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Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Conclusion 439 Conclusion Conclusion J’ai posé au début de ce travail deux hypothèses de recherche (cf. chapitre 2, § 3.2) sur lesquelles il est temps maintenant de revenir. La première était : HR1 : Certains PE1 ne font pas de différence entre les statuts des dessins géométriques : Objets de la géométrie (G1) ou Représentants d’un OGT (G2) ni entre les validations de type perceptif (G1) ou de type hypothético-déductif (G2) qu’ils utilisent. Ils fonctionnent tantôt dans G1, tantôt dans G2, tantôt dans un pseudo-paradigme personnel qui relève de G1 et de G2, sans en avoir conscience. J’ai maintes fois montré des exemples où les étudiants se situent simultanément dans G1 et dans G2 pour répondre à une question, résoudre un problème : l’item « Carré et Thalès » du test ou l’activité « médiatrice » par exemple sont des situations qui ont été riches en productions de ce type. L’activité « ABCD est-il un carré », dans l’ingénierie du chapitre 7 (cf. § 1.4.2 : Le débat, pages 376 et suivantes) a montré que les étudiants sont capables seuls de mettre en évidence les différences de statut des validations effectuées : perceptives ou hypothético-déductives. Mais le statut des objets géométriques sur lesquels portent les validations est beaucoup plus difficile à repérer : les étudiants n’ont effectivement pas conscience de ...

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Extrait

     

 

    

Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles,  en environnements papier-crayon et informatique

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Conclusion

Conclusion

Conclusion

J’ai posé au début de ce travail deux hypothèses de recherche (cf. chapitre 2, § 3.2) sur lesquelles il est temps maintenant de revenir. La première était : HR1 : Certains PE1 ne font pas de différence entre les statuts des dessins géométriques : Objets de la géométrie (G1) ou Représentants d’un OGT (G2) ni entre les validations de type perceptif (G1) ou de type hypothético-déductif (G2) qu’ils utilisent. Ils fonctionnent tantôt dans G1, tantôt dans G2, tantôt dans un pseudo-paradigme personnel qui relève de G1 et de G2, sans en avoir conscience. J’ai maintes fois montré des exemples où les étudiants se situent simultanément dans G1 et dans G2 pour répondre à une question, résoudre un problème : l’item « Carré et Thalès » du test ou l’activité « médiatrice » par exemple sont des situations qui ont été riches en productions de ce type. L’activité « ABCD est-il un carré », dans l’ingénierie du chapitre 7 (cf. § 1.4.2 : Le débat, pages 376 et suivantes) a montré que les étudiants sont capables seuls de mettre en évidence les différences de statut des validations effectuées : perceptives ou hypothético-déductives. Mais le statut des objets géométriques sur lesquels portent les validations est beaucoup plus difficile à repérer : les étudiants n’ont effectivement pas conscience de travailler sur des objets de nature différente : physique quand ils mettent en œuvre des validations perceptives, théoriques lorsqu’ils appliquent des validations de type hypothético-déductives. Difficile à repérer pour l’étudiant, qui n’a pas conscience de l’existence d’une différence : les objets ont le même nom, la même image, les mêmes propriétés, ou presque. C’est d’ailleurs ce presque, lorsque la situation est justement contradictoire entre les deux paradigmes, qui est un point d’appui pour que les étudiants commencent à se poser des questions. Difficile à repérer également pour le formateur : « comment suis-je sûre de la manière dont l’étudiant considère l’objet ? ». Ce point a dès le départ fait l’objet de toute mon attention (cf. chapitre 2, § 1.4 : Décider entre G1 et G2, pages 73 et suivantes) mais malgré cela, les hésitations sont restées nombreuses. J’ai néanmoins à la fois mis en place une ingénierie qui permet à l’étudiant d’évoluer dans cette prise de conscience, et expérimenté des tests qui permettent au formateur de repérer en partie ce statut de l’objet géométrique sur lequel l’étudiant travaille.  

