations consécutives concernées (taux Tc); — des migrations. En pratique, il s'avère que l'on peut s'en tenir à la formule simplifiée si on travaille dans un découpage annuel de l'âge et du temps, car les corrections à apporter sont généralement négligeables, sauf, dans le cas du taux Tc, lorsque l'une des deux générations concernées a une date moyenne d'anniversaire qui s'écarte notablement du milieu de l'année (générations nées au début ou à la fin d'une guerre). La formule de Reed et Merrel conduit à une correction négligeable lorsqu'on considère des taux par simple année d'âge, mais qui est 25 fois plus importante en valeur relative lorsqu'on considère des taux par groupes quinquennaux d'âge.
Calot Gérard, Caselli Graziella. - Life Table Construction. Conversion of Rates into Probabilities of Dying The object of this paper is to determine the equations needed to calculate the probability of dying between birthday i and birthday i + 1, when one of the rates Tp or Tc in the Lexis diagram is known. Assuming a closed population and a uniform distribution of i'th birthdays throughout the year, the simplest equation which would transform a rate into a probability would be as a first approximation. This equation can be improved to take into account: (i) the fact that it only describes a linear relationship, and must be extended to include terms of the second and third degree. This would lead to Reed-Merrill type equations, which, however, continue to assume a closed population and a uniform distribution of birthdays; (ii) the distribution of i'th birthdays in a given generation (Tp) or in two successive generations (Tc) may not be uniform; (iii) the population may not be closed to migration. In practice, the simple equation turns out to be sufficient, provided single years of age and periods of one year are used, because the corrections needed tend to be negligible, except in the case of Tc, when the average date of the birthday in one of the two generations is very different from mid-year, as, for instance, in the case of generation born at the beginning or end of a war. The Reed-Merrill formula needs only negligible correction when rates for single years of age are obtained, but the correction may be 25 times more important when ages are grouped in five-year groups.
Calot Gérard, Caselu Graziella. - Determination de una tabla de mortalidad: la conversion de las tasas en cocientes El articulo esta consagrado a la determinación de las formulas que permiten deducir el cociente de mortalidad a una edad i determinada, cuando se conoce una u otra de las tasas Tp о Tc, calculadas respectivamente en el paralelogramo y en el cuadrado del esquema de Lexis. Si se ignoran las migraciones y si se supone que las fechas del ie aniversario están repartidas uniformemente, la formula simplificada de la conversion de una tasa en cociente: Q#l-e-r se aplica en primera aproximación. Se puede tratar de mejorar esta formula, teniendo en cuenta: — de momento que ella solo tiene una validez de primer orden: faltaria entonces proseguir los desarrollos al segundo y tercer orden, que es lo que proporciona la formula de Reed y Merrel, aplicable en la ausencia de migraciones y bajo la hipótesis de la uniformidad de la distribution de las fechas del ie aniversario; — de la no uniformidad de la distríbución de las fechas del ie aniversario, en el seno de la generation concernida (tasa Tp) о del aparejamiento de dos generaciones consecutivas concernidas (taux Tc); — de las migraciones. En la práctica, se comprueba que se puede utilizar la formula simplificada, si se trabaja en una repartition anual de la edad y del tiempo, pues las correcciones a efectuar son generalmente insignificantes, salvo en el caso de las tasas Tc, cuando una de las dos generaciones concernidas tiene una fecha media de aniversario que se aleja notablemente del medio aňo (generaciones nacidas al principio о al final de una guerra). La formula de Reed y Merrel conduce a una correction insignificante cuando se considéra las tasas por simple aňo de edad, pero que es 25 veces más importante en valor relative, cuando se considéra las tasas por grupos quinquenales de edad.
50 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
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Gérard Calot
Graziella Caselli
Détermination d'une table de mortalité : la conversion des taux
en quotients
In: Population, 46e année, n°6, 1991 pp. 1441-1490.
