Signaux stationnaires et estimation spectrale

Description

Signaux stationnaires et estimation spectrale
Signaux stationnaires au second ordre
´ ´Prediction lineaire
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
Periodogramme´ et estimation spectrale
Modelisation´ AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 1Signaux stationnaires au second ordre
3 Six trajectoires
0
(de longueur
−3
200) pour
3
0 quatre modeles`
−3
de ser´ ies
3
temporelles
0
stationnaires−3
3 (avec
0 EX = 0,t
−3
(0) = 1) :
3
(i) sinuso¨ıde0
−3 `a amplitude et
3 phase aleatoire´
0
(dist. exp.
−3
50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200
et uniforme dans
[0,2 ]), (ii) bruit blanc (gaussien), (iii) AR(1) (gaussien), (iv) chaıne de Markov a` deux etats´ observee´ˆ
dans du bruit (gaussien)
2Signaux stationnaires au second ordre
Prediction´ lineaire´
Bases de l’estimation statistique
Estimation de la moyenne et de l’autocovariance
´Periodogramme et estimation spectrale
´Modelisation AR
Estimation de sinuso¨ıdes bruitees´
Olivier Cappe,´ DEA ATIAM (version 2.2) 3´ ´Prediction lineaire
2Espace de HilbertL (P)
Les variables aleatoires´ d’esper´ ance nulle et de variance finie peuvent etreˆ munies
d’une structure d’espace de Hilbert dans laquelle
1. hX,Yi = E(XY) definit´ un produit scalaire :
(a) hX,Yi =hY,Xi
(b) h X + Y,Zi = hX,Zi+ hY,Zi
(c) hX,Xi 0 (ethX,Xi = 0 impliqueX = 0 avec probabilite´ 1)
2. Les suites de Cauchy telles quekX X k→ 0 quandn,m→∞n m
2
convergent dansL (P) ...

Sujets

• Banque d'Estonie
• Statistique
• Interstate 27
• Bruit blanc
• Globally Unique Identifier
• Olivier Capparos

Informations

• Publié par: Suwyag
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français

Extrait

Signaux stationnaires et estimation spectrale

• Signaux stationnaires au second ordre • ePr ´ itnodeciaeriil ´ n • Bases de l’estimation statistique • Estimation de la moyenne et de l’autocovariance • eltcarsneptaoiPire ´ teeeimstogodmmra • MARtionlisaod ´ e

• Esunisednoitamitsseet ´ uibresdo¨

OlivierCapp ´ e,DEAATIAM(version2.2)

1

• Signaux stationnaires au second ordre

Six trajectoires

(de longueur

200) pour

quatremode  les

de se´  ries

temporelles

stationnaires

(avec

EX t = 0 ,

γ(0) = 1 ) :

(i)¨denusosi

aamplitude et

phase ale´  atoire

(dist. exp.

et uniforme dans

[0,2π] ),(ii)bruit blanc (gaussien),(ii)iAR(1) (gaussien),(iv)chn‹aMedeokrada  vre ´ vossbtetaue ´ xee

dans du bruit (gaussien)

2

• Signaux stationnaires au second ordre • ciitnoil ´ naeriePr ´ ed • Bases de l’estimation statistique • Estimation de la moyenne et de l’autocovariance • areloisneptcstteatimraogeemme ´ Pdoir • onAR ´ elisatiMdo

• esinuEssot¨imationd ´ teesdserbiu

OlivierCapp ´ e,DEAATIAM(version2.2)

3

• rPe ´ idtcionlin ´ eaire

Espace de Hilbert L 2 (P)

Lesvariablesal ´ eatoiresd'espe ´ rancenulleetdevarianceniepeuvente ‹ tremunies d'une structure d'espace de Hilbertdans laquelle

1. hX, Yi= E(XY) utn ´ deinproduit scalaire: (a) hX, Yi=hX,Yi (b) hαX+βY,Zi=αhX, Zi+βhYZ,i (c) hX, Xi ≥0 (et hX, Xi= 0 implique X= 0  1) avec probabilite´

2. Lessuites de Cauchytelles que kX n −X m k →0 quand n, m→ ∞ convergent dans L 2 (P) (cdee ´ utmolpo  u), kk ci ´ eassoosrigmneelda ´ neaeu produit scalaire par kXk d = ef p hX, Xi= p E(X) 2

Ine ´ galit ´ edeCauchy-Schwarz |hX, Yi| ≤ kXkkYk

Continuit ´ eduproduitscalaireetdelanorme • hX n , Yi → hX, Yi • kX n k → kXk

Si X n

→X (ie. kX−X n k →0 ),

4

•  line´  aire Pre´ diction Pre ´ dictionlin ´ eaire

Deuxconceptse ´ quivalents

• Projection orthogonale dans L 2 (P)

• valaanrideceerl’ruerrpedide ´ oitcn)edicPr ´ deisavs  vie(alimtpoeriae ´ nilnoit

p p min E[(Y− ϕ 1 ,...,ϕ p k X =1 ϕ k X k ) 2 ]⇐⇒E[(Y− k X =1 ϕ k X k )X ` ] = 0 (1≤`≤p) b Si Y= P p k=1 ϕ k X k d−icusselboreme  ons,atl'uesseloinuqanputuoi E[( b 2 E(Y 2 )−E(Y Y b ) = E(Y 2 )−E(Y ˆ 2 ) Y−Y) ] =

