Etude expérimentale et théorique du comportement d'un tunnel renforcé par boulonnage frontal

Trompille Virginie

Description

Annexe A. Modèle analytique : résolution détaillée et résultats 175 Annexe A Modèle analytique : résolution détaillée et résultats A.1. Solution détaillée pour le scénario A Phase A1 – Matériaux élastiques Dans cette phase, le sol et les boulons ont un comportement élastique en tout point. Dès l’instant initial, une zone de descellement EL’ apparaît en paroi, où on a rupture de scellement, et se propage à partir du front sur une distance x. Au-delà, les deux constituants adhèrent parfaitement ensemble. Dans la zone élastique extérieure EL, en substituant l’équation (II.27) dans la relation (II.24) avec ζ=0 et en éliminant σ grâce à l’équation d’équilibre (II.17), on obtient l’équation différentielle suivante selon la θseule variable σ : r34BR E βR²⎛ ⎞s(A.1) ∂ σ + 1 + = 0 ⎜ ⎟r r 4r r²⎝ ⎠D’où, d’après la prise en compte des conditions aux limites en r →∞ : 5 3⎛ ⎞βR R(A.2) σ = −P + 4BE ⎜ + ⎟ r ∞ s 5 3⎜ ⎟5r 3r⎝ ⎠- +Pour déterminer la constante B, on écrit la continuité de T (r) au rayon x, c’est-à-dire T (x )=T (x ) où le b b bmembre de gauche provient de l’expression (II.16) et celui de droite de l’expression (II.13) : 2B(A.3) T (x) = pq (x − R) = S E b s b b 3xOn obtient aisément, en fonction du rayon adimensionnel X = x/R : 3KC(X −1)X(A.4) B = 2 βEsDans la zone élastique intérieure EL’, la relation liant la déformation radiale du sol et les contraintes de ce dernier s’écrit : 1 s s(A.5) ∂ u = ε = ( σ − σ ) r r r θEsEn combinant cette ...

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Annexe A. Modèle analytique : résolution détaillée et résultats

Annexe A

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Modèle analytique : résolution détaillée et résultats

A.1. Solution détaillée pour le scénario A Phase A1 – Matériaux élastiques

Dans cette phase, le sol et les boulons ont un comportement élastique en tout point. Dès l’instant initial, une zone de descellement EL’ apparaît en paroi, où on a rupture de scellement, et se propage à partir du front sur une distance x. Audelà, les deux constituants adhèrent parfaitement ensemble. Dans la zone élastique extérieure EL, en substituant l’équation (II.27) dans la relation (II.24) avecζ=0 et en éliminantσ θ grâce à l’équation d’équilibre (II.17), on obtient l’équation différentielle suivante selon la seule variableσ r : 3 B E 4R s ⎛ βR² ⎞ (A.1) ∂ r σ r + ⎜1+ ⎟ =0 4 r ⎝ r² ⎠ D’où, d’après la prise en compte des conditions aux limites en r→∞: 5 3 ⎛ βR R ⎞ (A.2) ⎟ σ= −P ∞ +4BE ⎜ 5 + 3 r s 5r3r ⎝ ⎠  + Pour déterminer la constante B, on écrit la continuité de T b (r) au rayon x, c’estàdire T b (x )=T b (x ) où le membre de gauche provient de l’expression (II.16) et celui de droite de l’expression (II.13) : 2B (A.3) T(x)=pq(x−R)=S E b s b b 3 x On obtient aisément, en fonction du rayon adimensionnel X = x/R : 3 KC(X−1)X (A.4) B= 2βE s Dans la zone élastique intérieure EL’, la relation liant la déformation radiale du sol et les contraintes de ce dernier s’écrit : 1 s s (A.5) ∂u=ε= ( σ−σ ) r r rθ E s En combinant cette relation avec l’équation d’équilibre (II.18) du sol et l’expression (II.27) deε r on , obtient : 3 s 4E s BR R ² (A.6) ∂ σ+ +d pq=0 r r b s 4 r² s D’où, en tenant compte de la condition en paroi σ(R)= −P : r i 3 ⎞ s 4E s B ⎛ R ⎛ R ⎞ (A.7) σ= −P+ ⎜ −1 ⎟ +KC⎜ −1 ⎟ r i 3 3 r ⎝ r ⎠ ⎝ ⎠ De plus, compte tenu des relations (II.16) et (II.5), la contrainte homogénéiséeσ 0 (r) due aux boulons vaut : 2 2 ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ (A.8) σ ( r ) d pqd T ( r R ) 0 = ⎜ ⎟ = s − ⎜ ⎟ b b b ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠

