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• Publié par: Metheg
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• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYONI
Etude de quelques problemes ouverts
dans le domaine des quasicristaux
aleatoires et deterministes
These soutenue le 20 decembre 2004
par
Jean-Baptiste GOUERE
en vue de l’obtention du
Diploˆme de Doctorat
(arrˆete du 30 mars 1992)
Specialite : Mathematiques
Composition du jury :
Enrique ANDJEL Professeur (Universite de Provence), President
Fran cois BACCELLI Directeur de recherche INRIA (ENS), Rapporteur
Andre GOLDMAN Professeur (Universite Lyon 1), Directeur de these
Ilya MOLCHANOV Professeur (Universite de Berne, Suisse)
Didier PIAU Professeur (Universite Lyon 1)
Boris SOLOMYAK Professeur (Universite de Washington, USA), Rapporteur
297-2004Remerciements
Je tiens tout d’abord a remercier Andre Goldman, sous la direction duquel cette these
aetee ectuee,pourm’avoirfaitproterdel’etenduedesesconnaissancesetdelarichesse
de son imagination, ainsi que pour les encouragements qu’il m’a adresses et l’interˆet qu’il
a porte a mon travail.
Franco is Baccelli et Boris Solomyak ont accepte d’ˆetre les rapporteurs de cette these.
Je leur suis reconnaissant du soin qu’ils ont apporte a la lecture du texte. Je remercie
egalement Boris Solomyak de m’avoir invite a Ban pour exposer mes resultats.
Je tiens a remercier chaleureusement Didier Piau pour sa disponibilite, pour ses re-
marques et suggestions sur mon travail, ainsi que pour avoir accepte de participer a mon
jury.
Je remercie vivement Enrique Andjel et Ilya Molchanov d’avoir bien voulu faire partie
de mon jury.
Je tiens egalement a remercier tous les membres et anciens membres du laboratoire
qui m’ont apporte leur aide pour la these ou les enseignements, ou qui ont contribue a
creer au sein du laboratoire cette ambiance amicale dont j’ai tant bene cie.
Pour conclure, je tiens a remercier tous mes proches.
3Resume
Nous etudions dans cette these des questions qui trouvent leur origine dans l’etude
des quasicristaux.
Le premier theme se rapporte a la di raction. Nous nous placo ns dans un cadre sto-
chastique et montrons que la mesure de di raction d’un processus ponctuel stationnaire,
ergodique et de carre integrable existe toujours et concide avec la transformee de Fourier
de l’intensite de la mesure de Palm de ce processus. Nous utilisons cette connexion pour
etudier la methode ”couper et projeter”dans ce cadre aleatoire et explicitons une rela-
tion entre la mesure de di raction du processus projete et de celle du processus initial.
A titre d’exemple, nous etudions les sous-ensembles aleatoires d’un reseau, ce qui nous
permet notamment d’obtenir des ensembles dont la mesure de di raction comprend une
composante singuliere explicite. Nous utilisons enn cette connexion avec la mesure de
Palm pour demontrer qu’un processus ponctuel est presque suˆrement un quasicristal si et
seulementsilespectredusystemedynamiqueassocieestdiscret.Nousdemontronsegale-
ment la contrepartie deterministe de ce dernier resultat : un ensemble est un quasicristal
si et seulement si il est presque periodique pour la topologie de Besicovitch.
Le deuxieme theme s’inspire des problemes lies a la di usion dans les quasicristaux.
Nous introduisons un modele d’evolution markovienne d’un systeme de particules dont
le pas elementaire consiste a choisir un point au hasard et a y deplacer la particule
la plus proche. Dans le cas d’un nombre ni de particules sur le cercle, nous etablissons
l’existenceetl’unicited’unedistributionstationnaireetprouvonslaconvergenceverscette
distribution.Nousmontronsegalementuneproprietederepulsionentrelesparticulessous
ladistributionstationnaireenetablissantunequivalentlogarithmiqueenzerodelaqueue
de la loi de la distance minimale entre deux particules. Dans le cas d’un nombre inni
de particules sur la droite, nous prouvons des proprietes de regularite du processus et en
deduisons l’existence et l’unicite d’une distribution invariante par translations et par la
dynamique.
Mots-cles
Probabilite,quasicristaux,geometriestochastique,mesuredePalm,presque-periodicite,
analyse harmonique, mesure spectrale, theorie ergodique, systeme de particules en inter-
action, chaˆne de Markov, processus de Markov, mesure stationnaire.
Codes AMS (2000 Mathematics Subject Classi cation)
11K70, 37A45, 37A50, 52C23, 60D05, 60G55, 60J10, 60J25, 60K35, 82C22.
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