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Rupture de barrage en régime lam inaire : fluides viscoplastiques IRupture de barrage en régime laminaire : f luides viscoplastiquesI. 1 Orientation de l’étud e ve rs le problème d es lav es to rrentielles Les laves torrentielles sont des écoulements particuliers lors desquels une masse importante d’un matériau intermédiaire entre l’eau boueuse et un sol saturé s’écoule sur une pente assez forte. Ce problème a retenu l’attention des ingénieurs (notam ment les hydrauliciens), des géomorphologues, et des géologues. Les géologues soulignent la nature des roches sédimentaires constituant les laves. Les observations de coulées sont nombreuses et ont été réalisées dans plusieurs régions dans le monde, Japon, Chine, U SA, New Zealand…(voir par exemple Okuda et al 1981, Suwa et al 1989, Johnson 1970, Li Jan et al 1983, Pierson 1980…). Le plus souvent, ces observations révèlent : les situations et le processus de déclenchement, le processus d’écoulem ent, le changement de la topographie du lit du torrent et la pente de la montagne, et enfin le processus d’arrêt de la lave. Les auteurs montrent que l’un des paramètres les plus importants dans le déclenchement de la lave torrentielle est l’intensité de la pluie. Dans tous les cas, les laves torrentiel les sont observées après de longues ou de fortes pluies. L’impor tance de la végétation du bassin versant est également un paramètre important qui empêche la boue de se former, et donc de s’écouler en masse. M ais ...
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I.1
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
IRupture de barrage en régime laminaire : fluides
viscoplastiques
Orientation de l’étude vers le problème des laves torrentielles
Les laves torrentielles sont des écoulements particuliers lors desquels une masse
importante d’un matériau intermédiaire entre l’eau boueuse et un sol saturé s’écoule sur une
pente assez forte. Ce problème a retenu l’attention des ingénieurs (notamment les
hydrauliciens), des géomorphologues, et des géologues. Les géologues soulignent la nature
des roches sédimentaires constituant les laves. Les observations de coulées sont nombreuses
et ont été réalisées dans plusieurs régions dans le monde, Japon, Chine, USA, New Zealand…
(voir par exemple Okuda et al 1981, Suwa et al 1989, Johnson 1970, Li Jan et al 1983,
Pierson 1980…). Le plus souvent, ces observations révèlent : les situations et le processus de
déclenchement, le processus d’écoulement, le changement de la topographie du lit du torrent
et la pente de la montagne, et enfin le processus d’arrêt de la lave. Les auteurs montrent que
l’un des paramètres les plus importants dans le déclenchement de la lave torrentielle est
l’intensité de la pluie. Dans tous les cas, les laves torrentielles sont observées après de longues
ou de fortes pluies. L’importance de la végétation du bassin versant est également un
paramètre important qui empêche la boue de se former, et donc de s’écouler en masse. Mais
d’une manière générale, il est difficile de quantifier le déclenchement de ces laves.
Il est aussi intéressant, supposant que la lave s’est formée et qu’elle s’écoule dans le lit du
torrent, d’évaluer l’écoulement résultant, et donc déterminer les zones successibles d’être
inondées. Cela est rendu maintenant possible grâce aux informations recueillies par les
nombreuses observations qui ont permis de connaître les caractéristiques générales des laves.
Ce sont des écoulements transitoires, souvent décrits comme des bouffées, des écoulements
de faibles ou très faibles hauteurs alternant avec des vagues d’un matériau formé de roches et
de boues et hautes de plusieurs mètres, et aussi la capacité de la lave de transporter des blocs
de grandes dimensions (jusqu’à plusieurs mètres de diamètre) et laisser derrière elle des
particules moins grandes.