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En superposant les expressions (A.7) et (A.8), on obtient l’expression de la contrainte homogénéisée : 2 3 ⎛ ⎞ s 4R ⎛ R ⎞ (A.9) σ=σ+σ ( r ) = −P+BE ⎜ −1 ⎟ −KC⎜ −1 ⎟ r r0i s 3 3 r ⎝ r ⎠ ⎝ ⎠ Le rayon x se détermine en écrivant la continuité deσ r  en x ; soitσ r  (x) =σ r où le membre de (x+), gauche provient de l’expression (A.9) deσ r dans la zone EL’ et celui de droite de l’expression (A.2) de σ r la zone EL. Ce qui s’écrit, en simplifiant par les valeurs adimensionnelles K, dans β, X et ∗ ∆P= ∆P C :

5 KC ( X−1 ) ⎛ 2X3 ⎞ (A.10) Σ ( X,∆P ) = ⎜ +X− ⎟ − ∆P=0 A1 2 X 3β5 ⎝ ⎠ On démontre facilement qu’on aΣ A1 (1) = ∆P*<0 ,Σ A1 (∞)→∞ etΣ A1 ’(X>1)>0 , l’équation cidessus admet donc une et une racine unique dans l’intervalle (1,∞). La détermination de X ne nécessite qu’un simple calcul numérique. La fin de la phase élastique se produit lorsqu’il y a début de plastification du sol c’estàdire lorsque le critère de Tresca est tout juste atteint. Soit : 3 2BR E s s s s s s s σ σ σ  avec − =Eε= (A.11) f ( ) = r − θ −2C=0σ r σ θs r 3

Ce dernier terme étant monotone décroissant en r, cette condition est d’abord atteinte en paroi pour r=R, ce qui s’écrit, après avoir substitué la valeur (A.4) de B et après avoir simplifié : 2β 4 3 (A.12) X−X− =0

Cette équation est d’ordre 4 et peut donc être résolue analytiquement ; elle possède une seule racine (A1) réelle positive dépendant de 2β, dont l’expression (assez complexe) se détermine par un/K, notée X simple calcul formel. La figure 5 cidessous donne l’évolution de la valeur de cette racine en fonction de 2β/K. (A1) 2β On peut démontrer aisément que 1<X<1+ pourβetΩpositifs. K 2,6 1 + 2 β /K

2,4

2,2

2

1,8

1,6

1,4

1,2

(A1) X

1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 2 β /K (A1) Figure A.1. Evolution du rayon X caractérisant la fin de la phase élastique en fonction de2β/K (A1) La fin de la phase 1 se produit lorsque le chargement∆P atteint le seuil∆vérifie l’équationP qui ( A1 ) ( A1 ) Σ ( X,∆P ) =0 . Soit : A1 ( A1 ) ( ) ⎡ 5 ⎤ ( A1 ) KC X−1 2 ( A1 ) ( A1 ) 3 (A.13) ∆P=X+X− 2 ⎢ ⎥ ( A1 ) 3β5 X ⎣ ⎦

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Phase A2 – Massif plastifié en paroi et boulons élastiques

