Etude et réalisation de sources acoustiques de puissance en composite piézoélectrique 1.3 pour appliquations

Lee Hwa-Sun

Description

Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3 VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3 Afin d’estimer les propriétés d’un piezocomposite 1.3, de nombreux modèles constitutifs ont été proposés depuis plusieurs années. Ces modèles ne prennent pas en compte l’existence de contraintes résiduelles ni leurs effets induits sur les coefficients électriques, diélectriques et piézoélectriques. Dans le chapitre précédent, nous avons constaté l’existence d’une contrainte thermique dans les composites 2.2. Dans le cas où un PZT subit un traitement thermique lors d’un procédé de réticulation avec un époxy dont la température de transition T est haute, les gpropriétés du PZT sont substantiellement modifiées par la contrainte thermique induite et les effets thermiques. Par conséquent, on ne peut plus prévoir les propriétés électromécaniques du composite en utilisant les modèles conventionnels. Pour prévoir ou contrôler les propriétés d’un piézocomposite 1.3 sous contrainte thermique, il faut au préalable connaître l’intensité de cette contrainte et les influences de celle-ci sur les propriétés du PZT. Dans ce but, nous avons cherché à calculer l’ordre de grandeur de la contrainte induite dans un composites 1.3 en fonction des caractéristiques du composite et des conditions de réticulation. Ceci a permis d’aboutir à la mise en œuvre d’un modèle thermomécanique pour le composite 1.3, qui est une extension de ...

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

Afin destimer les propriétés dun piezocomposite 1.3, de nombreux modèles constitutifs ont été proposés depuis plusieurs années. Ces modèles ne prennent pas en compte lexistence de contraintes résiduelles ni leurs effets induits sur les coefficients électriques, diélectriques et piézoélectriques. Dans le chapitre précédent, nous avons constaté lexistence dune contrainte thermique dans les composites 2.2. Dans le cas où un PZT subit un traitement thermique lors dun procédé de réticulation avec un époxy dont la température de transition T g  est haute, les propriétés du PZT sont substantiellement modifiées par la contrainte thermique induite et les effets thermiques. Par conséquent, on ne peut plus prévoir les propriétés électromécaniques du composite en utilisant les modèles conventionnels.

Pour prévoir ou contrôler les propriétés dun piézocomposite 1.3 sous contrainte thermique, il faut au préalable connaître lintensité de cette contrainte et les influences de celle-ci sur les propriétés du PZT.

Dans ce but, nous avons cherché à calculer lordre de grandeur de la contrainte induite dans un composites 1.3 en fonction des caractéristiques du composite et des conditions de réticulation. Ceci a permis daboutir à la mise en uvre dun modèle thermomécanique pour le composite 1.3, qui est une extension de celui du composite 2.2.

Dautre part, les évolutions des propriétés du PZT massif (P189) en fonction de la température et de la contrainte ont été mesurées et utilisées comme références pour interpréter les effets de la contrainte thermomécanique.

Les constituants du piézocomposite 1.3 qui font lobjet de létude présentée dans ce chapitre sont le PZT P189 (matériau dit "dur" et peu sujet aux non linéarités) et la résine 1. Le choix du PZT P189 est pénalisant quant à la mise en évidence des effets des contraintes thermiques, par contre il correspond à des matériaux couramment utilisés dans les applications de composite 1.3 de puissance. Nous nous sommes donc placés dans une stratégie dapplication et non pas dans une stratégie de pure démonstration scientifique.

 