Lorsqu’on étudie la loi de comportement d’un matériau on cherche la relation entre les
contraintes appliquées et les déformations qui en résultent. Un moyen permettant de
comprendre ce qui se passe, et éventuellement, d’en déduire cette loi de comportement, est
d’étudier les phénomènes qui se produisent au niveau microstructurel, i. e à l’échelle de
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
particules fluides indéformables qui peut aller de l’échelle de la molécule à l’échelle des gros
blocs. Si on s’intéresse aux laves torrentielles on se heurte à de multiples problèmes dont
l’origine est la composition variée des laves, qui sont des mélanges de plusieurs matériaux :
matériaux solides qui apparaissent sous forme de particules, d’une certaine quantité d’eau, des
débris végétaux ou animaux et parfois même de l’air. De plus, les formes géométriques, les
minéraux constitutifs de chacune des particules et la structure de leurs arrangements sont
variables d’une lave à l’autre et dépendent de la géologie du bassin versant duquel sont issus
les matériaux, de la façon dont se forment les différents types de constituants, et aussi du
mode d’initiation de la coulée.
Lors d’une déformation de tels matériaux, des interactions entre particules élémentaires ont
lieu. Des liaisons se font et se défont entre particules d’argiles, des frottements ou des chocs
se produisent entre grains, des molécules d’eau se déplacent, etc. Ces phénomènes contribuent
tous à des dissipations d’énergie. Comment pourrons-nous donc décrire le comportement
rhéologique d’un corps aussi complexe en fonction de celui de ces constituants ? Il n’y
actuellement qu’une façon : employer des modèles de structure ou des théories de structures
simplifiées et valider ensuite ce modèle par les mesures rhéométriques.
Malheureusement, aucune mesure de rhéométrie sur le matériau naturel brut n’a été faite
pour l’instant, compte tenu des dimensions des plus grandes particules qu’on peut trouver en
général dans ces laves. Cependant, les chercheurs ont apparemment tenté progressivement de
se rapprocher de cette solution idéale. Une approche consiste à étudier des mélanges grossiers
à l’aide de rhéomètre à cylindre coaxiaux de grande taille (Major & Pierson 1990 et Coussot
& Piau 1995a) et aussi à l’aide de rhéomètre cône-plan de grand taille (Phillips 1988, Phillips
& Davies 1989-1991). Major & Pierson 1990 ont réalisé des expériences sur des mélanges
prélevés sur le terrain dans des dépôts de laves où seule la fraction inférieure à 2 mm a été
conservée. Le modèle qui semble le plus adapté à leurs résultats est celui de Bingham. Phillips
& Davies 1991 ont réalisé des mesures sur des mélanges de dépôts de laves torrentielles dont
la fraction des particules retenue est de diamètre inférieur à 15 cm. Les fluctuations sont trop
importantes pour qu’une loi de comportement puisse être distinguée. D’après les auteurs cette
dispersion des mesures autour d’une même valeur de contrainte est une propriété
caractéristique des fluides granulaires. Les expériences de Coussot & Piau 1995a sur les
dépôts de laves dont la fraction des particules retenue est de diamètre inférieur à 2 cm,
montrent un comportement stable (qui obéit au modèle d’Herschel-Bulkley) lorsque les
mélanges contiennent une fraction fine (<40mm) supérieure à 20 %. Cependant un
comportement instable est obtenu lorsque la fraction fine est très faible.
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
En ce qui concerne les modèles théoriques susceptibles d’être appliqués aux laves
torrentielles, Johnson (1970) et Daido (1971) étaient parmi les premiers à proposer le modèle
viscoplastique de Bingham. Leur argument est qu’on a affaire à une masse de roches et
d’argiles mélangée à de l’eau, qui est donc un comportement intermédiaire entre un sol
classique respectant un critère de Coulomb et celui d’un fluide visqueux ayant un
comportement Newtonien. Dans la suite, pour prendre en compte les interactions entre
particules Johnson & Rodine 1984 ont suggéré d’ajouter un terme de contrainte dont l’origine
est le travail de Mc-Tigue sur les écoulements granulaires. D’autre part, Takahashi (1978-
1980-1981) a proposé d’appliquer au cas des laves torrentielles, le modèle de Bagnold pour
décrire le comportement de mélange d’un fluide et de particules. En outre, O’Brien & Julien
1985 proposent d’appliquer aux laves torrentielles peu visqueuses où la turbulence joue un
rôle essentiel, leur modèle rhéologique. Ce modèle combine différentes dissipations :
cohésion entre particules, friction et frottement visqueux entre le fluide et les particules,
impact des particules et turbulence.
