Les difficultés structurelles

Description

6Chapitre 2Les di cultes structurelles1. L’equivalence et l’implication1.1. L’implication P =)Qa) Utiliser une implication vraieOn sait que la proposition P =)Q est vraie.2 2 2Exemple : ABC triangle rectangle en A =) AB +AC =BCModus Ponens : pour calculer la longueur d’un des c^otes du triangleAbsurde : pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle. On suppose qu’il l’est et on2 2 2calcule AB +AC BC2 2 2Contraposee : M^eme but que precedemment. On montre que AB +AC = BC et onen deduit que le triangle n’est pas rectangle.b) Prouver une implicationDirectement : on suppose P vraie et on montre Q (Hypaux P )Contraposee : on suppose (non Q) vraie et on montre (non P ) (Hypaux non Q)Absurde : on suppose P vraie et (non Q) vraie (Hypaux P , Abs non Q)c) Des exemplesVoir les transparents : Pythagore, theoreme direct, reciproque et contraposees ; extraitd’un livre (Declic) ; 2 copies problematiques, exemples d’activites (proprietes directes oureciproques ; est-ce le m^eme theoreme ; triangle, es-tu rectangle)d) RemarqueVerite de l’implication : P =)Q est vrai quand (non P ) vraie. C’est ce qu’on retrouvedans la demonstration litigieuse.Une mauvaise idee : partir de l’hypothese. Pour demontrer P =) Q, on suppose Pvraie et on cherche a montrer Q. En general, l’hypothese P doit intervenir au cours duraisonnement, il n’en est pas le point de depart.1.2. L’equivalencea) Les dangers de l’equivalence : le transparent sur les ...

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Extrait

Chapitre 2

Lesdifficulte´sstructurelles

1.L’´equivalenceetl’implication 1.1. L’implication P=⇒Q a) Utiliser une implication vraie On sait que la propositionP=⇒Qest vraie. Exemple:ABCtriangle rectangle enA=⇒AB 2 +AC 2 =BC 2 Modus Ponens:laloulercalcpouroˆcsednu’drueugnlengiatrduest´ Absurdetriangle n’est pas rectangle. On suppose qu’il l’est et on: pour montrer qu’un calculeAB 2 +AC 2 −BC 2 Contrapos´eeeuqomnOertncee´pe´rne.tedmm:MˆutquemebAB 2 +AC 2 6=BC 2 et on en deduit que le triangle n’est pas rectangle. ´ b) Prouver une implication Directement: on supposePvraie et on montreQ(HypauxP) Contrapose´e: on suppose (nonQ) vraie et on montre (nonP) (Hypaux nonQ) Absurde: on supposePvraie et (nonQ) vraie (HypauxP, Abs nonQ) c) Des exemples Voirlestransparents:Pythagore,theoremedirect,r´eciproqueetcontrapos´ees;extrait ´ ` d’unlivre(De´clic);2copiesprobl`ematiques,exemplesd’activite´s(proprie´t´esdirectesou re´ciproques;est-celemˆemeth´eor`eme;triangle,es-turectangle) d) Remarque Ve´rit´edel’implication:P=⇒Qest vrai quand (nonP) vraie. C’est ce qu’on retrouve danslade´monstrationlitigieuse. Unemauvaiseid´ee:partirdel’hypoth`eseemontrer.Pourd´P=⇒Q, on supposeP vraieetoncherche`amontrerQth`ehypol,l’´eraesnE.ne´gPdoit intervenir au cours du raisonnement,iln’enestpaslepointded´epart.