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Dans la zone élastique extérieure EL,σ r admet la même expression (A.2) qu’en phase A1. La continuité de T b en x donne, de plus, la même expression (A.4) de B. s s Dans la zone plastique PL’ s , en remplaçant le critère de Tresca σ−σ−2C=0  pour le sol, dans rθ s l’équation d’équilibre (II.18) du sol et en tenant compte de la condition en paroi σ(R)= −P  , on r i obtient après résolution : r R s ⎛ ⎞ (A.14) σ= −P−4CLn+KC⎜ −1 ⎟ r i R ⎝ r ⎠ D’où la contrainte radiale macroscopique : 2 s r ⎛ R ⎞ (A.15) σ=σ+σ ( r ) = −P−4CLn−KC⎜ −1 ⎟ r r0i R ⎝ r ⎠ s Dans la zone élastique EL’, l’équation différentielle (A.6) surσ r est toujours valable. On obtient, après résolution : 3 E s 4 s BR KCR (A.16) σ= + +DC r 3 3 r où D est une constante d’intégration sans dimension. D’où : 2 3 4E BR s ⎛ r ⎞⎛ R ⎞ s KCR ⎛ R ⎞ = + ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2+ (A.17) σ r σ r KC ⎜ ⎟ = 3 + − ⎟ DC ⎝ R ⎠⎝ r ⎠ 3 r r ⎝ r ⎠ s s s La continuité deσ r en w,σ r (w) =σ r (w+), où le membre de gauche provient de l’expression (A.14) de s s σ r la zone PL dans s ’ et celui de droite de l’expression (A.16) deσ r la zone EL’, donne, après dans simplification : 3 ⎡ ⎤ P i 2 ⎛ X ⎞ D+ +LnW+K+X− ⎜ (A.18) 4 ⎢ 1 ( 1 ) ⎟ ⎥ =0 C3βW ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ La continuité deσ r en x,σ r (x) =σ r (x+), où le membre de gauche provient de l’expression (A.17) deσ r dans la zone EL’ et celui de droite de l’expression (A.2) deσ r la zone EL. Ce qui donne, après dans simplification : P 3−8X ∞ (A.19) D= − +K C5X² La détermination des rayons inconnus w et x se déroule comme suit. La première équation vient du fait s s que le critère de plasticité du sol est tout juste atteint en w+. Les contraintesσ r etσ θ dans la zone EL obéissant à la loi de comportement élastique linéaire, on a donc, en introduisant le rayon adimensionnel W = w/R : s s s 2B (A.20) σ−σ θ =Eε(w)=E=2C r s r s 3 W En remplaçant par la valeur (A.4) de B, on obtient l’expression de W : 1 3 3 (A.21) W=K(X−1)X 2β La deuxième équation se déduit en combinant les équations (A.18) et (A.19) et en remplaçant W par la valeur cidessus ; il en résulte l’équation suivante sur X :

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3 ∆P4 ⎡ KX ( X−1 ) ⎤ ⎛ 3−8X ⎞ 4 (A.22) Σ ( X,∆P ) = −Ln−K ⎜ 1+ ⎟ − =0 A2 ⎢ ⎥ C3 2β ⎝ 5X² ⎠ 3 ⎣ ⎦ De même que précédemment, cette équation possède une et une seule racine qui se détermine facilement par un simple calcul numérique du fait de la décroissance monotone de la fonction. Elle définit une fonction implicitement monotone croissante X(∆P). La fin de la phase A2 a lieu lorsque le rayon w de plasticité du sol rattrape le rayon x de déchaussement, (A2) soit mathématiquement W = X ; d’après l’équation (A.21), ceci a lieu pour la valeur particulière X , vérifiant : (A2) 2β (A.23) X=1+ K ce qui correspond, d’après (A.22), à une valeur de chargement égale à : ( 2 4C2β4βC 1+5βK A) ⎡ ⎤ (A.24) ∆P= +4CLn1+ + ⎢ ⎥ 2 3 ⎣ K ⎦ 5 ( 1+2βK ) Phase A3 – Le rayon plastique du sol w dépasse le rayon de descellement x

(A2) Lorsque w dépasse x, c’estàdire lorsque∆P devient supérieur à∆P , la configuration évolue par rapport à la précédente : on a deux zones de plasticité du sol, une avec descellement à l’interface sol/boulon et l’autre avec adhérence parfaite. Tous calculs faits, on montre que, pour cette phase A3, les équations liant les différents paramètres X, W et∆P sont exactement les mêmes que celles de la phase A2. La fin de cette troisième phase a lieu lorsque la limite élastique des boulons est atteinte, c’estàdire lorsque : ⎧ KC ( r R−1 ) si R<r<x ⎪ σ b yb βE b s (A.25) ε=ε= r yb avec ε= ⎨ 3 r 3 E KC ( X−1 ) X ⎛ R ⎞ ⎪ b ⎜ ⎟ si r>x ⎪ βE ⎝ r ⎠ ⎩ s b Commeε r est monotone croissante en r sur l’intervalle [R, x] et décroissante sur l’intervalle [x,∞], cette condition est d’abord atteinte en son maximum c’estàdire en x. On a alors : KC ( X−1 ) (A.26) ε= yb βE s (A3) D’où la valeur particulière de X , notée X , marquant l’entrée en plasticité des boulons : Ω ( A3 ) (A.27) X=1+ K (A3) Cette valeur particulière correspond au seuil de chargement∆P qui vérifie l’équation (A.22). Tous calculs faits, on obtient : 3 ⎡ Ω ⎤ 8 ⎡ ⎤ +5 ( A3 ) 4C4Ω ⎞Ω ⎛ ⎢ K ⎥ + + − (A.28) ∆P= +CLn ⎢ ⎜ 1 ⎟ ⎥ KC1 2 ⎢ ⎥ 3 3 2βK Ω ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 5 ( 1+ ) ⎣ K ⎦