Dans certains cas, les modèles sans seuil ont donné des résultats satisfaisants dans la
détermination des hydrographes de l’écoulement (Pierson et al 1990, Takahashi 1980-1991,
Arattano & Savage 1992-1994). Le fluide dilatant sans seuil est celui de Bagnold (n2) mais sans tenir compte du comportement Newtonien aux faibles gradients de vitesses. Ce
modèle a également donné des résultats satisfaisants dans la détermination des hydrographes
de l’écoulement de mélanges eau/sable hyperconcentrés (Takahashi 1980-1991). Mais,
Takahashi (1980) estime qu’un autre modèle devient nécessaire si le mélange contient une
fraction importante d’argile. Dans ce cas, les mesures rhéométriques de Coussot & Piau 1995a
sur des argiles montrent pour différents mélanges que l'indice de rhéofluidification n varie
dans une gamme restreinte et reste inférieur à 0,5. Coussot estime que la valeur 1/3 donne des
résultats satisfaisants dans l’étude des écoulements uniformes (Coussot 1994) et non
permanent (Laigle & Coussot 1997).
Nous retenons en définitive que le modèle d’Herschel-Bulkley est le modèle le plus approprié
pour l’étude des laves torrentielles au moins lorsque la fraction fine du mélange (<40mm) est
supérieure à 20 % (Coussot 1992, Coussot & Piau 1995a-b) et que le mélange peut être
considéré comme un fluide homogène et rhéofluidifiant. L’addition des particules de sable ne
change pas trop les propriétés rhéologiques à moins que la concentration de celles-ci dépasse
20% (O’Brien & Julien 1988).
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
Nous considérons exclusivement dans ce chapitre un modèle d’Herschel-Bulkley. Il serait
également intéressant de tenir compte de l’évolution au cours du temps de la viscosité et du
seuil de contrainte (comportement thixotope) en utilisant une loi cinétique appropriée, et aussi
de tenir compte du comportement élastique du mélange avant le seuil de contrainte. Mais
compte tenu de l’état actuel de connaissances ces objectifs doivent être considérés des
perspectives pour le futur.
·
·
·
·
L’étude réalisée est originale du fait que :
Nous considérons un problème assez proche de l’écoulement naturel des boues où une
quantité finie du fluide est mise en mouvement tout d'un coup. D’autre part, le problème
est assez simple et il peut être aussi utilisé pour évaluer la consistance de plusieurs
matériaux impliqués dans de nombreux procédés industriels (produits alimentaires et
cosmétiques, béton…).
Notre analyse est basée sur un modèle formel (Herschel-Bulkley) qui représente assez
bien les mesures rhéométriques dans une large gamme de gradient de vitesse. Le modèle
représente également plusieurs d’autres matériaux tels que les peintures, les encres, les
mélanges eau-argiles, les mélanges eau-charbons, les produits alimentaires, les vases, les
boues des coulées sous-marines, le charbon liquide, les boues résiduaires, les boues de
forage, etc.
Nous tenons en compte, des contraintes élongationnelles susceptibles d’expliquer
quelques phénomènes inconnus en hydraulique classique. Nous tenons également compte
du phénomène du glissement qui n’a jamais encore, à notre connaissance, été évoqué dans
ce problème d’écoulement gravitaire à surface libre.
Nous analysons le problème sur deux plans, théorique et expérimental. On dégagera les
mécanismes du seuil et de la rhéofluidification.