    

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Si l’on analyse très localement une production d’étudiant, en détaillant chacune des étapes élémentaires de son travail, on peut considérer qu’à tel moment, il se situe dans G1, à tel autre dans G2. Mais si l’on veut considérer globalement cette production, on est obligé de faire intervenir le concept de pseudo-paradigme. J’ai en effet montré que, « spontanément », les étudiants pouvaient aussi bien se situer dans G1 que dans G2, que dans des pseudo- paradigmes locaux et personnels : locaux parce qu’ils dépendent de chaque situation, un étudiant changeant d’une situation à l’autre, personnels parce qu’ils dépendent de chaque étudiant, deux étudiants face à une même situation ne se situant pas dans le même pseudo- paradigme. La version la plus standard de ces pseudo-paradigmes dans une tâche de reconnaissance de figure plane consiste à effectuer des mesures sur le dessin (G1) puis à appliquer des validations de G2. Une variante consiste à effectuer une construction, à la règle et au compas par exemple, pour mettre en évidence une propriété de manière perceptive (G1) et conclure en appliquant un théorème de G2. Dans tous les cas, il semble que les étudiants cherchent à répondre au problème posé en se situant dans G2, mais font intervenir des éléments de G1 à un moment ou à un autre pour de multiples raisons : •   Effet de contrat didactique : il faut produire une réponse •   Effet de la règle d’exhaustivité : il faut dire le maximum de ce que l’on sait de l’objet •   Connaissance non mobilisable, ou non disponible : on ne connaît pas le théorème, où on n’y pense pas •   Manque de situations de référence : on ne sait pas prendre les indices qui permettent de rendre disponible des connaissances par ailleurs mobilisables •   Compétence non maîtrisée : on ne sait pas comment appliquer le théorème   : une propriété est tellement visible qu’on enContamination du « su » par le « perçu » • est convaincu et qu’on croit qu’elle fait partie des hypothèses •…   Le manque de situations de référence est un problème crucial, et qu’il est difficile de résoudre en formation de PE1 : il nécessite de rencontrer des situations variées, et demande donc du temps, temps dont on ne dispose pas assez pour mener à bien la tâche pour tous les étudiants. J’ai ainsi répondu au moins en partie à la première question qui faisait écho à HR1 : P1.1 : Les PE1 en début de formation travaillent-ils « spontanément » dans le cadre de la géométrie spatio-graphique (G1), ou dans celui de la géométrie proto- axiomatique (G2) ? En particulier dans une tâche ambiguë entre G1 et G2, dans quel paradigme ou pseudo-paradigme les PE1 se situent-ils ? De manière

    

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générale, peut-on expliciter le paradigme ou pseudo-paradigme dans lequel se situent les PE1 ?   La seconde question était : P1.2 : Lorsqu’on propose plusieurs tâches de géométrie plane dans le micro- espace aux PE1 en début de formation, est-il possible de faire émerger des profils d’étudiants « tout G1 » ou « tout G2 » ou d’autres profils ? De manière plus large, y a-t-il un lien entre leur positionnement par rapport à G1 et G2 dans une situation donnée et leur positionnement par rapport à G1 et G2 dans une autre situation ? La particularité des pseudo-paradigmes est qu’ils sont locaux : les étudiants se situent dans un de ces pseudo-paradigmes, ou dans G1, ou dans G2, de manière très contextualisée, dans telle situation et pas dans telle autre, mais le changement de paradigme, ou de pseudo-paradigme, est presque aléatoire, compte tenu du grand nombre de raisons, dont la liste présentée ci- dessus n’est certainement pas exhaustive, qui peuvent le provoquer. De ce fait, il a été quasiment impossible de faire émerger des profils d’étudiants qui répondent toujours de la même manière dès que les questions sont très différentes. Tout au plus obtient-on des profils d’étudiants qui utilisent les mêmes procédures de construction, par exemple pour le tracé de médiatrice, voire qui effectuent le même type de commentaires, mais cela n’assure pas pour autant qu’ils se situent dans le même paradigme ou pseudo-paradigme.   La troisième question était : P1.3 : Dans une tâche de construction de G1, les PE1 sont-ils capables de faire le lien entre la technique de G1 qu’ils ont utilisée et la technologie de G2 qui justifie cette technique ? Autrement dit, y a-t-il cohérence entre leurs déclarations (dans G2) et leurs procédures (dans G1) ? Si dans la situation de la médiatrice avec les deux triangles isocèles, près de la moitié des étudiants explicite correctement la propriété utilisée, moins de 20 % des étudiants justifient correctement leur construction d’un triangle rectangle ! Autrement dit, cette cohérence entre déclarations et procédures est loin d’être acquise pour tous les PE1. Un travail explicite de prise de conscience des paradigmes géométriques G1 et G2 d’une part, sur le langage utilisé pour décrire la technique utilisée d’autre part, semble néanmoins prometteur pour faire évoluer cette cohérence.  

