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• Publié par: Ernae
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• Langue: Français

Extrait

Remerciements
Je tiens en premier lieu a remercier Etienne Ghys avec toute ma gratitude. Sous
sa direction, ce travail a ´et´e une entreprise passionnante. Sa grande clairvoyance, alli´ee
`a son extrˆeme habilit´e dans la compr´ehension et l’explication des faits math´ematiques
m’ont beaucoup apport´e. Il a toujours su m’en faire b´en´eficier par sa gentillesse et sa
disponibilit´e sans failles.
Je suis ´egalement reconnaissant `a Fran¸cois Labourie, Pierre Pansu et Alberto Ver-
jovsky d’avoir accept´e la charge de rapporteurs. L’int´erˆet qu’ils ont port´e a` mon travail a
´et´e pour moi un encouragement. Je pense ici particuli`erement a` Alberto Verjovsky qui a
su me communiquer l’enthousiasme chaleureux qui le caract´erise.
Cette th`ese doit beaucoup en son esprit aux travaux d’Andr´e Haefliger. Sa participa-
tion au jury est pour moi un honneur.
Ces remerciements s’adressent aussi `a Fr´ed´eric Haglund, dont l’´ecoute et l’opinion
critique m’ont souvent ´et´e d’un pr´ecieux secours.
12Introduction
Les d´efinitions que nous donnerons au cours de cette introduction seront parfois soit
incompl`etes, soit simplifi´ees. Nous indiquerons au lecteur a` quelles parties du texte se
r´ef´erer pour les compl´eter.
Les flots d’Anosov occupent une place de choix dans le vaste domaine de l’´etude
qualitative des syst`emes dynamiques diff´erentiables. Un de leurs int´erˆets est d’ˆetre struc-
turellement stables: une l´eg`ere perturbation du flot ne modifie pas leur comportement
qualitatif global (d´efinition 1.1.3).
Il est bien connu que la stabilit´e structurelle est fortement reli´ee a` la notion d’hyper-
bolicit´e.
Un ferm´e invariant par un flot est dit hyperbolique si le fibr´e tangent `a la vari´et´e am-
biante s’y d´ecompose en deux fibr´es suppl´ementaires a` la direction du flot, l’un contract´e,
l’autre dilat´e par le flot.
L’hyperbolicit´e n’est cruciale qu’au centre de Birkhoff, qui est le ferm´e invariant
rec`elant l’essentiel de la dynamique. Les flots d’Anosov sont les flots v´erifiant l’hyper-
bolicit´e globalement (d´efinition 1.1.1). La classification des flots d’Anosov `a conjugaison
topologique pr`es apparaˆıt donc comme un probl`eme int´eressant (d´efinition 1.1.2). Tel est
notre sujet d’´etude.
1. Historique
Les flots qui nous int´eressent furent introduits par D.V. Anosov sous la terminologie
U-flows (cf.[1]).Anosovavaitremarqu´equebonnombredespropri´et´esduflotg´eod´esique
sur le fibr´e unitaire tangent d’une vari´et´e `a courbure n´egative proviennent de sa nature
de “U-flow”.
Les flots d’Anosov alg´ebriques (cf. 1.2.6) constituent une autre famille importante
d’exemples. Ils s’agit de flots sur les quotients a` gauche de groupes de Lie par un sous-
groupe discret cocompact d´efinis par l’action `a droite d’un sous-groupe a` un param`etre.
Les flots g´eod´esiques sur les surfaces `a courbure constante strictement n´egative sont des
flots alg´ebriques: ils sont obtenus par l’action a` droite des matrices diagonales sur les
quotients de PSL(2,R) par des groupes fuchsiens. Un autre exemple de flot alg´ebrique
estceluidessuspensionsdediff´eomorphismeslin´eaireshyperboliquesdutore.Ilestmontr´e
dans [60] que ces deux types d’exemples´epuisent `a revˆetements finis pr`es la liste des flots
d’Anosov alg´ebriques en dimension 3.
Tous les flots d’Anosov ne sont pas topologiquement conjugu´es a` des flots alg´ebriques,
loin s’en faut. Un crit`ere n´ecessaire d’alg´ebricit´e est la transitivit´e, i.e., l’existence d’une
orbite dense. J. Franks et R. Williams ont construit des exemples de flots d’Anosov non
3transitifs ([13]). M. Handel et W. Thurston ont ´egalement produit des exemples non
alg´ebriques, bienque transitifs ([30],cf. leparagraphe 5.2.1decette th`ese). Ens’inspirant
de cette derni`ere construction, S. Goodman a mis au point une m´ethode pour obtenir
en dimension 3 de nouveaux flots d’Anosov par chirurgie de Dehn le long d’une orbite
p´eriodique ([23], cf. paragraphe 5.2.2 de cette th`ese).
Les exemples ´evoqu´es pr´ec´edemment v´erifient presque tous la propri´et´e suivante: un
des fibr´es invariants de la d´ecomposition d’Anosov est de dimension un. De tels flots sont
dits de codimension un. Les flots d’Anosov ne v´erifiant pas cette hypoth`ese ne seront pas
´etudi´es dans cette th`ese.