Nous commençons le chapitre par l’étude théorique. Nous proposons ici un ensemble de
solutions analytiques. Nous dégageons dans un premier temps l’influence des effets
élongationnels dans le régime inertiel lorsque le canal est horizontal. Nous montrons ici que
ce type de matériaux ne coule pas si la profondeur initiale du fluide est inférieure à une
certaine valeur critique. Ceci permet de retrouver un problème classique de la mécanique des
sols, la rupture des talus verticaux. Nous aborderons ensuite le reste du problème de façon
simplifiée, en négligeant les effets des contraintes normales. On réussira dans ces conditions à
caractériser le régime visqueux, puis le régime à dominance inertiel et l’état d’équilibre. A la
fin de ce chapitre, nous discuterons nos mesures compte tenu des apports de la théorie et nous
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
conclurons. En annexe, nous proposons un modèle qui tient compte du phénomène de
glissement observé lors de nos expériences avec le Carbopol dans un canal lisse.
Comme dans le chapitre III, signalons que le texte qui suit a été dépouillé au maximum des
développements mathématiques.
I.2 Théorie de l’eau peu profonde pour les fluides viscoplastiques
Le traitement théorique des écoulements à surface libre des fluides complexes, analytique
ou numérique, est très rare dans la littérature. Mais il existe (voir les chapitres précédents) un
certain nombre d’études sur les écoulements à surface libre avec un modèle Newtonien,
motivé par des raisons scientifiques et techniques. Néanmoins, depuis quelques années les
efforts de quelques équipes (Johnson et al, Takahashi et al, Coussot et al, O’Brien et al, Liu et
al, Huang et al, Piau et al, Arattano et al…) ont permis de progresser dans cette voie. Une
préoccupation est de savoir dans quelles conditions les modèles classiques basés sur
l’hypothèse d’eau peu profonde peuvent être appliqués aux écoulements de laves torrentielles.
A l’exception de Piau (1996), les chercheurs se sont contentés d’appliquer les approximations
de l’hydraulique classique (qui suppose une répartition de pression hydrostatique), et traite les
écoulements variés dans l’approximation locale du frottement uniforme. On peut également
distinguer parmi les théories :
·
·
·
Ceux qui utilisent des modèles viscoplastiques : Johnson (1970), O’brien (1986), Liu &
Mei (1989-1990), Van Kessel & Kranenburg (1996), Huang & Garcia (1997) en utilisant
le modèle de Bingham, et Coussot (1994), Laigle & Coussot (1997), Coussot & al (1996),
Piau (1996), Huang & Garcia (1998) en utilisant le modèle d’Herschel-Bulkley.
Ceux qui utilisent le modèle de Bagnold (s'appliquent aux laves torrentielles granulaires) :
Takahashi (1980-1991).
Et ceux qui utilisent des modèles qui combinent différentes dissipations, frottement solide,
comportement Newtonien ou autres et turbulence (concernent les laves torrentielles peu
visqueuses où la turbulence joue un rôle essentiel) : O’Brien et Julien 1993.
Considérons une situation où une quantité donnée d’un fluide viscoplastique est maintenue
en repos derrière un mur vertical. Si le mur s’effondre et la profondeur du fluide est inférieure
à une valeur critique, la mécanique des sols nous informe que le fluide reste en équilibre. Il est
cependant impossible d’expliquer ce phénomène sans tenir compte des contraintes normales.
Cette considération limite évidemment le domaine de validité de l’ensemble des modèles
théoriques qui supposent que la répartition de pression est hydrostatique. Pour remédier à cet
inconvénient, Takahashi (1991) propose d’établir le critère de démarrage de la masse de
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
matériaux sur une pente quelconque en supposant que c’est la totalité de la masse qui se met
en mouvement au départ en glissant sur le fond fixe. Il s’agit alors d’un phénomène de rupture
analogue à celui qui est envisagé dans les problèmes de mécanique des sols. En outre, pour
expliquer ce phénomène et le phénomène d’arrêt de la lave, Arattano & Savage (1992) de leur
coté, supposent l’existence d’une profondeur critique, au-dessous de laquelle le fluide est en
équilibre. On peut cependant s’interroger sur la validité d’une théorie qui suppose l’existence
d’une limite entre deux situations différentes. En revanche, le modèle théorique de Piau
(1996) présente le grand avantage d’expliquer ce phénomène qui est dû à l’influence non
négligeable des contraintes élongationnelles. Ces effets ne se manifestent pas uniquement au
démarrage, mais aussi bien au cours de l’écoulement et lors de l’arrêt. Nous rappelons que ce
modèle de Piau a été obtenu après une analyse d’ordre de grandeur établie sur les équations
bidimentionnelles du mouvement (en utilisant le modèle d’Herschel-Bulkley) faisant à la fin
apparaître l’influence incontestable des contraintes élongationnelles dues au seuil de
contrainte. C’est la raison pour laquelle notre étude était dès le départ basée sur ce modèle et
nous allons dans ce chapitre poursuivre encore cette voie.