    

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Conclusion

La quatrième question était : P1.4 : Existe-t-il des situations qui favorisent plutôt un traitement dans G1, ou dans G2 ? Et si oui, lesquelles ? Une situation au moins est apparue comme semblant favoriser un traitement dans G2, il s’agit des dessins à main levée. Le code est clair pour l’élève : le dessin à main levée n’est pas l’objet sur lequel il faut travailler, ça n’en est qu’un représentant. Cela ne signifie pas pour autant que ce soit le représentant d’un objet théorique, le dessin à main levée peut n’être pour l’élève qu’un brouillon d’un autre dessin plus « précis », mais le premier pas est franchi : une distance est prise entre le dessin proposé et l’objet sur lequel il faut travailler. Si l’élève doit ensuite résoudre un problème, sans avoir la possibilité d’effectuer un autre dessin, la démarche hypothético-déductive va pouvoir se mettre en route. Ce sont là des hypothèses et une recherche spécifique sur les dessins à main levée mériterait d’être effectuée.   L’environnement papier-crayon n’étant plus le seul aujourd’hui dans le domaine de la géométrie, l’environnement informatique a aussi été exploré. Des paradigmes géométriques informatiques spécifiques ont pour cela été utilisés. La question: P2 : Quelle est l’influence de l’environnement (papier-crayon ou informatique) sur le positionnement « spontané » des PE1 dans les paradigmes G1 ou G2 ? Quel rôle jouent G1I et G2I ? reflétait en particulier le souci de savoir dans quel paradigme géométrique les étudiants vont se situer dans l’environnement informatique : dans G1I, proche de G1, ou dans G2I, proche comme nous l’avons montré de G2 du point de vue des résultats mais proche de G1 du point de vue cognitif. Vont-ils ensuite rester dans G1I ou G2I, ou vont-ils passer à G2 pour terminer le travail ? Le faible nombre d’étudiants ayant participé à l’expérimentation en environnement informatique ne permet pas de tirer des conclusions générales. Cette partie du travail a néanmoins permis de confirmer tout l’intérêt que présentent les logiciels de géométrie dynamique certes pour effectuer des conjectures, c’est là un fait établi, mais aussi pour se dégager d’automatismes, de routines, mises en place dans l’environnement papier-crayon, et qui finalement empêchent de réfléchir, ou du moins n’incitent pas à le faire. Il a également permis de confirmer le rôle majeur du manque de connaissances, de compétences, de situations de référence en géométrie plane pour se situer efficacement dans G2.  

    

