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Problèmes d'assurance et utilité décumulative. - article ; n°4 ; vol.47, pg 921-935

De
16 pages
Revue économique - Année 1996 - Volume 47 - Numéro 4 - Pages 921-935
Dans cet article sont développés quelques problèmes simples d'assurance dans le cadre de l'utilité décumulative de Quiggin [1982]. L'objectif est de montrer que non seulement l'utilisation des nouveaux modèles de prise de décision dans le domaine du risque n'est pas plus compliquée que celle de l'utilité espérée et que, de plus, les résultats obtenus sont beaucoup moins restrictifs et peut-être plus pertinents. Selon moi, cet objectif est ici atteint en montrant que certains comportements ne peuvent être attribués à la seule forme de l'index d'utilité comme dans l'utilité espérée mais aussi à la forme conjointe de la fonction de déformation des probabilités. Ce travail vient enrichir le sujet mais ne représente qu'une infime partie de la recherche qu'il reste à effectuer dans le domaine.
In this article, I develop some problems of insurance within the framework of the anticipated utility (Quiggin [1982]). The aim is to show that working with the new models of decision making under risk is no more complicated than with the expected utility and perhaps more judicious. In this example, according to me, we reach this aim because some behaviors can't only be attributed to the shape of the utility function but to the shape of the distortion function of probability too. This work enrich the subject but is a very little part of what we have still to do in this domain.
15 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
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Madame Elisabeth Jardin
Problèmes d'assurance et utilité décumulative.
In: Revue économique. Volume 47, n°4, 1996. pp. 921-935.
Résumé
Dans cet article sont développés quelques problèmes simples d'assurance dans le cadre de l'utilité décumulative de Quiggin
[1982]. L'objectif est de montrer que non seulement l'utilisation des nouveaux modèles de prise de décision dans le domaine du
risque n'est pas plus compliquée que celle de l'utilité espérée et que, de plus, les résultats obtenus sont beaucoup moins
restrictifs et peut-être plus pertinents. Selon moi, cet objectif est ici atteint en montrant que certains comportements ne peuvent
être attribués à la seule forme de l'index d'utilité comme dans l'utilité espérée mais aussi à la forme conjointe de la fonction de
déformation des probabilités. Ce travail vient enrichir le sujet mais ne représente qu'une infime partie de la recherche qu'il reste à
effectuer dans le domaine.
Abstract
In this article, I develop some problems of insurance within the framework of the anticipated utility (Quiggin [1982]). The aim is to
show that working with the new models of decision making under risk is no more complicated than with the expected utility and
perhaps more judicious. In this example, according to me, we reach this aim because some behaviors can't only be attributed to
the shape of the utility function but to the shape of the distortion function of probability too. This work enrich the subject but is a
very little part of what we have still to do in this domain.
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Jardin Elisabeth. Problèmes d'assurance et utilité décumulative. In: Revue économique. Volume 47, n°4, 1996. pp. 921-935.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_0035-2764_1996_num_47_4_409828Problèmes d'assurance
et utilité décumulative
Elisabeth Jardin*
Dans cet article sont développés quelques problèmes simples d'assurance
dans le cadre de l'utilité décumulative de Quiggin [1982]. L'objectif est de montrer
que non seulement l'utilisation des nouveaux modèles de prise de décision dans
le domaine du risque n'est pas plus compliquée que celle de l'utilité espérée et
que, de plus, les résultats obtenus sont beaucoup moins restrictifs et peut-être
plus pertinents. Selon moi, cet objectif est ici atteint en montrant que certains
comportements ne peuvent être attribués à la seule forme de l'index d'utilité
comme dans l'utilité espérée mais aussi à la forme conjointe de la fonction de
déformation des probabilités. Ce travail vient enrichir le sujet mais ne représente
qu'une infime partie de la recherche qu'il reste à effectuer dans le domaine.