Ainsi, l'équation de base à considérer ici est celle de Piau (1996) qui exprime l'équilibre
entre les forces de pesanteur, de frottement, d'inertie et les contraintes élongationnelles. Ces
dernières peuvent être représentées par un paramètre de formeΦ constant pour une supposé
situation d'écoulement donnée.
Eq. IV–1
U,tUU,xgcos( )sbsgnS(h,x)h,xgsin( )J
(2)
(1)
s est le seuil de contrainte etsgn(h,x) représente le signe de la pente de la surface libre (positif, négatif ou nul), compté positif si la profondeur du fluide croit suivant la direction
(Ox). Les autres paramètres sont déjà définis dans le chapitre III.
Dans le cas de l'écoulement graduellement varié, la valeur du paramètre de formeΦ est
d'environ 1.5 (voir chapitre II). Nous supposons que cette valeur reste la même dans ce
problème de rupture de barrage.
D'autre part, l'équation de conservation de la masse s'exprime pour un canal rectangulaire :
Eq. IV–2
htU h h U0 , ,x,x
(2)
Pour finir, il convient de rajouter à ces deux équations les relations générales qui lient les
différentielles locales aux dérivées partielles :
Eq. IV–3
dU
U dx ,x
Utdt ,
(3)
si
s n(h) g,x
n(h) sg,x
s
(11)
(9)
Eq. IV–5
q. IV–4
(5)
(4)
Le système d'équations ((1), (2), (3) et (4)) est enU,t,h,t,U,x,h,x. En introduisant la
variablea:
ssnh gcos( )g,x gcoss( )sgnh,x
a
où :
1 / 2 ghcos( )sshngxsi h , 1 / 2 ghcos( )sgnhsxsi h ,
gcoss( )sgn(h,x)
Eq. IV–6
(6)
Eq. IV–9
dh
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
I.2.1 Nature des équations du mouvement (cf. Piau 1996)
hxdx htdt , ,
Eq. IV–7
(8)
h
1U(7) 2a . La deuxième condition pour que notre système
w
h 1et que
dU2a2daJ dta2sdtghns )(sin( ) g,x
Afin de simplifier l’écriture de cette équation, on introduit la variabler:
d'équations soit indéterminé est que le déterminant obtenu en remplaçant une colonne
quelconque du déterminant principal par le second membre du système est nul, il résulte :
U
a w(w2
qui a les dimensions d'une vitesse, on montre que le déterminant principal est nul si :
dx dt
Eq. IV–8
Supposons maintenant
1)1 2
et h h
1rL1 n 2r1 f(r)arctg r
f(r)
Eq. IV–11
h,x, soit :
arg coth(r)
si
1
1
r(a)a
Eq. IV–10
(10)
1 / 2
On aboutit à une équation différentielle du premier ordre dont la solution dépend du signe de
2r2da d2a(1r r2 dtsgnh dt ,x
En cherchant maintenant une fonctionf(r que :) telle
1f(r)
Cela seulement sih
h . Nous interprétons dans la suite cette propriété des fluides à seuil de
La forme canonique du système ((1), (2), (3) et (4)) s’écrit donc : d U2a1tdr1f(r)g(sin( )J) Eq. IV–12Le long de: dxUa dt
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
n
1Od
1
1Od 1n
formule implicite suivante :
Un1 1 DHn
k n,Od0,forme de S 2 ggn,gDOd4sHJ,forme de S
Pour une section rectangulaire large (DH4h), on a :
contrainte tangentielle moyenne à la paroi dans une section quelconque égale à la contrainte à
la paroi de l'écoulement uniforme ayant les mêmes valeurs du débit et de la hauteur
(approximation locale du frottement de l’hydraulique classique). Ainsi, voir le chapitre sur les
écoulements uniformes, pour un modèle d'Herschel-Bulkley, J peut être représentée par la
contrainte.