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Conclusion

Tout ce travail se situait dans la perspective de l’amélioration de la formation des PE1. Une question se posait donc tout naturellement : P3 : Peut-on proposer un dispositif de formation qui permette aux PE1 d’une part de prendre conscience des paradigmes G1 et G2 et d’autre part d’être capables de se situer de manière consciente et efficace dans G1 ou G2 selon les besoins ? Une telle proposition a été faite. Les premiers effets à court terme m’autorisent à penser que le dispositif expérimenté permet aux étudiants de commencer à prendre conscience de l’existence de paradigmes géométriques différents, ainsi que d’évoluer dans leur positionnement dans les paradigmes G1 et G2. Il faudrait bien sûr étudier l’effet produit à moyen terme lors de la deuxième année de formation, puis ultérieurement sur le terrain, lorsque les étudiants devenus enseignants seront en classe avec les enfants. Entre autres, améliorer la qualité du langage utilisé dans la rédaction de scénarios de construction m’est apparu indispensable et un dispositif a pour cela été proposé en environnement papier-crayon. L’environnement informatique pourrait aussi être exploité : la possibilité de faire apparaître l’historique, voire d’en faire facilement un fichier texte (avec un logiciel tel que « Déclic » par exemple) permettent d’envisager un travail dans ce sens. Mes premières expériences dans ce domaine, non relatées dans cette thèse, semblent montrer des effets intéressants. Ce sera certainement pour moi l’objet d’un prochain travail.     Une deuxième hypothèse de recherche sous-tendait ce travail : HR2 : Les paradigmes géométriques tels qu’ils ont été précédemment définis, et tout particulièrement G1 et G2, sont un outil pertinent pour analyser l’activité des PE1 en géométrie plane.

Le cadre théorique des paradigmes géométriques m’a été très utile pour analyser l’activité effective des PE1 au travers de leurs productions notamment, mais aussi activité supposée, au travers de l’analyse d’un sujet de concours par exemple. Le travail a été centré ici sur les PE1, avec quelques activités certes différentes mais néanmoins en nombre limité. Même si quelques exercices extraits de manuels de cycle 3 par exemple ont été analysés, et il faudrait maintenant tester ce cadre théorique plus largement avec une autre population, et avec d’autres types d’activité.  

    

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Conclusion

 

Mes collègues formateurs de futurs professeurs des écoles, comme les professeurs de collège,

pourront, je l’espère, trouver dans mon travail un regard pertinent sur une des difficultés de

leurs étudiants ou élèves en géométrie plane, ainsi que des pistes d’activité à expérimenter

avec eux.

    

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Bibliographie

Bibliographie   Bibliographie 

 

Ouvrages et articles

 

ARSAC Gilbert (1989) : La construction du concept de figure chez des élèves de 12 ans.Actes de la 13 ème conférence PME.Paris. p 85-92. Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G.

ARSAC Gilbert, GERMAIN Gilles & MANTE Michel (1991) :Problèmes ouverts et situation- problème.Ed. IREM de Lyon.  

ARSAC Gilbert et al. (1992) :Initiation au raisonnement déductif au collège. Presses Ed. Universitaires de Lyon (en particulier chapitre 8, Le problème de la figure, le rôle de la figure dans l’argumentation)

ARSAC Gilbert ( 1994-1995 ) : Vérité des axiomes et des théorèmes en géométrie. Vérification et démonstration.Petit x.n° 37. p 5-33. Ed. IREM de Grenoble.

ARSAC Gilbert (1997-1998) : Les limites d’un enseignement déductif de la géométrie.Petit x.n° 47. p 5-31. Ed. IREM de Grenoble.

ARSAC Gilbert (1998) :L’axiomatique de Hilbert et l’enseignement de la géométrie au Collège et au Lycée, Edition Aléas et IREM de Lyon

ARSAC Gilbert (2004) : Bases élémentaires de l’étude de la démonstration mathématique. Séminaire de Didactique, Histoire et Épistémologie des Mathématiques, des Sciences et des TechniquesIUFM de Lyon. 28 janvier 2004. PREMST.  du http://www.lyon.iufm.fr/pole_recherche/archives/premst_archives/Arsac-article_sur_dem.pdf   

ASSUDE Teresa (1997) : De l’économie et de l’écologie du travail avec le logiciel Cabri- géomètre.Petit x. n° 44. p 53-79. Ed. IREM de Grenoble.

BALACHEFF Nicolas (1982) : Preuve et démonstration en mathématiques au collège.  Recherches en didactique des mathématiques. Volume 3.3. Ed. La Pensée Sauvage. Grenoble.

    

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