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Calot Gérard, Caselli Graziella. Détermination d'une table de mortalité : la conversion des taux en quotients. In: Population, 46e
année, n°6, 1991 pp. 1441-1490.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1991_num_46_6_3781Résumé
Calot Gérard, Caselli Graziella. - Détermination d'une table de mortalité: la conversion des taux en
quotients L'article est consacré à la détermination des formules permettant de déduire le quotient de
mortalité à un âge i donné lorsqu'on connaît l'un ou l'autre des taux Tp ou Tc calculés respectivement
dans le parallélogramme et dans le carré du schéma de Lexis. Si on néglige les migrations et si on
suppose que les dates de ie anniversaire sont uniformément réparties, la formule simplifiée de
conversion d'un taux en quotient : Q # l-e-r s'applique en première approximation. On peut cherchera
améliorer cette formule pour tenir compte : —du fait qu'elle ne vaut qu'au premier ordre : il faut alors
pousser les développements au deuxième ou au troisième ordre, ce qui fournit la formule de Reed et
Merrel, applicable en l'absence de migrations et sous l'hypothèse d'uniformité des distributions des
dates de ie anniversaire; —de la non-uniformité de la distribution des dates de ie anniversaire au sein
de la génération concernée (taux Tp) ou du couple de deux générations consécutives concernées (taux
Tc); —des migrations. En pratique, il s'avère que l'on peut s'en tenir à la formule simplifiée si on travaille
dans un découpage annuel de l'âge et du temps, car les corrections à apporter sont généralement
négligeables, sauf, dans le cas du taux Tc, lorsque l'une des deux générations concernées a une date
moyenne d'anniversaire qui s'écarte notablement du milieu de l'année (générations nées au début ou à
la fin d'une guerre). La formule de Reed et Merrel conduit à une correction négligeable lorsqu'on
considère des taux par simple année d'âge, mais qui est 25 fois plus importante en valeur relative
lorsqu'on considère des taux par groupes quinquennaux d'âge.
Abstract
Calot Gérard, Caselli Graziella. - Life Table Construction. Conversion of Rates into Probabilities of
Dying The object of this paper is to determine the equations needed to calculate the probability of dying
between birthday i and birthday i + 1, when one of the rates Tp or Tc in the Lexis diagram is known.
Assuming a closed population and a uniform distribution of i'th birthdays throughout the year, the
simplest equation which would transform a rate into a probability would be as a first approximation. This
equation can be improved to take into account: (i) the fact that it only describes a linear relationship, and
must be extended to include terms of the second and third degree. This would lead to Reed-Merrill type
equations, which, however, continue to assume a closed population and a uniform distribution of
birthdays; (ii) the distribution of i'th birthdays in a given generation (Tp) or in two successive generations
(Tc) may not be uniform; (iii) the population may not be closed to migration. In practice, the simple
equation turns out to be sufficient, provided single years of age and periods of one year are used,
because the corrections needed tend to be negligible, except in the case of Tc, when the average date
of the birthday in one of the two generations is very different from mid-year, as, for instance, in the case
of generation born at the beginning or end of a war. The Reed-Merrill formula needs only negligible
correction when rates for single years of age are obtained, but the correction may be 25 times more
important when ages are grouped in five-year groups.