Phase A4 – Plastification des boulons

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Le début de la plastification des boulons marque l’arrêt de la propagation de la zone de déchaussement entre le sol et le boulon. Le rayon de déchaussement x atteint alors sa valeur maximale et ne varie plus. Il Ω ( A3 ) reste par la suite égal à X=1+ . K Le déplacement est toujours donné par l’expression (II.27). La continuité de la traction T b en z s’écrit : 2B (A.29) T=Sσ=E S yb b yb b b 3 Z− z + Z On en déduit la constante B : ΩC 3 (A.30) B=Z 2βE s Dans la zone élastique EL,σ r toujours la même expression (A.2) et la continuité de T admet b x en conduit toujours à la même expression (A.4) de B. Dans la zone plastique PL s ’, l’expression (A.15) deσ r est toujours valable. Dans la zone plastique PL s , le critère de plasticité du composite et l’équation d’équilibre (II.17) permettent de déduire : 2 ⎛ R ⎞ r∂σ r (A.31) σ−σ=2C+σ(r)=2C+d ⎜ ⎟ T= − rθ0b b ⎝ r ⎠ 2∂r En remplaçant par l’expression (4) de T b (dans le casε r <ε yb ) et en résolvant cette équation différentielle, on obtient : 5 r4R (A.32) σ= −4CLn+βE B+D ′ C r s 5 R5r où D′est une constante d’intégration sans dimension. Dans la zone PL s /PL b , l’équation différentielle (A.31) est toujours valable mais l’expression (II.13) de T b est celle du casε r >ε yb (ie. boulon plastifié). On obtient finalement : 2 r ⎛ R ⎞ σ= −4CLn ′′ (A.33) r + ΩC ⎜ ⎟ +D C R ⎝ r ⎠ où D′′est une autre constante d’intégration sans dimension. (A2) (A2) (A2) La continuité deσ r  en x s’écritσ r ) = (x σ r +), où le membre de gauche provient de (x l’expression (A.15) deσ r dans la zone PL s ’ et celui de droite de l’expression (A.33) deσ r dans la zone PL s /PL b . Ce qui donne, après simplification : P K i (A.34) D ′′ = − − CΩ +K De la même manière, la continuité deσ r en z, en utilisant les relations (A.31), (A.33) et (A.34) conduit à : P ΩK3C i (A.35) D ′ = − − + CΩ +K5Z² Enfin, la continuité deσ r  en w, tenant compte de (A.2), (A.31) et (A.35), permet de déduire l’équation suivante : 3 ∆PΩK3Ω2ΩZ (A.36) − −4LnW=+ − 0 3 CΩ +K5Z² 3βW La détermination des rayons inconnus w et z se déroule comme suit. La première équation vient du fait s s que le critère de plasticité du sol σ−σ θ −2C=0 est tout juste atteint en w+. On retrouve alors r l’expression (A.20) où on introduit la valeur (A.30) de B. D’où :

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Ω 3 3 (A.37) W=Z 2β La deuxième équation se déduit en remplaçant W dans l’équation (A.36) par la valeur ci dessus ; il en résulte l’équation suivante sur Z : 3 ∆P4 ⎡ Ω Z ⎤ 3Ω ΩK4 (A.38) Σ ( Z,∆P ) = −Ln− =+ − 0 A4 ⎢ ⎥ C3 2β5Z²Ω +K3 ⎣ ⎦ Notons que le début de plastification de cette phase commence avec Z = 1+Ω/K. On démontre facilement qu’on aΣ A4 (1+Ω/K,∆P)>0,Σ A4 (∞,∆P)<0 etΣ A4 ’(Z>1+Ω/K)<0, l’équation ci dessus admet donc une racine unique dans l’intervalle (1+Ω/K,∞). De plus, l’hypothèse prise au départ (2β≤Ω) fait que z ne rattrape pas w, il n’y a donc pas d’autres phases.

