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• Publié par: Addo
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• Langue: Français

Extrait

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Université Paris Diderot (Paris 7)
École Doctorale Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Dimitri Ara
Sur les -groupoïdes de Grothendieck
et une variante -catégorique
dirigée par Georges Maltsiniotis
Soutenue le 10 septembre 2010 devant le jury composé de :
M. Clemens Berger
M. Denis-Charles Cisinski
M. Bernhard Keller
M. Georges Maltsiniotis
M. François Métayer
M. Carlos Simpson
Rapportée par :
M. Michael Batanin
M. Clemens Bergerii

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Remerciements
Jetienstoutd’abordàexprimermagratitudeenversmondirecteurdethèse,Georges
Maltsiniotis, pour m’avoir appris tant de belles mathématiques, pour m’avoir consacré
beaucoup de son temps sans compter, pour sa générosité et son honnêteté mathéma-
tiques, ainsi que pour son hospitalité.
Je remercie chaleureusement Michael Batanin et Clemens Berger, autant pour avoir
accepté de rapporter ma thèse que pour les mathématiques profondes qu’ils ont déve-
loppées et sur lesquelles mon travail s’appuie.
Je suis très heureux que Denis-Charles Cisinski, Bernhard Keller, François Métayer
etCarlosSimpsonaientacceptédefairepartiedemonjuryetjelesremerciesincèrement
pour cela.
Je tiens à remercier vivement Mark Weber pour les longs moments qu’il a passé à
m’expliquer ses résultats, lesquels se sont révélés importants pour ma thèse.
Je remercie de nouveau Georges Maltsiniotis et Bernhard Keller pour l’organisation
du groupe de travail Algèbre et topologie homotopiques au cours duquel j’ai tant appris;
ainsi que François Métayer pour avoir su créer une dynamique autour des catégories
supérieures en organisant un groupe de travail sur ce sujet. J’en profite pour souligner le
plaisirquej’aieuàtravailleraveclesmembresdecegroupedetravail.J’aienparticulier
eu de nombreuses discutions fructueuses avec Albert Burroni, Jonathan Chiche, Jonas
Frey, Paul-André Melliès et Samuel Mimram.
Je remercie tous les doctorants avec qui j’ai eu des conversations parfois mathéma-
tiques, souvent non mathématiques, et toujours passionnantes. Je tiens notamment à
citer Thomas Bitoun, Luc Deléaval, Thomas Dedieu, Ngô Văn Ðinh, François Guignot,.
ErwanHauvuy,MohedinneImsatfia,HusseinMourtada,MounirNisse,François Petitet
Elhoim Sumano. J’adresse un merci particulier à Mounir Hajli avec qui j’ai tant échangé
ces deux dernières années.
Enfin, je voudrais profiter de cette occasion pour saluer Sleiman Yammine qui m’a
ouvert les yeux sur ce que sont les mathématiques à une époque où je me destinais à un
autre domaine.
iiiiv REMERCIEMENTS8
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Table des matières
Remerciements iii
Introduction vii
1 -catégories et -groupoïdes stricts 1
1.1 Ensembles globulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Équivalences faibles de -groupoïdes stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 La catégorie homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Types d’homotopie et -groupoïdes stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Types die etoïdes quasi-stricts . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Le langage globulaire 19
2.1 Extensions globulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 La catégorie Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3 Description combinatoire de Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2.4 Lemmes sur les catégories au-dessous de Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
2.5 Sommes globulaires généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Complétion globulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Les catégories Θ et Θ 41
3.1 Extensions globulaires catégoriques et groupoïdales . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 La catégorie Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Description combinatoire de Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 La catégorie Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 -groupoïdes de Grothendieck 53
4.1 Cohérateurs et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Quelques flèches structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Équivalences faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 -groupoïde fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 La conjecture de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
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vi TABLE DES MATIÈRES
5 Cohérateurs de -catégories et homogénéité 75
5.1 Θ est un pseudo-cohérateur de -catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Propriétés des adjonctions de relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Homogénéité des complétions globulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4néité des cohérateurs de -catégories . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Dictionnaire ω-opéradique 85
6.1 Préliminaires monadiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Globularité et extensions de Kan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Monade associée à une extension globulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 ω-opérades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Extension globulaire associée à une monade . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 Équivalence avec les ω-opérades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 Comparaison avec les -catégories de Batanin . . . . . . . . . . . . . . . 109
7 Catégories test 117
7.1 Rappel sur les catégories test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 La catégorie Θ est test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Les catégories Θ et Θ sont test strictes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Bibliographie 143
Index des notations 146
Index terminologique 148p
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Introduction
1-types d’homotopie et groupoïdes
À tout espace topologique X, on associe un groupoïde Π X , appelé le groupoïde1
fondamental deX, défini de la manière suivante : les objets de Π X sont les points de1
X, et ses morphismes sont les chemins deX à homotopie fixant le bord près. On obtient
ainsi un foncteur
Π :Top Grp1
de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupoïdes. On dit qu’une
application f : X Y entre espaces topologiques est une 1-équivalence faible si l’ap-
plication π f : π X π Y est une bijection et si pour tout point x de X, le0 0 0
morphisme π f,x : π X,x π Y,f x est un isomorphisme. Rappelons que si G1 1 1
est un groupoïde et x est un objet de G, on note π G l’ensemble des composantes0
connexes deG etπ G,x le groupe des automorphismes dex. De manière analogue au1
cas topologique, on dit qu’un foncteur f :G H entre groupoïdes est une équivalence
faible si l’application π f : π G π H est une bijection et si pour tout objet x0 0 0
de G, le morphisme π f,x :π G,x π H,f x est un isomorphisme. On montre1 1 1
que f est une équivalence faible de groupoïdes si et seulement si f est une équivalence
de catégories. Le foncteur Π induit un foncteur1
Π :Hot Ho Grp ,1 1
où Hot (respectivement Ho Grp ) désigne la catégorie obtenue à partir deTop (respec-1
tivement Grp) en inversant formellement les 1-équivalences faibles (respectivement les
équivalences faibles de groupoïdes).
Théorème. Le foncteur Π est une équivalence de catégories.1
End’autrestermes,l’étudedes1-typesd’homotopieestéquivalenteàcelledesgroupoïdes
à équivalence près.
Types d’homotopie et -groupoïdes
En 1983, Grothendieck écrit une lettre à Quillen qui deviendra le point de départ de
Pursuing Stacks ([17]). Dans cette lettre, Grothendieck propose de fonder la théorie de
l’homotopiesurunegénéralisationduthéorèmeprécédent.Ilconjecturel’existenced’une
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