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3 VI.1. Modèle thermomécanique pour un composite 1.3 VI.1.1. Développement théorique Dans un piézocomposite 1.3, les barreaux de PZT sont répartis régulièrement suivant un réseau à deux dimensions et la matrice polymère enrobe sur leurs quatre surfaces latérales (Figure VI-1). Pour modéliser la contrainte thermomécanique, comme pour le composite 2.2, nous avons considéré les interactions mécaniques entre les deux phases selon les longueurs infinitésimales, dx, dy et dz dans un Volume Elémentaire Représentatif (VER) dun composite 1.3 (Figure VI-1). Les relations entre contraintes, déformations, variations de température et champ électrique peuvent être écartes suivant le système tridimensionnel suivant : z T 1 ⎞ z S 1 z s 1 E 1 z s 1 E 2 z s 1E3 z  1 d 13 ⎜ ⎜ ⎛ z T ⎟ 2 S z s 2 E 1 z s 2 E 2 z s 2 E 3 z 2 d 23 z T 3 ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ z z S 3 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎝ s 31 s 32 s 33 α α α 3 d 33 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∆θ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ z E z E z E z  E 3               (VI.1) La résolution rigoureuse de ce problème en mettant en place les transferts de contrainte mécanique dans les trois dimensions est un problème très complexe. Pour simplifier le problème nous considérons les contraintes T 1 , T 2  et T 3  comme variant uniquement et respectivement en x, y et z. Piézocomposite 1.3  dy   y x   dx L   a x,1 a  L   y,2 z 3  z , PZT h dz   Epoxy     Figure VI-1. Composite 1.3 élémentaire.   104

Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

En suivant la même approche simplificatrice que dans le chapitre précédent nous remplaçons le problème 3D par 3 problèmes à 1D. Par exemple pour établir lexpression de T 3 (z), on suppose que T 1  et T 2 sont constantes et égales à leurs moyennes, respectivement selon x et y. Donc, pour simplifier ce calcul, nous avons aussi remplacé selon les cas les contraintes z T 1 , z T 2 et z T 3 par les valeurs moyennes < z T 1 >, < z T 2 > et < z T 3 >. Par exemple, la déformation z S 3 sera finalement écrite sous la forme :

z S 3   =   z s 3 E 1 z T 1   +   z s 3 E 2 z T 2   +   z s E 33 z T 3   +   z α 3 ∆θ  (VI.2)

En adoptant une démarche identique à celle de la section V.4.1, nous pouvons obtenir les contraintes thermomécaniques z T 1 , z T 2  et z T 3  en fonction de la température de réticulation. En supposant, pour des raisons de symétrie que <T 1 > et <T 2 > sont identiques, nous obtenons finalement le système "self consistent" suivant.

T = ⎢ ⎣ ⎡ ( 1 -   ν   ν p s +   z s E ) 〈 z T 〉+ ( 1 -   ν   ν p s +   z s 1 E 3 ) 〈 z T 3 〉   − ( p α 1   −   z α 1 ) ∆θ ⎤ ⎥   ⎡ ⎢ ⎣ cosh( λ x x ) − cosh( λ x 2 a ) ⎦ ⎤ ⎥ 12 12 2 13 z ⎦ 1  (  1 ν   p s z s E  )  cosh( λ x 2 a  )  11 + 11 -ν  (VI.3) z ( ν p s 31   +   z 3 E 1 〈 z 1 〉 + p 32 + z 3 E 2 〈 z 2 〉 − p α 3 − z α 3 ∆θ ⎢ ⎡ ⎣ λ z − λ z ⎤ ⎥ ⎦ = T 3  1 -ν s) T   (    ( 1  1 ν - ν - ν   ν   p s s 33       +     z s s E 33 )     )  T  (  )   cosh   (     cos z h  ) (  λ co 2 z h s   h ) ( 2 h )  (VI.4)

λ z 2 =  4 i p 33 + z 3 E 3 . où λ x 2 =    a  2 b  i G i   ⎜ ⎛ ⎝ 1 -   v  v   p s 11    +   z s 1 E 1 ⎠ ⎟ ⎞  et  a b i  G   1 - ν   ν  s s

Par intégration des équations (VI.3) et (VI.4) respectivement selon les axes x et z, < z T 1 > et < z T 3 > peuvent être obtenues. On a alors à nouveau à résoudre un système linéaire en < z T 1 > et < z T 3 > dont la solution est :

 

