These - Pricing sur GPU

Description

Rapport de Master présenté pour obtenir Le DIPLÔME MASTER 2 RECHERCHE en Mathématiques Financières par A.Lokman ABBAS-TURKISUJET: Pricing sur GPU Encadrants : Bernard Lapeyre Enseignant chercheur au CERMICS, ENPC Renaud Keriven Directeur du CERTIS, ENPC Septembre 2008 Aux deux femmes qui ont rempli mon coeur d’amour et d’affection. Remerciements Mes premiers remerciements vont à Monsieur Bernard Lapeyre, d’une part, de m’avoir proposé un sujet que j’ai énormément aimé pour sa richesse scientifique théorique et a-pliquée et, d’autre part, pour ses conseils avisés, son aide et sa confiance continue en mon travail.Je remercie aussi très chaleureusement Monsieur Renaud Keriven qui a rendu, lui et son équipe, mon travail tellement agréable que j’ai eu l’impression de passer mes meilleures vacances avec eux. Ce travail a été effectué au CERMICS et principalement au sein de l’équipe du CER-TIS. Que tous les membres de ces départements trouvent ici l’expression de ma gratitude.Leur gentillesse et leur disponibilité ont grandement contribué à rendre ma tâche facile et mon séjour agréable. Je suis très reconnaissant à tous les enseignants que j’ai eus durant mes dix-huit années d’étude et de formation, sans lesquels ce mémoire n’aurait pas eu son contenu actuel.Enfin, on dit souvent que l’on ne choisit pas ses parents. En ce qui me concerne, si j’avais à le faire, j’aurais certainement retenu les miens. Qu’ils trouvent en moi l’enfant redevable toute sa vie.Table des matières 0 Introduction générale ...

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Extrait

SUJET:

Rapport de Master

présenté pour obtenir Le DIPLÔME MASTER 2 RECHERCHE en Mathématiques Financières par A.Lokman ABBAS-TURKI

Encadrants : Bernard Lapeyre Renaud Keriven

Pricing sur GPU

Enseignant chercheur au CERMICS, ENPC Directeur du CERTIS, ENPC

Septembre 2008

Aux

ont

deux

femmes

rempli

d’amour

et

mon

qui

coeur

d’affection.

Remerciements

Mes premiers remerciements vont à Monsieur Bernard Lapeyre, d’une part, de m’avoir proposé un sujet que j’ai énormément aimé pour sa richesse scientifique théorique et ap- pliquée et, d’autre part, pour ses conseils avisés, son aide et sa confiance continue en mon travail.

Je remercie aussi très chaleureusement Monsieur Renaud Keriven qui a rendu, lui et son équipe, mon travail tellement agréable que j’ai eu l’impression de passer mes meilleures vacances avec eux.

Ce travail a été effectué au CERMICS et principalement au sein de l’équipe du CER- TIS. Que tous les membres de ces départements trouvent ici l’expression de ma gratitude. Leur gentillesse et leur disponibilité ont grandement contribué à rendre ma tâche facile et mon séjour agréable.

Je suis très reconnaissant à tous les enseignants que j’ai eus durant mes dix-huit années d’étude et de formation, sans lesquels ce mémoire n’aurait pas eu son contenu actuel.

Enfin, on dit souvent que l’on ne choisit pas ses parents. En ce qui me concerne, si j’avais à le faire, j’aurais certainement retenu les miens. Qu’ils trouvent en moi l’enfant redevable toute sa vie.

Table des matières 0 Introduction générale 0-1 0.1 Contexte du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-1 0.2 Objectif du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-2 0.3 Organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-3 1 Le GPU et les finances 1-1 1.1 HPC sur GPU . . . . . . . . . . 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 La gamme Geforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2 1.1.2 La gamme Tesla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2 1.1.3 Cluster de cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 1.2 Programmer les GPU avec CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 1.2.1 À propos du GPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4 1.2.2 Monte Carlo sur GPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5 1.3 Put sur paniers d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-8 2 Contrats Path Dependant 2-1 2.1 Contrats Standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2 2.1.1 Modèle de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2 2.1.2 Option asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2 2.1.3 Option Lookback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3 2.1.4 Option Barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4 2.2 Produits dérivés de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5 2.2.1 Modèle de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5 2.2.2 Target Redemption Risk Neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-7 2.2.3 Ratchet Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-9 2.3 Résultats de speedup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-9 3 Contrats Américains 3-1 3.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 3.2 Introduction au calcul de Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-4 3.3 Généralisation en plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9 3.4 Implémentation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-12 Conclusion générale 4-1 A Caractéristiques techniques des Tesla dernière génération A-1