"INSURANCE PROBLEMS AND THE ANTICIPATED UTILITY"
In this article, I develop some problems of insurance within the framework of
the anticipated utility (Quiggin [1982]). The aim is to show that working with the
new models of decision making under risk is no more complicated than with the
expected utility and perhaps more judicious. In this example, according to me, we
reach this aim because some behaviors can't only be attributed to the shape of the
utility function but to the shape of the distortion function of probability too. This
work enrich the subject but is a very little part of what we have still to do in this
domain.
Classification JEL : D81
INTRODUCTION
En matière de recherche économique dans les domaines du risque et de
l'incertain, la théorie de l'utilité espérée de von Neumann et Morgenstern
[1944] est universellement utilisée. Pourtant, depuis le fameux paradoxe de
Allais [1953], elle est continuellement critiquée et est la cible incessante d'un
nombre impressionnant -d'expériences qui remettent principalement en cause
son hypothèse majeure si restrictive de linéarité en probabilités. Comme beau
coup de nouvelles théories normativement intéressantes et descriptivement net
tement plus réalistes ont été proposées, on peut se demander pourquoi les
* Université du Maine, UFR de Droit et de Sciences économiques, avenue Olivier-
Messiaen, BP 535, 72017 Le Mans Cedex.
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Revue économique — N° 4, juillet 1996, p. 921-935. Revue économique
économistes n'adoptent pas ces outils d'analyse plus récents et apparemment
mieux adaptés. L'utilisation de ces modèles semble plus compliquée et, de ce
fait, l'abandon du modèle de référence au profit d'un autre ne peut se justifier
sans une amélioration sensible de la pertinence des résultats économiques obte
nus.
La première partie de cet article est consacrée à une présentation de l'utilité
décumulative de Quiggin [1982] légitimant le choix de ce modèle particulier
dont une application à des problèmes simples d'assurance est proposée en
seconde partie. Cette application mène à des prédictions quelque peu différentes
de celles de l'utilité espérée et son principal intérêt est de jeter le doute sur la
liaison directe entre le comportement face au risque et la forme de l'index d'uti
lité imposée par l'utilité espérée.
LA THÉORIE DE L'UTILITÉ DÉCUMULATIVE
De nombreux modèles sont parvenus à rationaliser les préférences qui, dans
le paradoxe de Allais, les effets de rapport commun (voir Kahneman et Tversky
[1979]) ou le phénomène des renversements de préférences (voir Lichtenstein-
Slovic [1971] ; Grether-Plott [1979] ; Karni-Safra [1987]), remettent en cause la
validité descriptive des axiomes de l'utilité espérée. Pour des raisons diverses,
tous ces modèles ne peuvent être mis sur un pied d'égalité. Ainsi, on peut déjà
écarter ou accorder un intérêt moindre aux théories qui, comme celles de
Fishburn [1982] ou de Loomes-Sudgen [1982], abandonnent l'axiome de transi-
tivité et dont les applications en économie sont dès lors limitées. Les autres
théories, pour la plupart, généralisent le modèle de référence en introduisant une
fonction de déformation des probabilités d'événements individuels dans la d'utilité comme celles de Handa [1977], Karmarkar [1978] ou Kahne-
man-Tversky [1979]. Le principal problème commun à ces trois modèles est
qu'aucun n'est à l'abri de violations de la dominance stochastique du premier
degré (voir Fishburn [1978] ; Quiggin [1993]).
La solution esquissée, dès 1979, par Quiggin revient à utiliser une fonction
de déformation des probabilités décumulées et le modèle axiomatisé est proposé
en 1982. Il préserve les propriétés standards de continuité, de transitivité et de
dominance stochastique du premier degré tout en admettant des comportements
incohérents avec l'utilité espérée. Le modèle est ensuite redécouvert par Yaari
[1984-1987] puis par Allais [1987-1988]. Enfin, des développements basés sur
la notion de mesures non additives à la Choquet [1953-1954] sont travaillés par
Schmeidler [1989] et Gilboa [1987].