I.2.2 Evaluation de la pente de frottement J
L'écoulement est supposé laminaire et on considère ici que le glissement est nul. On
suppose également que la profondeur du fluide varie progressivement de telle sorte que la
m
m1
s gh J
1
m J Jm11
g k
s gh J
Eq. IV–15
n
U
hm2 qvmUh2m1
On vérifie dans ce cas que :
22n321 n
;g n,Od
nOd2 1n
Eq. IV–14 (n)
(15)
J
(13)
(14)
(16)
(12)
d’Oldroyd ‘Od’.
Eq. IV–13
Eq. IV–16
caractère transitoire de l’écoulement, nous changerons dans la suite la définition du nombre
1 Jk21nUnn1U g n h
Lorsquen on retrouve bien le cas Newtonien étudié précédement. Pour tenir compte du1 ,  
1 , i. e la loi de puissance, l’Eq. IV–13 se simplifie comme suit :
Siste 0n  
I.3
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
Solution de Ritter généralisée pour les fluides à seuil de contrainte
Reprenons pour cela les variables adimensionnelles déjà utilisées dans le cas Newtonien
(désignées par le signe *)  .
Eq. I–17
C*U* *,* , ,x t
C U x , ,H, gH gH
t H/g
avec C
gh
(17)
Considérons un canal horizontal et la condition initiale de l'écoulement . Lorsqu’on néglige le
frottement visqueux, l’Eq. IV–1 devient en fonction du coupleC gh,U) : U*U*U*C*C*18) Eq. I–18t*x*2 1C*2x*(0 Le coefficient est pris par simplification égal à 1. Le nombre adimensionnel
(s/(gH été introduit.)) a
L'équation de continuité est :
Eq. I–19
2
C* * t
En introduisant maintenant la variable
la forme :
Eq. I–20
* 2U*CC* * x
U* * x
0
(19)
x*/t*et en supposant l'existence d'une solution de
C*C*( )et U*U*( )
En outre, on suppose l’existence d’une onde négative d’abscissex*x*b(ou
(20)
* * b) qui se
propage dans le réservoir vers l’amont. A cette abscisse la profondeur du fluide égale à la
profondeur initiale, et la vitesse est nulle, soit : Eq. I–21C*(b) 1et U*(b) 0 (21) En remplaçant maintenant l’hypothèse (Eq. I–20) dans les équations du mouvement (Eq. I–18
et Eq. I–19), il vient respectivement : Eq. I–22 (U*( ) )dUdCd*( ) 2C*( ) 1C*( *dU* 2(U*( ) )d( )C*( )d( )
ou bien :
)2
0
dC*( ) d
0
(22)
(b)
(25)
Eq. I–23
Eq. I–24
(23)
(27)
f
Supposons quedC*/d
dC* (U*( ) )2( ) d 2U*( )dC*( ) C*( )d
0
C*( )2
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
(a)
(24)
b l’Eq. I–24 et dans
2 1
Eq. I–26
(26)
2 1
sols) de couler en formant un talus amont. La valeur de
arcos
2
Cette solution prédit donc un profil d’écoulement qui varie entreb etf comme l’Eq. I–26 et elle permet de retrouver la propriété des fluides plastique (comme le cas des
, la condition en aval exprimant que la profondeur du
C*( )
D’autre part, puisque
Eq. I–27
C*2( )
3
arcosC*( )arcos
2
U*( )
C*( )2
)
C*(
qui montre qu’on devrait avoir
dU*( ) d
0 et queU*( )
, il vient d’après l’Eq. I–23a :
En remplaçant l’Eq. I–24 dans l’Eq. I–23b, on obtient une équation différentielle de premier
adimensionnel ) diminuent la valeur de la vitesse de l’onde.
