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Statistiques descriptives

3 pages
ndeAnn´ee 2005-2006 2 1
Chap III : Statistiques descriptives
I. Vocabulaire g´en´eral
Afin d’illustrer toutes les d´efinitions de vocabulaire que nous allons voir nous allons prendre un
exemple : les notes au DM1 des ´el`eves de la classe.
Population : Ensemble sur lequel porte l’´etude. (Ex : la classe de 2˚1.)
Individus : El´ements qui composent la population. (Ex : les ´el`eves de 2˚1.)
Caract`ere : Aspect que l’on observe chez les individus. (Ex : les notes du DM1.)
Il y a plusieurs types de caract`eres
• Caract`ere qualitatif : Le caract`ere n’est pas mesurable. (Ex : si on avait demand´e la couleur
des yeux au lieu des notes.)
• Caract`ere quantitatif : les valeurs prises par le caract`ere sont des nombres.
⋆ Quantitatif discret : les valeurs sont isol´ees. (Ex : c’est le cas pour les notes.)
⋆ Quantitatif continu : les valeurs constituent un intervalle. (Ex : si on avait demand´e le poids
au lieu des notes.)
S´erie statistique : Ensemble des valeurs collect´ees.
(En fonction du caract`ere ´etudi´e on parlera par exemple de s´erie quantitative discr`ete ... etc.)
Effectif : Pour une valeur x du caract`ere c’est le nombre n d’individus de la population prenanti i
cette valeur.
Effectifscumul´es croissants:Ilss’obtiennent enajoutantaufuret`amesureleseffectifsdesvaleurs
pr´ec´edentes.
Fr´equence : Pour une valeur x c’est le quotient f de l’effectif n de la valeur par l’effectif totali i i
ni
N. On a donc f = et f +f + = 1.i 1 2
N
Lorsque la s´erie est connue par ses ...
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Ann´ee20052006
Chap III :
Statistiques
descriptives
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I.Vocabulairege´n´eral Andillustrertouteslesde´nitionsdevocabulairequenousallonsvoirnousallonsprendreun exemple:lesnotesauDM1des´ele`vesdelaclasse.
Population :ute´letropleuqesurlmbleEnse.de(Ex : la classe de 2˚1.) Individus :e´lEtnemiuqspmoc.nosentlapopulatioE(:xel´slee`ev.)˚1e2sd Caract`ere:Aspect que l’on observe chez les individus.(Ex : les notes du DM1.)
Ilyaplusieurstypesdecaract`eres
litatif:t`erequaCracae.blrasumeastpsenere`tcaraceL(Eleuracoud´elmenaiadtnova:xis des yeux au lieu des notes.) titatianf:aCareruqtce`alsvlesirpsruecelrapsearact`eresontdesonbmer.s Quantitatif discret :ssevl.euelaossrsitne´lo(Ex : c’est le cas pour les notes.) Quantitatif continu :les valeurs constituent un intervalle.ele´diopedtidnam:sionavas(Ex au lieu des notes.) S´eriestatistique:mesnE.avsedelbscolleur´eeslect (Enfonctionducaract`ere´etudi´eonparleraparexempledes´eriequantitativediscre`te...etc.) Effectif :Pour une valeurxidmbrelenoetsrececa`tcuranid’individus de la population prenant cette valeur. Eectifscumul´escroissants:tiennentIlssobtnuaufernejauoateseleceamt`uresuelasrsfitvsed pr´ece´dentes. Fr´equence:Pour une valeurxic’est le quotientfide l’effectifnide la valeur par l’effectif total ni N. On a doncfi= etf1+f2+∙ ∙ ∙= 1. N Lorsquelase´rieestconnueparsesfr´equencesonparledeenqusceidtiburist´efrdeon. Onparlerae´galementdetnse´rfcsorsiascumul´eeequencesetc.. . .