1.2.L’´equivalence a)Lesdangersdel’´equivalence:letransparentsurlessyst`emes´equivalents. b)R´esolutiond’e´quations:l’exercice √ = c)Dese´quivalencescach´ees:lese´galite´sd’ensembles. Lese´quivalencessontsourcedenombreuseserreursdanslesraisonnements,meˆmedansla r´esolutiondesyste`mesaveclam´ethodedeGauss.Ilvautmieuxraisonnerpardoubleimplication. 2. Le statut des lettres, les quantificateurs 2.1. Le statut des lettres Ilyaambiguite´danslevocabulaire:soitx∈Ret soitxtlleuqeel´ree. . .. S’agit-il d’un∀xou ∃x? TransparentsurlebarycentredansleDimath`eme.Lestatutdeslettreschangepresque`achaque phrase.Onpeutd´ecouperletexteen8parties:

Didactiquedesmathe ´ matiques2 I)Mpt quelconque∀M, f(M) = −− II)MqcqAqcq,∀M,∀A, f(M) =f(A) +M → A III)Mqcq,Axfie´∃A,∀M f(M) =f(A) IV)Mfiire´ve´fixef(M) = 0 V)Aqcq,Mfiefi´erix´evf(M) = 0 VI)Axfie,´Mxfie´ VII)un nouveau point VIII)Mceseiset(qamsi´nqcraitAqcq dans II)

2.2. Montrer ∀x, P(x) Textedede´monstration:“soitx“itnoidacrn:eudegllemntueneinentuqeu´eveavecque”lcon cherchons`amontrerP(x) ”. L’objet,d´esign´eparxioteds“.euqsiaMapa`ritrunnejeobuetqonlcsnelettx,e´dsegidax, ” c’estlemˆemeobjet,fix´e,jusqu’a`lafindelad´emonstrationdeP(x). Transparents : montrer le convergence, d’une suite,finjective,u◦f=v◦f Difficult´esouerreursdanslade´monstrationd’un“∀” −oCfnentnsuoitiliser”(prenonslereeusd´exdrcma“sehuorp”revu“teε= 1. . .) −ptul’nseuq,eclnoque(lconsquetuanu’ddnepe´diuueeqemmˆt,jeobrenUboejqty=f(x), yuqtnocleate´uenq,xaussi. . .) −ered“s´R´eceir∀uodre´”isletertpeldeosnlniegrnuens`,astaonustseestjeergnobl’ quelconque,lettrequidoitservirjusqu’a`lafindelade´monstration(∀e,∀y=g(e),∀y 0 = h(e). . .) −rrecte,delamˆeme’Ltulisitaoi,nocesrd“tteloperrpruevuo∀x, P i (x) ” successifs peut occasionnerdesdifficulte´sdanslacompre´hensiondutexteded´emonstration.C’estlecas pourlar´ecurrence.

2.3. Utiliser ∀x, P(x) Textedede´monstration:“soitxquelconque, alors on aP(xtoˆtttecpyhe`htoeespeullisinOtu).” pourunobjetd´eja`nomme´ant´erieurementdanslecontexte. Exemples : −onecUndeteanste´roalhtopruei“:ε= 1, on a. . .”, “ Une rotation conserve l’alignement.Conside´ronslarotationdecentrel’origineetd’leπ/4 ” ang. . . −rueinemenae´re´tetbjmmnotduino’ujbte´ddeUonpner:tE“antnε 2 agal`e´η 1 ditde´edu lacontinuite´def, on obtient unη 2 tel que ... ” ´ −leuqqnoc“:eutiosd´eduitd’unobjetUonjbteεueqonlce.qucrEitnutionacslonivalede´ fonctionfpourε/´edunend2.Oeixtsi’eltiuqη 1 tel que ... ” Difficulte´spourutiliserunehypoth`“∀” ese −ioislro’lIaftuhcrvlesriuomsndae´ion:tratenleuqtejbuqeuqnocilutstieourpouep ge´ome´trie,savoirchoisirlatransformationquivaconserverle“bon”alignementou choisir la “ bonne ” origine qui facilitera les calculs vectoriels pour les barycentres. . .En analyse, choisir le “ bon ”εturuopunerisilh`otypehtinuit´eesedecon; −Lorsque le “ε” porte sur un objet complexe : une fonction, une transformation en ge´ome´trie,unensembledeparties. . ., il faut fabriquer cet objet.