Considérons les préférences individuelles sur un ensemble X de résultats et
un ensemble 56 de perspectives risquées. Chaque élément L de iß consiste en
une paire de vecteurs {(jtl5 x2, ..., xn) ; (pj, p2, ..., pn)} telle que le résultat xt est
associé à la probabilité pt pour i = 1, 2, ..., n avec jq =s x2 ^ ... ^ xn et
» = i
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D'autre part, si l'individu avoue être indifférent entre c e X et L e !£, c est
appelé l'équivalent certain de L et est noté c = CE(L). L'objectif est de const
ruire une fonctionnelle d'utilité V sur X telle que :
V(L) 5= V(L') si et seulement si L & L1
La fonction de déformation des probabilités décumulées
Soit la loterie L = {(jcj, x2, *3) ; (pi, p2, Py)} où xi < x2 < jc3 sont des résultats
monétaires respectivement associés aux probabilités p\, p2 et p3 telles que
i= 1
La fonction de distribution décumulative DL de la loterie L est la suivante :
si x =£ jcx
p3 si x2 < x =s x3
.0 si x3 < x
avec Dl(jc) = p [(x ; + <»)] = 1 - Fl(jc) où FL est la fonction de répartition de L.
Le raisonnement basé sur les probabilités décumulées est : je suis certain, i.e,
Pi + p2 + P3 = 1, de gagner au moins jcj, j'ai une chance égale à (p2 + p3) de
gagner au moins x2 et une chance égale àp3 de gagner au moins x3.
Quiggin introduit la fonction / de déformation des probabilités décumulées
continue, non décroissante de [0 ; 1] sur [0 ; 1] avec./(0) = 0et^(l) = l. Selon
l'auteur, le modèle de déformation le plus courant est :
> p pour p < 0,5 : / est concave sur [0 ; 0,5 [
< p pour p > 0,5 : / est convexe sur ]0,5 ; 1 ]
i) = 0, 5
Cependant, deux autres caractérisations de /sont possibles selon le degré de
pessimisme ou d'optimisme des individus :
Optimisme -ßj>)>p, V/? : surestimation des probabilités, /est concave.
Pessimisme : f(p) < p, V/> : sous-estimation des probabilités, / est convexe,
(voir fig. 1)
La fonction de valeur
La de valeur a pour support un index d'utilité dont les propriétés
sont similaires à celles de l'index d'utilité von Neumann-Morgenstern, i.e, u est
croissante et unique à une transformation linéaire affine positive près et les pro
babilités décumulées sont transformées par la fonction/.
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Figure 1 . Fonctions de déformation des probabilités
0 0,5 1
Déformation de type Quiggin
La valeur de L est égale à :
V (L) = [u^x^ —u(0)] f (pl+ p2 + p3) + [u(x2) -
+ [u(x3) -u(x2)]f(p3)
- u (jCj) [ 1 - / (p2 + p3) ] + u (x2) [f (p2 + p -f(p3)]
+ u(x3)f(p3) (1)
et, plus généralement pour i = 1, 2, ..., n,
V(L) = II (*! [Il (*,)-« (*,._ (2)
Dans le cas où la loi de probabilité est continue,
V (L) = J x u (x) d [foDL] (x) = J x / (DL (x) ) du (x) (3)
Du passage d'un gain à un autre qui lui est supérieur, la différence des utilités
est pondérée par la transformation de la probabilité décumulée associée au
résultat le plus élevé.
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Axiomes et dominance stochastique
Les axiomes proposés par Quiggin sont au nombre de quatre. Les trois pre
miers - ordre complet, dominance, continuité - sont plus faibles que ceux impos
és par von Neumann-Morgenstern ; le quatrième modifie la notion
d'indépendance si controversée.