R´esoudre le probl`eme de la classification des flots d’Anosov (de codimension un) a`
conjugaisontopologiquepr`esdemanded´ej`ader´esoudrelesuivant:quellessontlesvari´et´es
admettantdetelsflots?L’undespremiersr´esultatsencesensestceluideJ.F.Planteetde
W. Thurston selon lequel le groupe fondamental d’une telle vari´et´e doit ˆetre a` croissance
exponentielle (cf. [47]). Il est ´egalement connu que la vari´et´e doit ˆetre irr´eductible (cf.
[43]). On ne sait malheureusement gu`ere en dire plus. Remarquons par exemple que la
m´ethode de S. Goodman m`ene a` des exemples support´es par des vari´et´es non “suffi-
samment grandes”.
Leprobl`emeestcependantenti`erementr´esolulorsqu’onserestreinta`quelquesfamilles
particuli`eres de vari´et´es. J.F. Plante a par exemple ´etabli que les seules vari´et´es dont le
groupe fondamental est r´esoluble et qui supportent un flot d’Anosov de codimension
un sont les fibr´es en tores (de dimensions quelconques) sur le cercle de monodromies
hyperboliques. De plus, ces flots sont tous topologiquement conjugu´es a` une suspension
1(cf. [44] ).
Danslemˆemegenred’id´ee,E.Ghysamontr´equetoutflotd’Anosovsurunevari´et´ede
dimension trois fibr´ee en cercles est, `a revˆetements d’indices finis pr`es, topologiquement
conjugu´e a` un flot g´eod´esique .
D’autres r´esultats apparaissent si on impose au flot des conditions de r´egularit´e. Im-
poser au flot lui-mˆeme d’ˆetre lisse n’a pour nous pas d’interˆet puisque, a` conjugaison
topologiquepr`es,onpeuttoujourssupposerquetelestlecas.Cependant,lad´ecomposition
hyperbolique du fibr´e tangent associ´ee au flot est g´en´eralement seulement continue: c’est
`a elle qu’il convient d’appliquer des hypoth`eses de r´egularit´e pour obtenir des r´esultats
int´eressants.Commeilestremarqu´edans[1],l’hyperbolicit´eduflotentoutpointentraˆıne
l’existence de deux feuilletages transverses, dont l’intersection est le feuilletage engendr´e
par le flot. Ces deux feuilletages sont appel´es feuilletages faibles du flots (certains auteurs
lesappellentfeuilletagescentraux).Entouteg´en´eralit´e,ilssontseulementcontinus.Sil’un
1d’entre eux est de codimension un, il est alors de classe C . J.F. Plante montre dans [44]
que si l’un de ces feuilletages est transversalement affine, le flot est alors topologiquement
conjugu´e a` une suspension.
1Comme le remarque V.V. Solodov dans [55], la d´emonstration donn´ee dans [44] est incompl`ete. Elle
repose en partie sur un r´esultat erron´e de [61]. La correction propos´ee par V.V. Solodov est elle aussi non
viable: le lemme 3.10 de [55] est faux (voir [38] pour un contre-exemple). Nous verrons dans cette th`ese
au chapitre 2 comment compl´eter la preuve.
42. R´esultats
Certainsdesr´esultatsexpos´esdanscetteth`ese´etaientd´ej`aconnusauparavant.Telest
le cas pour la plupart de ceux du premier chapitre. Il en est de mˆeme pour les th´eor`emes
de Verjovsky (th´eor`eme 2.1.1) et de Solodov (th´eor`eme 2.3.1). Nous avons choisi d’en
pr´esenter des d´emonstrations pour des raisons diff´erentes: le premier parce qu’il illustre
bien les m´ethodes permises par l’´etude effectu´ee au premier chapitre, le second parce qu’il
est utilis´e dans ce travail et qu’`a notre connaissance il n’en existe pas de version ´ecrite `a
laquelle se r´ef´erer.
Nous ne pr´esentons ici que les r´esultats issus de notre propre travail.
Commen¸consparlesuivant,quig´en´eralisesimultan´ementlesth´eor`emesdeJ.F.Plante
et de E. Ghys ´evoqu´es pr´ec´edemment:
tTh´eor`eme A Soit (M,Φ ) un syst`eme d’Anosov de codimension un sur une vari´et´e dont
le groupe fondamental contient un sous-groupe ab´elien distingu´e A non trivial. Alors:
t1. Si A est non-cyclique, (M,Φ ) est topologiquement conjugu´e `a une suspension.
t2. Si A est cyclique, et si M est de dimension trois, (M,Φ ) est topologiquement con-
jugu´e , a` revˆetements d’indices finis pr`es, au flot g´eod´esique d’une surface hyper-
bolique.
La d´emonstration du point 1 ne diff`ere gu`ere en son esprit de celle du th´eor`eme de
J.F.Planteportantsurlesvari´et´es`agroupefondamentalr´esoluble.Ladifficult´eessentielle
consiste`acomblerlevidelaiss´eparJ.F.Plantedanssapreuve,c’est-`a-dire,montrerqu’un
flot v´erifiant les hypoth`eses du th´eo