Remarque 1 : Si E(Y)6= 0 , min ϕ E[(Y−ϕ×1) 2 ] a pour solution ϕ= E(Y) Remarque 2: Y b est unique(dans L 2 (P) ) mais la combinaison line´  aire ϕ 1 , . . . , ϕ p ne l'est que si les variables X 1 , . . . X p ostnlfibier”suansseuo E[( P p k=1 α k X k ) 2 ] = 0 uniquement lorsque α 1 =. . . α p = 0

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• Pre´ diction  aire  line´

Applicationaus ´ erieschronologiques

Pre´ diction  de X t en fonction de X t−1 , . . . X t−p apar  estirdsnoitauq ´ eed Yule-Walker

p p 0 =E[(X t − X ϕ k X t−k )X t−` ] =γ(`)− X ϕ k γ(k−`) k=1k=1

soit sous forme matricielle  γ(0)γ(1) γ(1)γ(0)   .

avec

γ(p−1)

γ(p−2)

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

1≤`≤p

γ(p−1)   ϕ 1   γ(1)  γ(p−2)ϕ 2 γ(2) = γ(0)     ϕ . p     γ( . p)  

p p σ 2 d = ef E[(X t − X ϕ k X t−k ) 2 ] =γ(0)− X ϕ k γ(k) k=1k=1

6

• P ´ rdeciitnoil ´ neaire

Algorithme de Levinson-Durbin

Ilestpossibled' ´ evaluer,ruis ´ rcentenveme p , les coefcients ϕ p,1 a ϕ p,p du predicteur d'ordre p (ainsi que σ p 2 = E[(X t − P p k=1 ϕ p,k X t−k ) 2 ] ) ´

Initialisation

Pour p≥2

ϕ p,p

ϕ p,j

ϕ 1,1 σ 2 1

= =

γ(1)/γ(0) γ(0)−ϕ 1,1 γ(1)

=σ p− − 1 2   γ(p)− j p = X − 1 1 ϕ p−1,j γ(p−j)   =ϕ p−1,j −ϕ p,p ϕ p−1,p−j pour 1≤j≤p−1

σ p 2 =σ p 2 −1 (1−ϕ 2 p,p )

(1)

(2)

7

• ctdi ´ ePr ´ einnlioiaer

Pre ´ dictiond’unsignalr ´ eel

Signal :Hz.512aned'hslitableacurBemti ´ rushantillonn ´ e  a55'dnuveiouter ´ ,ce

Signalet, de haut en bas,uerreiondictpr ´ ersdepuor p= 1,2,3 et

rougeestdivis ´ epar5.

4 sebrneedeluocs ´ el'elchntten,io.tA

Remarque:Icilafonctiond'autocovariancea ´ et ´ eestim ´ eea  partirdusignalcomplet...

8

• Signaux stationnaires au second ordre • dictPr ´ enie ´ oilniaer • Bases de l’estimation statistique • Estimation de la moyenne et de l’autocovariance • timationammeetesreoiodrg ´ Pelartceps • RnAioatisle ´ doM

• esit ´ esbru¨edunosedisitnomatiEs

Olivier Cappe´  , DEA ATIAM (version 2.2)

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• Bases de l’estimation statistique

Concepts de base

Mode  lestatistique ´ tesnededellimaFlibibaroepsd ´ eit p n,θ  ant les i d ´ rvationsobse ecr v X 1:n = (X 1 , . . . X n ) , indexe´  es par unetrerpaam  θ (les observations sont desvariablesale ´ atoires,dontlaloide ´ pendd'unparame  trede ´ terministe)

Modele parame´  trique θ xe p n,θ exemple : X 1:n IID de loi N(0, θ)

Mode  lesemi-parame ´ trique θ sdueeire ´ qitsacsetcartainecerxequne p n,θ exemple : X 1:n extrait d'un bruit blanc au second ordre avec γ X (0) =θ

b EstimateurtioncnoF θ n nirunnocedeuppaachrolaerlevasnedtaoie ´ etsnidservesob θ  atoire) (l'estimateur est une variable ale´ exemple : θ b n = n 1 P n i=1 X i 2

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• Bases de l’estimation statistique

Evaluation des estimateurs b Biais b n (θ) = E θ [θ n −θ] Variance v n (θ) = var(  bb b 2 θ n ) = E θ [(θ n −E(θ n )) ] Risque quadratique r n (θ) = E θ [(θ−θ b n ) 2 ] =b n (θ) 2 +v n (θ)

Exemple :  Modele IID de de´  calage X 1 , . . . X n sont inde´ pendants et identiquement distribue´ (IID) de loi p 1,θ =p(x−θ) ( p syme´ trique),  on note σ 2 = var θ [X 1 ] . b 1 1. θ n n P n i=1 X i est un estimateur non biaise´ = 2. r n (θ) =v n (θ) = 1 σ 2 n

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