Axiome 1. La relation de préférence est complète, reflexive et transitive. 2. xv x2 e X, xx ^x2 => xl ^ { (x2, jcx) ; (p, 1 - p) }
Axiome 3. Si xv x2, x3 e X, xl ^x2 ^x3, il existe p* telle que
x2~{(x3,Xly,(P*,i-p*)}
Axiome4.Siyl = {x; p} et y2 - {x';p} et que pour chaque i, i= 1,2, ...,
n, il existe ct = CE {{xt, x-) ; (0,5 ; 0,5)}, i = 1, 2, ..., n, et jcj* = CE (y{), ^* = CE
(y2), alors
{c;p}~{(xl*,x2*);(0,5;0,5)}
Si chaque élément de c est indifférent au pari équitable des éléments corres
pondants de x et x', {c ,p) est au pari des équivalents cer
tains de {x ;p} et {x' ;p}. Cet axiome assure l'indépendance entre fip) et jc.
Rappelons le concept de dominance stochastique (Fishburn [1974] ; Hadar-
Russell [1969]). Soient deux variables aléatoires L et L' aux fonctions de répart
ition respectives Fl et Fl' :
D L' domine stochastiquement au premier degré L (L' FSD L) si
FL (x) 5* FL' (x) pour tout x
D L' domine au second degré L (L1 SSD L) si
F FL(s) ds s* H FL. (s) ds pour tout jc.
Quiggin (1982) démontre que :
D L' FSD L si et seulement si V(L') s= V(L) pour toutes les fonctions de
valeur V
□ Soient L et L1, deux variables aléatoires aux médianes égales et aux distr
ibutions symétriques, alors
L' SSD L si, et seulement si, V(L') ^ V(L) pour toute V e V* où V* est la
classe de fonctions de valeur formées d'un index d'utilité concave et d'une
fonction de déformation des probabilités de type Quiggin.
Le paradoxe de Allais
Prenons l'exemple le plus frappant des paradoxes de l'utilité espérée :
A = (500 000 $; 1) > B = {(0$, 500 000$, 2 500 000$) ; (0,01; 0,89; 0,1)}
et
A' = {(0$, 500 000$) ; (0,89 ; 0,11)} < B1 = {(0$, 2 500 000$) ; (0,9 ; 0,1)}.
Dans le cadre de l'utilité décumulative, nous avons :
V(A) = «(500 000) > V(B) = m(500 000) [/(0,99) -/(0,l)] + w(2 500 000)i(0,l)
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et
V(A') = «(500 000)^(0,11) < V(B') = w(2 500 000) /(0,l) avec w(0) = 0.
Conformément aux préférences majoritaires exprimées, nous obtenons :
/(0, 11) «(2500000) 1-/(0,99) 1) u (500 000) /(0, 1)
Cette inégalité se vérifie pour l'index d'utilité et la fonction de déformation
des probabilités suivants :
«W = Ln(x+l)pourx3*0et f (p) = 15- / 14p
PROBLÈMES D'ASSURANCE
Considérons un individu à la richesse initiale W exposé au risque d'une perte
jc associée à la probabilité p.
Sans assurance, sa situation se formalise de la façon suivante :
V0 = V{(W-jc,W);(P, 1-p)}
Vo = [1 -/(l -p)] « (W- jc) +/(1 -p) u (W) (4)
où u est l'index d'utilité et/, la fonction de déformation des probabilités.
Cas de l'assurance avec couverture totale
En payant une prime d'assurance d'un montant h, l'individu est totalement
couvert face à la perte jc :
V1 = {(W-/i,W-/0;(p, l-p)}
V1 = m(W-/z) (5)
L'utilité de souscrire un contrat d'assurance est décroissante par rapport au
montant de la prime :
dVx/dh = - m' (W - h) < 0 (6)
avec m', l'utilité marginale de la richesse.