Resumen
Calot Gérard, Caselu Graziella. - Determination de una tabla de mortalidad: la conversion de las tasas
en cocientes El articulo esta consagrado a la determinación de las formulas que permiten deducir el
cociente de mortalidad a una edad i determinada, cuando se conoce una u otra de las tasas Tp о Tc,
calculadas respectivamente en el paralelogramo y en el cuadrado del esquema de Lexis. Si se ignoran
las migraciones y si se supone que las fechas del ie aniversario están repartidas uniformemente, la
formula simplificada de la conversion de una tasa en cociente: Q#l-e-r se aplica en primera
aproximación. Se puede tratar de mejorar esta formula, teniendo en cuenta: —de momento que ella
solo tiene una validez de primer orden: faltaria entonces proseguir los desarrollos al segundo y tercer
orden, que es lo que proporciona la formula de Reed y Merrel, aplicable en la ausencia de migraciones
y bajo la hipótesis de la uniformidad de la distribution de las fechas del ie aniversario; —de la no
uniformidad de la distríbución de las fechas del ie aniversario, en el seno de la generation concernida
(tasa Tp) о del aparejamiento de dos generaciones consecutivas concernidas (taux Tc); —de las
migraciones. En la práctica, se comprueba que se puede utilizar la formula simplificada, si se trabaja en
una repartition anual de la edad y del tiempo, pues las correcciones a efectuar son generalmente
insignificantes, salvo en el caso de las tasas Tc, cuando una de las dos generaciones concernidas tieneuna fecha media de aniversario que se aleja notablemente del medio aňo (generaciones nacidas al
principio о al final de una guerra). La formula de Reed y Merrel conduce a una correction insignificante
cuando se considéra las tasas por simple aňo de edad, pero que es 25 veces más importante en valor
relative, cuando se considéra las tasas por grupos quinquenales de edad.DETERMINATION D'UNE TABLE
DE MORTALITÉ : LA CONVERSION
DES TAUX EN QUOTIENTS
Introduction
On considère, pour chaque année de calendrier, les données statistiques
suivantes (figure 1 ci-après) :
— nombre de décès par triangle du schéma de Lexis (double classement
des décédés par année de naissance et année de décès);
— effectif de la population résidente au 1er janvier de chaque année, par
âge en années révolues.
Sous l'hypothèse que les soldes migratoires sont uniformément répartis
dans chaque parallélogramme à côtés verticaux, on déduit de ces données les
effectifs Ni et N2 présents au ie et au i + Ie anniversaires, ainsi que les densités
de solde migratoire si et 52 dans chaque parallélogramme à côtés verticaux :
_ Pi-Di+P'2^ L2 si Ni - = П- Di + —
si = P2 + D'2 - Pi + Di
(1)
_ P[ - D[ + P2 + D2 _ s2 N2 - P2 + D2 - —
s2 = P2 + D2- P\ + £>;
Considérons, en premier lieu, pour un couple d'années de calendrier, le
parallélogramme à côtés horizontaux (figure 2). Dans un parallélogramme de
ce type, le taux de mortalité à l'âge i est, par définition, le rapport du nombre
de décès dans le parallélogramme à l'effectif présent au 1er janvier milieu de
période d'observation :
_ Di+D2 tp (2)
p
Considérons maintenant, pour une même année de calendrier, le carré.
Dans un carré, le taux de mortalité à l'âge i est, par définition, le rapport du
Population, 6, 1991, 1441-1490 1442 DETERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ
Age
Figure 1. — Schéma de Lexis : notations
nombre de décès observés dans le carré à la moyenne des effectifs présents aux
deux extrémités de la période d'observation :
Te = D2
(Pi + Pi) /2
L'objet de cet article est de déterminer les relations qui unissent chacun
de ces deux taux à l'âge i au quotient de mortalité Q au même âge, de façon à
établir une méthode d'estimation de Q à partir du taux Tp ou du taux Tc ^K
Dans un premier temps, nous supposerons que la densité du solde migrat
oire est nulle dans tout parallélogramme à côtés verticaux et que la répartition
des dates exactes de ге anniversaire, au sein de toute génération annuelle, est
uniforme. Nous nous affranchirons ensuite de ces deux hypothèses.