B

Exemple

de

programme

Liste des figures

Liste des algorithmes

Bibliographie

sur

CG

B-1

i

i

i

Chapitre 0

Introduction générale

" La finance a envahi l’actualité. Sa complexité, l’énormité des sommes en jeu, la rapidité des fortunes et des ruines, la valse des bourses et des monnaies, l’émergence de puissances hors contrôle des états, tout cela fascine ou inquiète. "

Catherine Lambert pour "Le Commerce Des Promesses"

Sommaire

0.1 Contexte du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-1 0.2 Objectif du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-2 0.3 Organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-3

0.1 Contexte du projet En quête de plus de rapidité dans les calculs, plusieurs institutions financières inves- tissent dans des machines multiprocesseurs très puissantes. La raison principale de cet investissement est double : D’une part, ces institutions veulent toujours être plus rapides que la concurrence sur des produits standards. D’autre part, elles expriment le besoin de modèles plus sophistiqués et de contrats plus exotiques qui nécessitent un temps de calcul plus important.

Parmi les méthodes les plus utilisées dans le domaine du "pricing" et de "hedging" de contrat, on trouve la simulation de Monte Carlo. Cette méthode est intuitive dès qu’il y a un problème d’intégration numérique. Elle est presque exclusivement la méthode utilisée dès qu’il s’agit d’un problème en grande dimension. Cependant, comme toute procédure de calcul scientifique, la simulation de Monte Carlo possède des avantages et des incon- vénients. L’obstacle majeur dans son utilisation reste sa lenteur de calcul qui s’accentue avec notre gourmandise pour la précision du résultat. Néanmoins, le fait qu’elle soit une méthodeparfaitement parallèlefavorise son usage. En d’autres termes, on peut lancer

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CHAPITRE 0. INTRODUCTION GÉNÉRALE

plusieurs processeurs, travaillant de manière indépendante, pour accélérer ainsi l’obten- tion du résultat.

Une méthode parallèle implique l’utilisation d’une architecture informatique parallèle. Celle-ci est illustrée par une machine multiprocesseurs qui travaillent en parallèle comme elle peut prendre la forme d’une architecture cluster 1 . Une architecture parallèle, récente dans le calcul scientifique, est celle de la carte graphique. Le GPU de la carte manipule une structure de données en pipe-line 2 , exécutant plusieurs tâches d’une manière parallèle et indépendante. La conception spéciale de cette carte, dédiée à des traitements graphiques, rend sa manipulation limitée à des tâches spécifiques. En revanche, une fois la limitation contournée, la rapidité de l’exécution des tâches est nettement supérieure à celle d’une CPU 3 (figure 0.1.1).

Fig.0.1.1 –performances en milliards d’opérations par seconde.Historique des

0.2 Objectif du projet Ce travail est la suite du travail effectué durant mon stage de l’année dernière qui m’a permis de proposer un générateur de nombres aléatoires en parallèle (RNG). Le but donc de ce travail est d’utiliser ce RNG pour la simulation de Monte Carlo sur une multitude 1. impliquant des communications maître-esclave 2. l’exécution des tâches est découpée en étages 3. théoriquement 100 fois plus rapide

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0.3. ORGANISATION DU MANUSCRIT

de contrats financiers, avec un accent sur les algorithmes et les performances obtenues pour chaque contrat.

0.3 Organisation du manuscrit Pour atteindre la majorité des objectifs fixés ci-dessus, le partage des chapitres a été fait d’une manière croissante en difficulté : On commencera par introduire le matériel employé et une description brève du RNG utilisé qui sera illustrée par l’exemple d’un contrat vanille multidimensionnel. Puis, on passera sur des contrats européens faisant intervenir la trajectoire et enfin on terminera par traiter des contrats américains.

Chapitre 1 Cette partie fera le tour des évolutions de la carte graphique, en particulier, dans le monde bancaire ainsi que de son utilisation via l’implémentation d’un cas simple.

Chapitre 2 Ce chapitre exposera l’implémentation de trois contrats standards dans le milieu finan- cier, il s’agit : d’une option asiatique sur un panier d’actifs et deux options sur maximum sur un panier d’actifs : lookback et barrière. En plus de ces contrats, je présenterai deux autres contrats issus du "Fixed-Income" le premier est un Ratchet et le deuxième est un Target, tous les deux utilisent un modèle HJM n-facteurs.

Chapitre 3 Pour explorer d’avantage l’utilité de la carte graphique dans le milieu financier, il m’a semblé incontournable de traiter les contrats américains. La difficulté de ce contrat est double : La première est une difficulté intrinsèque qui apparaît dès que l’on veut travailler sur plusieurs actifs. La deuxième difficulté est celle due à la parallélisation d’un contrat difficilement parallèlisable. On essayera de ce fait d’apporter une réponse double à cette difficulté.

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