La prime maximale h* que l'individu serait prêt à payer pour se protéger du
risque (jc ; p) vérifie l'égalité suivante :
uÇW-h*) = [1 -fil -p)] uÇW-x) +/(1 -p) u (W) (7)
Nous pouvons poser les inégalités suivantes :
W-jc< W-h*< Wet donc h*<x (8)
Si la probabilité de la perte augmente, l'individu est prêt à payer une prime
maximale plus importante :
dh* _ f(l-p) [u(W) -uÇW-x)] y Q
dp u'(W-h*)
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u et/ étant croissantes, on voit facilement que le numérateur et le dénominateur
de (9) sont positifs.
Si le montant de la perte augmente, l'individu est prêt à payer une prime
maximale plus élevée :
— - — = > y) (lu)
dx u'(W-h*)
Étudions l'effet d'une augmentation de la richesse initiale W sur le montant
de la prime maximale h*.
m' dh* = u'(W-h*) - {[1-/(1-j7)]m'(W-jc) +/(!-/?) (W)}Q1)
dW u'(W-h*)
Le dénominateur étant positif, posons l'équivalence suivante :
u' dh*/dW ^ 0 <=> m' (W- h*) § [1 -/(l -p)] +/(1 -p) m'(W) (12) (W-jc)
u est strictement croissante ; donc, nous pouvons noter que :
u'(W-h*) -m'(W) uÇW-h*) -m(W)
m'(W-jc) m(W-jc)-m(W)
D si u est concave, i.e, u" < 0 : w'(W) < m'(W - /i*) < w'(W - jc)
Ainsi,
m1 „• (W (w - - /i*) h*) - < u'ÇW) [1 -/(l < [1 -/?)] -/(l w'(W -/?)] - jc) [w1 +/(1 (W - -p) jc) - m1 m' (W) (W)] et dh* / dW < 0.
m" > 0 : m' (W - x) < m1 (W - /**) < m' D « m ert convexe, i.e, (W)
Ainsi, m' (W - h*) - m' (W) > [1 -/(l -/?)] [m1 (W-x)-u' (W)]
u'(W-h*) > [1 -/(l -p)] k'CW-jc) +/(1 -p) m'(W) etdh*/dW>0.
Un individu à l'index d'utilité concave diminuera le montant de la prime
maximale A* qu'il est prêt à payer si sa richesse initiale augmente. À l'inverse,
un individu à l'index d'utilité convexe sera prêt à payer une prime maximale h*
plus importante si sa richesse initiale augmente. Le premier se comporte comme
s'il avait en quelque sorte les « moyens » de faire face au risque ; le second prof
ite du fait d'être plus riche pour se permettre de contracter une police d'assu
rance plus chère afin de se prémunir du risque (x ; p). Notons que la forme de la
fonction de déformation des probabilités n'a aucune influence sur les signes de
(9), (10) et (11) et les résultats obtenus sont donc identiques à ceux observés
chez un maximisateur d'utilité espérée. L'analogie s'arrête ici.
Dans le cadre de l'utilité espérée, on montre que seul un adversaire du risque,
i.e, utilité marginale de la richesse décroissante ou u concave, est prêt à payer
une prime maximale h* supérieure à l'espérance mathématique du risque, i.e,
px:
u {E{(W-;c,W) ; (p, 1 -p}} >Ew {(W-jc,W) ; (p, 1 -p)}
u (W - px) > w(W - h*) d'après (7) dans le cadre utilité
espérée
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W -px > W - A * (w croissante)
px < h*
Dans le cadre de l'utilité décumulative, un tel comportement n'est pas dire
ctement lié à la forme de l'index d'utilité :
u {E{(W-*,W) ; (p, 1 -p) } > [1 -/(l -p)] u(W-x) +/(1 -p) u(W)
d' après (7) uÇW-px) > w( W - h *)
Nous savons que si u est concave (convexe, linéaire),
w(W-pjc) > (<,=)pu(W-x) + (l-p)u(W)
c'est-à-dire :
On voit facilement que :
• (13) se vérifie toujours si :
- l'individu est pessimiste et a un index d'utilité concave ou linéaire ;
-a une fonction de déformation des probabilités de type Quiggin,
un index d'utilité concave ou linéaire et la probabilité de la perte est infé
rieure à 0,5.