Observons que le numérateur D = D\ + D2 de chacun des taux Tp et Tc
est, en vertu de (1) :
si +s2 D = Z>i + D2 = N2 - Ni + Px - P2 +
méthode d'estimation que nous allons établir est celle à utiliser pour déterminer les
quotients Q aux divers âges et donc construire une table de mortalité lorsqu'on dispose des nombres
de décès seulement par parallélogrammes ou seulement par carrés du schéma de Lexis. Si on se trouve
à disposer des nombres de décès par triangles, la meilleure méthode d'estimation du quotient Q ne
consiste pas nécessairement à calculer des taux par parallélogrammes ou carrés, qu'on convertirait
ensuite en quotients. Nous traiterons de cet autre problème dans un autre article. DÉTERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ 1443
Figure 2. — Taux dans le parallélogramme à côtés horizontaux
et dans le carré
II en résulte que les taux Tp et Tc peuvent s'écrire :
_ £>! + D2 _ N2 - JVi Si + 52 in — ~ — ~ Г p (2') ■ 2P p p
+ D2 N2 - iV\ + Px - P2 5i + s2 = Tr
{Pi+P2)/2 Pl+P2
(3')
(Pi + P2)/2 P1+P2
soit, finalement^2) :
h Pi - P2 Ni N2 s2
P2
le terme situé au-dessus de l'accolade étant généralement faible par rapport à
Tr..
I. — Le cadre général d'analyse
Nous admettrons dans toute la suite de cet article que le risque de mortalité,
pour une personne donnée au cours d'un intervalle de temps infinitésimal donné,
dépend de l'âge de la personne et est proportionnel à la durée de l'intervalle,
mais ne dépend pas :
— de Г identité de la personne elle-même : le risque est le même, quel
que soit l'individu, à âge égal et durée d'intervalle égale;
— de la saison : absence de saisonnalité de la mortalité.
vertu de l'identité :
+ a2b2 - -Ц- — -(f>i + b2) -\ (61 - 62). 1444 DÉTERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ
De façon plus précise, nous admettrons que les personnes sous observation
sont soumises, indépendamment les unes des autres, au même risque de mortalité
à âge égal et à durée d'intervalle égale. Nous désignerons par q(x)áx, x étant
compris entre 0 et 1, la probabilité qu'une personne, encore en vie à l'âge i + x,
décède les âges i + xeti + x + dx (intervalle infinitésimal de durée dx).
Nous supposerons de plus que q(x), qu'on appelle quotient instantané de
mortalité à l'âge i + x, est une fonction continue de x, derivable, telle que,
pour tout x compris entre 0 et 1, ses dérivées successives sont des infiniment
petits d'ordre croissant : q(x) est un infiniment petit pris comme infiniment petit
d'ordre 1, q'{x) est un infiniment petit d'ordre 2, . . ., q^(x) est un
petit d'ordre к + 1. Il s'ensuit que, pour tout couple(x, xo) tel que \x — xo\ < 1,
on a :
(x — Xn)2
= q(x0) + (x- xQ)q'(x0) + q"{x0) q{x)
où On+2 désigne un infiniment petit d'ordre au moins égal à n + 2. Par
conséquent la série entière un(x) :
Un{x) =
ni
est uniformément convergente, avec un rayon de convergence au moins égal à 1
autour de xq.
Soit S(x) la fonction de survie associée à la fonction q(x) :
e~J*oq{x) x
S(x)=S(xQ)
est le nombre de survivants à l'âge exact i + x et le quotient de mortalité S(x)
Q à l'âge i (ou, plus précisément, entre les âges exacts i et г l + 1) est :
-- 1 - e~ /o 4{x)dx (4)
La loi de mortalité est indifféremment définie par l'une ou l'autre des
fonctions q(x) et S(x), liées par la relation :
îW ~
S(x)
relation dont on déduit l'expression de q^k\x) en fonction de S(x) et de ses
dérivées successives, et inversement l'expression de ^,,х^ en fonction de q(x)
et de ses dérivées successives (cf. annexe 1).