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z = B'C' + D' z T 1   =   A 1 '  - D   ' A  + '   C B ' '                               (VI.5)  T 3  1- A'C'  (VI.6) ( ν p s z s E   13 13 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ' 2 x x    A = λ   ⎣ ⎢ ⎡ − 1 + -ν ⎥ ⎦ ⎤ + ) +   ⎣ ⎢ ⎡ tanh ⎜ ⎝ ⎛ λ 2 a ⎟ ⎠ ⎞   −   λ 2 a ⎤ ⎦ ⎥ x a p z  E  p  z E 1 ( ν s 12  s 12   11 11 1-ν ) (  1- ν ν  s s ) p z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B' -  2  ( 1    1  )  tanh x a x a = λ ( 1 -  α ν   − s α   +   ∆ s θ  ) ⎣ ⎡ ⎢   ⎜ ⎛ ⎝ λ 2 ⎠ ⎞ ⎟   − λ 2 ⎤ ⎥ ⎦ x a ν p z  E où ⎨   11 11 ⎪ ⎪ C = 2 ( 1 - ν   ν p s (     ν z s E ) s      (   1 - ν     ν s p s  )    z s E )  tanh  2 h    2 h  ' z z     ⎪ ⎪ 31 + 31 + + 32 + 32 ⎣ ⎢ ⎡ ⎜ ⎝ ⎛ λ ⎟ ⎠ ⎞ − λ ⎥ ⎤ ⎦ λ z h 1 -ν p 33 zE 33   p z h h 3 3  z z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ D' = - λ 2 z h   (  1 (   ν ν α   p s −   3   α   + ) z ∆ s θ E 33 ) ⎣ ⎡ ⎢ tanh ⎜ ⎛ ⎝ λ 2 ⎟ ⎠ ⎞   −   λ 2 ⎥ ⎦ ⎤   3   -

 

Lensemble des contraintes et déformations peuvent par conséquent en être déduites avec les équations (VI-2) à (VI-4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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VI.1.2. Profils des contraintes thermomécaniques dans un composite 1.3 calculées par le modèle

Dans cette section, nous présentons les résultats du modèle sous la forme des profils de variation des contraintes en x et z obtenus pour un composite 1.3. Diverses fraction volumiques et diverses température de réticulation sont considérées. Le facteur de forme (h/a) est fixé à 4.4, ce qui correspond à celui du composite à base de 30% de PZT dans la configuration expérimental de la Figure V- 3. Toutes les contraintes calculées sont des contraintes de compression. La Figure VI-2 résume les résultats obtenus. On pourra remarquer les points particuliers suivants :   • z T 3 diminue de façon monotone en fonction de la fraction volumique de PZT et z T 1  présente un maximum autour de 50% de PZT. Pour une fraction volumique de PZT de 10%, la contrainte moyenne < z T 3  > est atteint la contrainte de 100MPa (Figure VI-2 (a), (b) et (c)). La température de réticulation est fixée à 120°C et le facteur de forme du barreau à 4.4. • Lorsque le facteur de forme du barreau de PZT augmente, la contrainte z T 3   augment rapidement pour saturer vers une limite qui nest autre que celle qui serait obtenue avec un simple modèle dhomogénéisation (loi des mélanges) (Figure VI-2 (d)). La fraction volumique de PZT est dans ce cas de 20% et la température de réticulation de 120°C. • z T 3 et z T 1  augmentent linéairement en fonction de la température de réticulation ( z T 3 >>   z T 1 ). Pour une température de réticulation de 160°C, une fraction volumique de 20% et un facteur de forme de 4.4, la contrainte axiale atteint 140 MPa (Figure VI-2 (e) et (f)).

 

             