est a priori inconnue. Néanmoins,
ordre qui a une solution implicite, soit :
compte tenu des conditions (Eq. I–21), on obtient : d* Eq. I–25bdxt*b1
. En remplaçant
Ritter constante, mais dans ce cas les contraintes élongationnelles (représentées par le nombre
Cette expression représente la vitesse de l’onde négative qui reste comme dans la solution de
vitesse du front d’onde, peut être déduite à partir de l’Eq. I–26 en remplaçant
f et
fluide est nulle à l'abscisse du front d'onde, n’est pas vérifiable dans le cas des fluides à seuil
de contrainte. On est amené alors à définir une hauteur critiqueh*
C*(f)
, soit :
etU*Uf*.f, qui représente la
l’Eq. I–23, il convient de prendre lorsquef,C*
d’abscissex*xf*(
fI–26 et l’Eq. I–24 ne sont pas valables. Compte tenu de) au-dessous de laquelle l’Eq.
Rupture de barrage en régime laminaire : fluides viscoplastiques
elle peut être calculée séparément de l’écoulement sur des bases relatives à la statique des
talus.
Le problème est ainsi défini. On représente alors sur la Fig. I–1 la fonctionh* donne le qui( )
profile de la surface libre. On retrouve bien la solution de Ritter lorsque 0 , . On remarque
comment les contraintes élongationnelles peuvent changer le profil de l'écoulement, qui se
caractérise essentiellement par l'apparition d'une discontinuité de la profondeur du fluide à
l'abscisse du front. Notons également, et ceci représente une propriété des fluides à seuil, qu'il
n'y aura un écoulement que siH(s/(g)) , i.e
I.4 Etat d’équilibre statique
1 .
L’une des propriétés des fluides viscoplastiques est leur arrêt local et instantané lorsque les
contraintes mises en jeu sont inférieures à un seuil (TIIs dans notre cas oùTII le est deuxième invariant du tenseur des contraintes), cela évidemment dans l’hypothèse de non-
glissement à la paroi. Dans ce cas, le tenseur des taux de déformations D devient nul et le
fluide devrait donc s'arrêter. La théorie d’arrêt au seuil d’équilibre statique a jusqu’ici été
développée en reproduisant l’approximation de l’hydraulique classique avec frottement
pariétal: l’écoulement s’arrête lorsque la pente de la surface libre atteint une valeur limite (Liu
& Mei 1989-1994, Coussot & Proust 1996, Coussot et al 1996) ou plus exactement lorsque la
valeur maximale de la contrainte tangentielle atteint le seuil d’écoulement (seuil de
contrainte). Cette théorie suppose que l'arrêt d'écoulement se fait d'une manière progressive et
elle ne fait pas apparaître l'influence de l'indice de rhéofluidification. Nous réexaminerons
d'abord cette théorie en incluant les effets des contraintes éllongationnelles et nous
proposerons dans la suite une autre théorie qui donne un arrêt instantanné de l'écoulement et
qui fais apparaître l'influence de l'indice de rhéofluidification. Cette nouvelle théorie peut être
une perspective très utile pour les recherches à venir.
On est dans le cas d’arrêt au seuil d’équilibre statique lorsque (Eq. I–44): . I–28h,sh,s Eqxghxgh
Cela dans l’hypothèse où le glissement est nul.
(28)
En divisant les hauteurs par H et les abscisses par L, on fait apparaître deux nombres
adimensionnels : le nombre d’Oldroyd ‘Od’ (il traduit l’influence du seuil de contrainte) et le
nombre
(traduit l’influence des contraintes élongationnelles), soit respectivement :