A.2. Solution détaillée pour le scénario B Dans le cas B, les phases B1 et B2 sont respectivement identiques aux phases A1 et A2 du cas A. Phase B2 – Massif plastifié en paroi et boulons élastiques

La fin de cette deuxième phase a lieu lorsque la limite élastique des boulons est atteinte. On retrouve (B2) alors les mêmes conditions que la fin de la phase A3, d’où la valeur particulière de X, notée X , qui a la même expression que (A.27) : Ω ( B2 ) (A3) (A.39)X=X=1+ K (B2) (A3) Cette valeur particulière correspond au seuil de chargement∆P =∆P . Phase B3 – Plastification des boulons

Le début de la plastification des boulons marque l’arrêt de la propagation de la zone de déchaussement entre le sol et le boulon. Le rayon de déchaussement x atteint alors sa valeur maximale et ne varie plus. Il Ω ( B2 ) reste par la suite égal à X=1+ . K

A.3. Solution détaillée pour le scénario C Phase C1 – Matériaux élastiques

Dans le cas C, la phase C1 est identique à la phase A1, seule la fin de la phase élastique est différente b puisqu’elle a lieu lorsque les boulons atteignent leur limite d’élasticité, soit : ε=ε . L’équation r yb (A.25) montre que cette condition apparaît d’abord en x pour la valeur : Ω (C1) (A.40) X=1+ K (C1) La fin de la phase C1 se produit donc lorsque le chargement∆P atteint le seuil∆vérifieP qui ( C1 ) ( C1 ) l’équation Σ ( X,∆P ) =0 . Soit : A1 5 Ω ⎡ ( Ω + ) Ω ⎤ ( C1 ) K ² 2 K 2 (A.41) ∆P=C+ + ⎢ ⎥ 2 5 ( Ω +K ) 3βK K5 ⎣ ⎦

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Phase C2 – Boulons plastifiés en paroi et massif élastique

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Dans la zone élastique externe EL, on a la même expression (A.2) deσ r qu’en phase 1. s Dans la zone élastique intérieure EL’, les expressions (A.7) et (A.9) deσ r etσ r sont toujours valables. La continuité de la traction T b en z permet de déduire la même expression (A.29) qu’en phase A3, d’où la ΩC 3 même valeur pour la constante B, soit B=Z . 2βE s Dans la zone de plasticité des boulons PL b , la combinaison de l’équation d’équilibre (II.17) et de la loi de comportement du massif homogénéisé s’écrit : 3 2BR E E βR² r ∂σ s s r (A.42) σ−σ=Eε+σ(r)= +σ= − rθs r0yb 3 ² 2 r E b r∂r En remplaçant par la valeur de B, on arrive à l’expression deσ r : 3 ⎛ ⎞ z R² (A.43) σ= 2 Ω C ⎜ + ⎟ + B'C B’ est une constante d’intégration où r 3 3 β r 2r² ⎝ ⎠ adimensionnelle. La continuité deσ r en x s’écritσ r (x) =σ r (x+), où le membre de gauche provient de l’expression (A.9) deσ r  dans la zone EL’ et celui de droite de l’expression (A.43) deσ r  dans la zone PL b . Ce qui donne, après simplification : 3 P i ΩK2ΩZ (A.44) B ′ = − − − CΩ +K3β La continuité deσ r en z s’écritσ r (z) =σ r (z+), où le membre de gauche provient de l’expression (A.43) deσ r dans la zone PL b et celui de droite de l’expression (A.2) deσ r dans la zone EL. Ce qui donne, après avoir remplacer par la valeur de B’ et simplifier : ∆ Ω Ω ⎛ ∆ P ⎞ P2 3 Ω K3 (A.45) ,= −Z=− + 0Σ C2 ⎜ Z ⎟ ⎝ C ⎠ C3 βΩ + K5Z² Elle a lieu lorsque le massif entre en plasticité. En introduisant le critère de plasticité de Tresca s s s s σ−σ σ−σ=2C , d’abord atteint en paroi (en r = R) car le déviateur θ  est décroissant suivant r, rθr dans l’équation d’équilibre (II.18) du sol, on obtient : s ∂σ r (A.46) 4C+R+KC=0 ∂r r=R s oùσ r est donné par l’expression (A.7) dans la zone EL’. Il en résulte : 3 2β (A.47) Z= Ω (B2) Finalement, le seuil de chargement∆l’entrée en plasticité du sol se détermine enP marquant remplaçant cette valeur particulière de Z dans l’équation (A.45) : 5 / 3 ( C2 ) 4CΩKC3CΩ (A.48) ∆P= + − 2 / 3 3Ω +K 5 ( 2β ) Phase C3 – Massif plastifié en paroi