2.4. Montrer ∃x, P(x) Il faut fabriquer un objet, le choisir. Plus le choix est large, plus il est difficile de choisir. – 2 –

´ les difficultes structurelles −’e.Cieoronecunstedetnatsroe´htaltestobje`aprd´ejtnade´eshte´snal’Lnsp:elonerE(eipmex x=πd´laonemCe.rte∃x,cosx=−1). −aire´editermurinaveledale`eme´rothe:plemExe(nctesixe’deme`roe´htiliserunOnpeutut). −Oeunp´etdirfinxpar une formule : Dansunepreuvedecontinuit´e:“posonsη=ε/2 ”. Cela utilise leεquelconque, lettre choisieant´erieurementdansletexte,pourprouver∀εtilielau.Cnetsixe’lissuaesleer´duce ε/2. Difficulte´sdanslade´monstrationd’un∃ −qerd’leumoCnerpsteettraisexncteee`aach´roprunepe´´ite −jet.Seslrpuop`eblroepolesr´meortruopubo’lrevu Danslespreuvesdecontinuit´e,ilfautsupposerqueleproble`meestre´solupourpouvoir choisir unηtiraonemd´stontxetedsenadeselscouiqarchd´emˆemeelamorvurntetnO.vnei de l’existence du barycentre. −Dire que n’importe quel objet convient quand c’est le cas

2.5. Utiliser ∃x, P(x) transparentf(A 1 ∪A 2 ) =f(A 1 )∪f(A 2 ) −odnOlsnaadi´uexje`saiuettialpiusr´nensmdoiitdn´offmrmeenreld’tosbeojenstmq de´monstration −aqChobuetmjee:uiilquomprrotpesptiod,nonnuretroarsan´epnitid´efimetata´hd,noqieu soitMle milieu de[AB].Mest confondu avec le point d’intersectionM 0 de[AB]avec laparalle`lea`(BC)passant par le milieu de[AC]. −meneptuodre´isngerdesobjetsquelcnsruosmoe´tnce´tishoanisert´urieeisulpeuqsroL-no ques, on peut utiliser une notation fonctionnelle :d n pour le plus petit diviseur denplus grand que 1. Erreurs dans l’utilisation d’un∃ −moemdrmuN`adeantspondrresstee´rp´ipsoretbjxoeumdnomeˆeocracstnere´ffids diffe´rentesoude´pendantsd’objetsdiffe´rents −dee,riettsinpoux´moe´gnEtincte”peuventtr“,’dxesietcndesiregu,nocednofussufialr parexemple,danslesprobl`emesd’alignementoudemilieu.Ilestalorsunpeudifficilepour les´el`evesdecomprendrepourquoionleurdonnedesnomsdiffe´rents. −alreilbue´irporpactteat´l’`aeeh´etcnxOesie

2.6. L’ordre des quantificateurs Changerl’ordreaugmenteladifficulte´:penser`aladiff´erenceentrelaconvergencesimpleetla convergenceuniformeouentrelacontinuite´etlacontinuit´euniforme. Transparent Tous pour un, un pour tous 2.7. Les “ ∀ ”achce´s Il existe au plus unxv´erifiantP(x) ne comporte pas de quantificateur∃. Elle se formalise en 0 ∀x,∀x 0 ,(P(x) etP(x 0 )) =⇒x=x. etsed´emontreenutilisantunestrate´gieen∀ou par l’absurde. xexiste et est uniquesnaDprroepun.(´eeti´aliteuertna`eveme”n’niquensqadesmeL.u“to le langage courant, quand on dit “vue unique sur la mer ”, cette phrase n’a pas de sens). On peut construirexqeeueˆrtue-tiapseestcit´eunicettete,mulseuneruvronteliale`onacrustoitc.n ´ Ilfautde´montrerqu’ilnepeutyenavoirplusd’un. Transparent Primitives. – 3 –