• (13) se vérifie dans certains cas si :
- l'individu est pessimiste et a un index d'utilité convexe ;
-est optimiste et a un index concave ;
- l'individu a une fonction de déformation des probabilités de type Quiggin,
un index d'utilité convexe et la probabilité de la perte est inférieure à 0,5 ;
- l'individu a une fonction de des de type Quiggin,
un index d'utilité concave et la de la perte est supérieure à 0,5.
• (13) n'est jamais vérifiée si :
- l'individu est optimiste et a un index d'utilité convexe ou linéaire ;
-a une fonction de déformation des probabilités de type Quiggin,
un index d'utilité convexe ou linéaire et la probabilité de la perte est supé
rieure à 0,5.
En résumé,
(a) (13) est toujours vérifiée si u" «s 0 et/' > 0
(b) (13) se vérifie dans certains cas si * m" > 0 et/1 > 0
* m" < 0 et/1 < 0
u" 2= 0 et/' < 0. (c) (13) n'est jamais vérifiée si
Il est possible d'établir une distinction entre deux types de comportements :
- les comportements tranchés (a) et (c)
- les nuancés (b).
n' est Apparemment, le comportement du décideur dans une situation risquée
pas caractérisé par la seule forme de son index d'utilité.
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Cas de l'assurance avec franchise
Supposons que l'individu préfère souscrire un contrat d'assurance quel qu'il
soit (c'est-à-dire pas nécessairement avec couverture totale) au fait de ne pas en
souscrire du tout.
Son choix consiste dès lors à déterminer l'étendue de la couverture d'assu
rance, i.e, en cas de perte x, quelle somme y peut-on réclamer au cabinet
d'assurance ? La différence entre la perte jc et la somme y est appelée la
franchise :
D = jc-y (15)
Supposons que l'assureur propose une police d'assurance à un prix égal à son
espérance mathématique de coût en admettant premièrement l'absence de frais
administratifs :
h=py=p(x-D) (16)
La valeur de {(W - D - h, W - h) ; (p, 1 -p)} est donnée par :
V0=?[l-/(l-p)]K(W-D-A)+/a-/>)«(W-A) (17)
La condition de premier ordre est telle que :
u'(W-D*-h) = pfd-p)
u'ÇW-h) (l-p)[l-f(\
□ Si l'individu est pessimiste, le côté droit de (18) est inférieur à 1 et donc
m'(W-ä)>m'(W-D*-ä).
Si de plus, son index d'utilité est convexe, alors W-/i>W-D*-/iet
D*>0.
D Si l'individu est optimiste, le côté droit de (18) est supérieur à 1 et donc
m'(W - D* - h) > iï (W - h).
Si de plus, son index d'utilité est concave, alors W — h > W - D* — h et
D*>0.
Ainsi, les individus au comportement nuancé optent pour une assurance avec
franchise quand ils la comparent à une assurance totale. À l'inverse, les indivi
dus au comportement tranché préfèrent une assurance couvrant totalement la
perte. Ces prédictions semblent intuitivement plus acceptables que celle obte
nue dans le cadre de l'utilité espérée où seuls les adversaires du risque contract
ent de préférence une police d'assurance avec franchise.
Ajoutons maintenant à la prime h un coût administratif de k par paiement :
h=py+pky=py(k+l)=p(k+l)(x-D) (19)
La valeur de {(W - D - h, W - h) ; (p, 1 -p)} est toujours donnée par (17)
mais la condition de premier ordre est modifiée :
u'(W-D*-h) = p(k
M'(W-Ä) [1-JP(*+
D Si l'individu est optimiste, le côté droit de (20) est supérieur à 1 et donc
m'(W-D*-ä)>m'(W-ä).
Si de plus, son index d'utilité est concave, alors W-/i>W-D*-/iet
D*>0.
929
Revue économique — N° 4, juillet 1996, p. 921-935.

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