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3   Température de réticulatio   n=120°C, Facteur de forme (h/a) = 4.4  Température de réticulation   = 120°C, Facteur de forme (h/a) = 4.4 30 160 50 vol.%  10 vol.%   140 40 vol.% 30 vol.% 120   20 20 vol.%   20 vol.% 100   10 vol.% 80 30 vol.% 60 40 vol.% 1   0 50 vol.% 40   Longueur de barreau, h = 3.18mm 20 Longueur de barreau, h = 3.18mm 0   0      -   0   ,4       -   0   ,3       -   0,   2       -   0,   1  ( 0 a ,0 ) 0,   1       0   ,   2        0,   3       0   ,   4               -   2,   0       -   1   ,5        -   1,   0        -0   ,   5  ( 0 b ,0 ) 0,5 1,0 1,5 2,0 X axis - distance au centre (mm)  Z axis - distance au centre (mm)   Température de réticulation =   120°C, Facteur de forme (h/a) = 4.4 Fraction volumiqu   e de PZT = 20%, θ Réticulation =120°C   120 100 z T 1 moyennée f.f=20     z T 3 moyennée 100 f.f=10 f.f=6 80 80 f.f=4   60 facteur de forme(f.f)=2 60   40 4  (c) 0  (d) 20 20 Longueur de barreau, h = 12 mm     0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -6 -4 -2 0 2 4 6   Fraction volumique de PZT (%) Z axis - distance au centre (mm)   Fraction volumique de P   ZT = 20%, Facteur de forme(h/a) = 4.4  Fraction volumique de PZ   T = 20%, Facteur de forme (h/a) = 4.4 30 160 160°C 160°C   140 140°C 140°C   120 120°C 20 120°C 100 1 ( 0 e 0° ) C   1 ( 0 f 0 ) °   C 80 80°C 80°C   60 10   40     Longueur de barreau, h = 3.18mm 20 Longueur de barreau, h = 3.18mm   0 0   -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0   X axis - distance au centre (mm) Z axis - distance au centre (mm)   Figure VI-2. Distribution des contraintes dans un composite 1.3 en fonction de la fraction volumique de PZT (a)-(b)-(c), du facteur de forme des barreaux (d) et de la température de réticulation (e)-(f).     108

Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

VI.1.3. Recoupement des résultats du modèle analytique par ANSYS

Afin de vérifier si les hypothèses du modèle 1.3 sont réalistes, nous avons également simulé par éléments finis (ANSYS) la même structure avec les mêmes caractéristiques des matériaux . La Figure VI-3 représente, la distribution des contraintes thermomécaniques z T 3   dans un PZT pour un VER de composite 1.3 P189/Résine 1 (16% PZT, réticulé à 120°C). Pour des raisons évidentes de symétrie, seul un huitième de la structure totale a été maillé, les résultats sont donnés par un tracé disovaleurs ainsi que par la distribution de la contrainte le long de laxe du VER. La comparaison fait état dune bonne correspondance entre létude par éléments finis et le modèle analytique. Pour des raison de simplicité, ce dernier sera donc utilisé par la suite.

 

  180  Modèle 1.3 160  ANSYS 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Z axis - distance au centre (mm)

    Figure VI-3. Comparaison des contraintes axiales calculées par le modèle analytique proposé et par éléments finis (ANSYS) pour un composite P189/Résine 1 à 16% de PZT et réticulé à 120°C.        

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

VI.2 Effet de la contrainte thermomécanique sur les barreaux PZT dans un composite 1.3

Dans le chapitre précédent, les anomalies de mesure attribuées à la contrainte thermique, observées sur la permittivité du PZT dans les composites 1.3 ont été présentées. Dans cette section, les effets de la contrainte sur la permittivité seront interprétés par le modèle analytique et comparés aux résultats expérimentaux.

La permittivité ε 33T  dun matériau PZT dépend fortement de létat de polarisation. Bien que la permittivité puisse être facilement mesurée, à faible niveau, en fonction de la contrainte, de la température et du champ électrique, il est néanmoins difficile de remonter à la variation de polarisation qui a donné naissance à la fluctuation de permittivité. En effet dans ces matériaux la permittivité mesurée à faible niveau autour de la polarisation rémanente, nest pas la dérivée du cycle P=f(E) pris au même point.  Autrement dit la connaissance de  d d E P =ε 33 ne permet pas de remonter au cycle P=f(E) par intégration de ε 33 . Par conséquent il faut mesurer la variation à haut niveau par une autre approche, comme celle proposée dans ce chapitre.

VI.2.1. Permittivité du PZT

Nous considérons uniquement des composites 189R1 réticulés dans les mêmes conditions (120°C, 3hrs). La seule différence est la fraction volumique de PZT. Daprès les paramètres de la structure, la contrainte thermomécanique après la réticulation est calculée par le modèle 1.3.