Il s'ensuit que le rapport SgÁy est, comme q(-k~l^(x), un infiniment petit
d'ordre k. Autour de xq, le développement de Taylor fournit une approximation DÉTERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ 1445
de à l'ordre к :
S(xo) S(x0) kl S(x0)
En particulier, autour de x0 = \, on a :
1,2S" 2 ч3 5'"
) } 65
en notant g, g', g", g'" et S, S', S", S'" les valeurs de q(x) et de ses dérivées
successives, les valeurs de S(x) et de ses dérivées successives, enio= |-
De ces développements, on déduit :
S'" g3 -
(S\
24
et, d'autre part :
-Log(l-Q) = Jiq(x)àx
soit :
(5)
La loi de mortalité appelée loi locale de Gompertz entre les âges entiers i et
i + 1 correspond à la fonction de quotient instantané :
q(x) = q e^ 0<z<l
où g et a sont des paramètres (à valeurs positives pour q, quelconques pour
a, infiniment petites d'ordre 1, compte tenu de nos hypothèses). Cette loi de
mortalité est caractérisée par la constance de la dérivée logarithmique de q(x) :
a'(x)
Vx e [0, 1] : ^7-v = a constant
q(x)
a est constant et infiniment petit du même ordre que q(^) = q, compte tenu de
nos hypothèses. 1 446 DÉTERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ
On dit qu'une loi de mortalité suit la loi de Gompertz si elle obéit à la loi
locale de Gompertz sur une étendue d'âges largement supérieure à 1 an. Les
tables de mortalité connues font apparaître que la loi de Gompertz s'applique
très généralement de façon satisfaisante aux populations humaines au-delà de
30 ou 40 ans, avec a proche de 10 % : d'une année d'âge à l'autre, le quotient
de mortalité est sensiblement multiplié par eQ, soit une augmentation relative
proche de 10 % par année d'âge (doublement tous les 7 ans d'âge).
Toute loi de mortalité qui remplit les conditions présentées plus haut
(q(k\x) infiniment petit d'ordre k+ 1) est proche d'une loi locale de Gompertz,
mais avec des valeurs du paramètre a plus ou moins rapidement variables
d'un âge i à l'autre. C'est seulement au début de la vie (г < 2 ans) que
ces conditions ne sont pas proches d'être satisfaites, la dérivée première q'(x)
prenant notamment à la naissance (x = 0, г = 0) une valeur négative, très élevée
en valeur absolue, le rapport ^4-У- étant alors négatif et élevé en valeur absolue,
mais revenant très rapidement à des valeurs faiblement négatives lorsque x
augmente.
On trouvera en annexe 2 les formules particulières auxquelles correspond
la loi locale de Gompertz.
II. — Relations fondamentales dans les triangles
Considérons tout d'abord un triangle de type 2 (figure 3) : l'effectif de la
génération concernée est N2 lors du ге anniversaire et P2 au 31 décembre de
l'année.
Soit s2 la densité constante du solde migratoire dans le triangle et g2 la
densité de répartition des dates de ге anniversaire pour les N2 personnes
concernées : entre les dates и et и + du, AT2^2(w)du personnes présentes
atteignent leur ге anniversaire.
Age
i+l-u dP2
x; / i j 'NED N2 &2 (U) ŮU 56291
Figure 3. — Triangle de type 2 DÉTERMINATION D'UNE TABLE DE MORTALITÉ 1447
L'effectif au 31 décembre de la cohorte infinitésimale, qui comptait
N2g2{u)du membres lors de son ie anniversaire, est :
— 5(1 — -и) — áP2 = N2g2(u)du
5(0) Jy=O S{y)
(le terme situé au-dessus de la première accolade est l'effectif des présents lors
du ic anniversaire, celui situé au-dessus de la seconde accolade est le nombre
d'entrants nets entre les âges y et y + dy),
et par intégration, и variant de 0 à 1 :
52
5(0) A2s2, (6)
en convenant de désigner par S2 et A2 les quantités :
S2= ! 5(1 - u)g2{u)du
Ju=0
5(1 - u) = A2 dy\ du
f Ju= Jy=O
#л S(y) "I (7)
dy\ du
=0 Uy=o S(y)
On notera Su la valeur de S2 lorsque la distribution des dates de ге
anniversaire est uniforme :
§u= f 5(1 - u)du.
Ju=0
Considérons maintenant un triangle de type 1 (figure 4) et admettons que
tout se passe comme si, l'année antérieure à l'année en cours, le même régime
Age
i+l-u
56391 INED Nj* gj(u)du
Figure 4. — Triangle de type 1