Lorsqu’on regarde unelistedtie´autnlsqaqieutistsstan´eeedon´etgern´emaltennidmrofoitasesn tr`esgrandeetnotrecerveaunarrivepasa`enretirerdid´eesg´en´erales. Lebutdesstatistiquesestder´esumertoutescesvaleursa`laidedequelquesoutils pertinents. II. Outilsde position et de dispersion 1) Danstoute la suitequandetonno,earlliaaarenovarten´sevucuqnareeitivetitar`etdiscxiles valeursducaract`ere,niles effectifs correspondants,Nl’effectif total etfila´efrenqudelcae valeurxi. On aura alors un tableau statistique du type suivant : valeursx1x2. . .xpvaleursx1x2. . .xp ou bien effectifsn1n2. . .npsef´rqeeucnf1f2. . .fp etn1+n2+∙ ∙ ∙+np=Netf1+f2+∙ ∙ ∙+fp= 1
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n X 2) Lasommex1+x2+∙ ∙ ∙+xnis´aussre:ecrituepxiet se litsomme dei´alega1`ndes i=1 xindicei.
1) Outilsde dispersion D´enition1:On appelleeudnete´ercnie´ledaituqgranplusrelaeentdavedruelisatstieers´neu ducaract`ereetlapluspetite. −→A donner pour les notes du DM1. Remarque :reeitstadeuen´s´etenduLaltnitceemevduraeittiisetqudispersioncettdeir.esee´
2) Outilsde position a)Me´diane De´nition2:La´mdeaien´eriestatistiquednuseeualrodroe´nntseevenumtelle qu’il y ait autant devaleurssup´erieuresoue´galesa`mesal`asoreegu´siurlevaeuri´enfedeuqm.
plus petite valeur50 %mplus grande valeur50 % Lorsquelase´rieauneffectif total impairNnuiraersL:o´easelqueffectif total pairN: onrangelesvaleursducaracte`reparordrecroisonrangelesvaleursducaract`ereparordrecroissantemectnar.lalteedm´neiatleseretsantdenneyomaltseenadi´eamtleesdeuxva leurs centrales. Exemple :Pourlas´erie3467121213Exemple :ieer3urPos´la4671212 on amon a= 7m= 6,5 −→A donner pour les notes du DM1. Remarque :oresunstdetemaLeenaide´nidt´qeipuoilrbedelas´erie.
b) Mode D´enition3:lenssdcaneuers´aDequtiisatstie(quantitative)rcsidle`etemodeestunevaleur quialeplusgrandeectifassocie´.
De´nition4:asdunesDanslecittsqieue´irseat(quantitative)continue, laclasse modaleestune classe correspondant au plus fort effectif. −→A donner pour les notes du DM1. Remarque :Unes´eriepeuatovrilpsueirumsodes. Lemodepr´esenteuninte´reˆtsurtoutsisoneectifestnettementsup´erieurauxautres.
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c) Moyenne D´enition5:Lamoyennetcarere`srueacuddemealsvtlesomasestesetcfieesparlepond´er´ divise´eparleectiftotal.Elleestnote´ex. n X nixi i=1 x= N −→A donner pour les notes du DM1. Remarque :atitnauqeire´sendouueinntcovetisdulecaDansunsimpleregroupeemtnnelcsaesno calculeunevaleurapproche´edelamoyenneenchoisissantcommevaleursducaract`ere les centres des classes et comme effectifs les effectifs des classes.
III. Calculsde moyennes Propri´et´e1:)neenoyamelde´tirae´niL( Siunes´eriedevaleursxia pour moyennex´ea,sledrialevrseua xi+b(aetbe´tnat deuxr´eels)apourmoyenneax+b. −→rastonemont´iD
Exemple :Du1Mdnae`lvenonent`anpoilemotoutnoiSueve`lneyonelamani`t1eopne. Si on met ces notes sur 40 au lieu de 20 on double la moyenne. Propri´ete´2:dunedis(Apartirfednqe´rbirtoituncue)es Siunese´riedevaleursxiapotsirruidnoedubitenqu´efresslcefi, alors la moyenne xvaut : n X x=fixi i=1 −→´Dmenotsaritno
Th´eor`eme1:(A partir de la moyenne de sousgroupes) Sionre´partitles´el´ementsdunese´rieendeuxsousgroupesdisjointsdeectifsP etQet de moyennes respectivesxetyalors la moyenneX:tseeirde´eesttce P x+Qy X= P+Q Exemple :a`snednuriovrfedesnurlpagaescor¸a`an¸caisest´egale2sn5enedboettoseoyenLam 11 sur 20, la moyenne des 2 notes obtenues par les filles est de 12,5 sur 20. Calculons la moyenne de la classe. 25×11 + 2×12,5 On ax=11,11. 31 11 + 12,5 Remarque :x6= . 2
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