La Figure VI-4 représente les valeurs de la permittivité mesurée sur le PZT massif selon la méthode décrite en [46] et de la permittivité calculée du composite, en fonction de la contrainte. Dans le cas du PZT massif, la contrainte uni-axiale a été augmentée par palier. Après une augmentation de la contrainte, celle-ci est maintenue pendant 30 secondes sur le barreau PZT (6.35mm diamètre ×  15mm longueur) pour laisser se développer les effets de fluage. A la fin des 30 secondes, la permittivité du PZT est mesurée pour chaque palier de contrainte. En ce qui concerne le composite, la contrainte est calculée par le modèle et la permittivité est déduite des mesures de capacité corrigées par la fraction volumique de céramique.

 

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50 vol.%

30 vol.%

40 vol.%

Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3     2400 P189 massif (mesure) P189 dans composite 1.3 (calcul)   2200   2000   1800     1600   1400   1200   1000   0 20 40 60 80 100 120 140 160   Contrainte uni-axiale (MPa)   Figure VI-4. Effet des contraintes thermomécaniques sur la permittivité du PZT inclus dans le composite 1.3.   Lévolution de la permittivité du PZT dans les composites est très proche de celle du PZT massif. On confirme ainsi que la contrainte thermomécanique provoque une forte augmentation de la permittivité dans les composites dont la fraction volumique est plus faible. On pourra remarquer ici que le traitement thermique étant le même pour tous les cas, une autre sollicitation (ici la contrainte qui varie avec la fraction volumique) doit bien être mise en avant pour interpréter les variations. Même si la valeur de la permittivité du PZT présente une dispersion relativement importante (± 5.2% sur 20 échantillons commerciaux de même composition), la quantification de la contrainte par la permittivité donne néanmoins une bonne estimation comme on peut lobserver sur la Figure VI-4. ’ VI.2.2. Mesure de l état de polarisation du PZT

Afin de mesurer la variation de polarisation du PZT pendant la réticulation du polymère, des barreaux de PZT de dimensions 2×2×12mm sont préparés. Les barreaux sont répartis régulièrement dans un moule, comme le montre la Figure VI-5,

 

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3

pour obtenir une fraction volumique de 20% en PZT. Ces barreaux de PZT ont été disposés dans le sens de leur polarité dans le moule. Par la suite, on fait varier la température de lensemble entre 25 et 130°C, dans des configurations sans et avec enrobage époxy, et on mesure le courant de dépolarisation à laide dun amplificateur de courant qui agit comme un shunt de faible résistance. Le courant mesuré est ensuite intégré dans le temps pour remonter à la polarisation avec la température. La polarisation est donnée à une constante près qui correspond à la valeur de la polarisation rémanente. Il est possible que le courant mesuré ne corresponde pas uniquement à lécoulement de charges de polarisation mais également à celui de charges libres ne participant pas de façon simple à la polarisation. Le fait de fonctionner à champ pratiquement nul nous laisse à penser que lécoulement des charges de polarisation est majoritaire et que notre mesure est significative comme semble lindiquer lallure des figures P=f( θ ).

barreaux de cavité intérieure PZT Thermocouple

fil conducteur pour connecter les barreaux de PZT par le mur du moule

 

moule en silicone en 2 parties

I P amplificateur de courant

Figure VI-5. Mesure de variation de la polarisation des barreaux de PZT en fonction de la température sans/avec polymère dans un composite 1.3.            

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sans epoxy (25-125°C) avec epoxy (25-80°C) avec epoxy (25-100°C) avec epoxy (25-110°C) avec epoxy (25-130°C)

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Chapitre VI. Effets de la contrainte thermomécanique sur un composite 1.3     0,01   0,00   -0,01   -0,02     -0,03   -0,04   -0,05   -0,06  (a) -0,07   20 40 60 80 100 Température(°C)     0,00     -0,05   -0,10     0,15 -   -0,20                        sans époxy (25-135°C) avec époxy (25-80°C)     -0,25 avec  époxy (25-110°C)   avec époxy (25-130°C)   -0,30   20 40 60 80 100 120 140     Température(°C)   Figure VI-6. Variation de polarisation de PZT dans un composite 1.3 (20% de PZT). (a) PZT P189 polarisé (b) PZT P188 polarisé.   Dans la Figure IV-6, les variations de polarisation des PZT sont données en fonction de la température. Dans le cas du composite du PZT P189 (Figure VI-6 (a)), la polarisation varie de manière quasiment réversible et linéairement sous le seul

 

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