On a vu dans la phase précédente que le rayon de déchaussement a atteint une valeur maximum et ne Ω varie plus. Il reste égal à X= +1 .

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Dans la zone élastique externe EL, on a la même expression (A.2) deσ r qu’en phase 1. s Dans la zone élastique intérieure EL’, les expressions (A.16) et (A.17) deσ r etσ r sont toujours valables. La continuité de la traction T b en z permet de déduire la même expression (A.29) qu’en phase A3, d’où la Ω C 3 même valeur pour la constante B, soit B=Z . 2βE s Dans la zone de plasticité des boulons PL b , on toujours la même expression (A.43) pourσ r . Dans la zone de plasticité du sol avec déchaussement PL s ’, en introduisant le critère de plasticité de s s Tresca σ−σ=2C dans l’équation d’équilibre (II.17) du sol, on obtient : rθ s ∂σ R r (A.49) 4C+r+KC=0 ∂ r r s En tenant compte de la condition en paroi qui s’écrit σ ( R ) = −P , on déduit : r i s r ⎛ R ⎞ σ4KC P (A.50) r = −CLn+ ⎜ −1⎟ − i R ⎝ r ⎠ p p p La continuité deσ r x s’écrit en σ r  (x ) =σ r  (x +), où le membre de gauche provient de l’expression (A.17) deσ r la zone EL’ et celui de droite de l’expression (A.43) de dans σ r la zone PL dans b . Ce qui donne, après simplification : K² (A.51) D+= − B ′ Ω + La continuité deσ r en z s’écritσ r (z) =σ r (z+), où le membre de gauche provient de l’expression (A.43) deσ r dans la zone PL b et celui de droite de l’expression (A.2) deσ r dans la zone EL. Ce qui donne : P ∞ 3 Ω (A.52) B− ′ = − 5 ² s s s La continuité deσ r w s’écrit en σ r = (w) σ r  (w+), où le membre de gauche provient de l’expression s s (A.50) deσ r dans la zone PL s ’ et celui de droite de l’expression (A.16) deσ r dans la zone EL’. Ce qui donne, après simplification : 3 ∆P2ΩZ K² 3Ω (A.53) −4LnW−K+ =− + 0 3 C3β W Ω +K5Z² s s Le critère de plasticité du sol σ−σ−2C=0 est tout juste atteint en w+. On retrouve alors rθ l’expression (A.20) où en remplaçant par la valeur de B, on arrive à : Ω 3 3 (A.54) W=Z 2β En remplaçant cette valeur de W dans l’équation (A.51), il en résulte : 3 ⎛ ∆P⎞ ∆P4 ⎡ Ω Z ⎤ 3Ω ΩK4 (A.55) Σ 3 ⎜ Z,⎟ = −Ln− =+ − 0 C ⎢ ⎥ 3 2 5 ²Ω +3 ⎝ C ⎠ C ⎣ β ⎦ Z K On a vu que le rayon de déchaussement reste constant et égal à 1 +Ω/K . Il arrive donc un moment où le rayon plastique du sol w rejoint celui de déchaussement, soit W = X, ce qui signifie, d’après l’équation (A.54), que ceci a lieu pour la valeur particulière de Z : β (C3) 2 ⎛ Ω ⎞ 3 (A.56) Z= ⎜1+ ⎟ ΩK ⎝ ⎠ En remplaçant cette valeur dans l’équation (57), on obtient également la valeur particulière de∆P correspondant à la fin de la phase B3.1 :