Domaines nodaux et partitions spectrales minimales

Description

Domaines nodaux et partitions spectrales minimales
¨Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Bernard HELFFER, Universit´e Paris Sud
Gr´egory VIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Mots-cl´es : domaine nodal, 3-partition, modes propres du ...

Sujets

• Cachan
• Domaine de premier niveau
• Grau
• Ensemble musical
• MathML
• Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Informations

• Publié par: Shawyog
• Nombre de lectures: 131
• Langue: Catalan

Extrait

Domaines nodaux et partitions spectrales minimales ¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL , IRMAR, ENS Cachan Bretagne Bernard HELFFER ni,Ue´tisrevduSsiraP Gre´goryVIAL , IRMAR, ENS Cachan Bretagne Mots-cl´es:domaine nodal, 3-partition, modes propres du Laplacien. 2 Onconside`reundomaineborne´ΩdeR.exeosnOiahuocet´e,rligueternncortemprendrelelienen certainesk-partitions de Ω et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien sur Ω avec condition k de Dirichlet.On noteD k l’ensemble desk-partitionsD= (D i ) i=1 de Ω telles que Int(∪ i D i )\∂Ω = Ω.

Onde´finitalors L k (Ω) = inf{max{λ 1 (D i ), i= 1, . . . , k},D ∈ D k }, e ou`λ j (Daelgne´isd)jpitetsplupruelavelederpornsieurar´ealisationdeDricilhteudaLlpcaD. Une partitionquire´aliseleminimumestappel´eek-partition minimale.Il est facile de montrer que

L 2 (Ω) =λ 2 (Ω).

e Danscecas,lesensemblesnodauxdu2vecteurproprefournissentune2-partitionminimale.De`sque k≥Si on note3, les choses ne sont plus aussi simples.L k (Ω) la plus petite valeur propre telle qu’il existe unefonctionpropreassoci´eequipose`dekensembles nodaux, alors on peut montrer que

λ k (Ω)≤L k (Ω)≤L k (Ω).

Iln’estpasdifficiledevoirquepourlecarr´eetledisque,ona´egalite´danslarelationpr´ece´dentepour k= 1,2,orsqctelstriit´eeu´nitlagee4ksen,uostsereser.3nE=urfigonxcauntnaiguqirte´myssnoita utilisonslam´ethodedes´ele´mentsfinispourconstruiredescandidatsaux3-partitionsminimalesdudisque etducarre´.

Nousrappelleronsquelquesre´sultatsde[3]surlespartitionsminimalesetproposeronsdessimulations num´eriques(voir[1,2])pourconfortercertainesconjectures.

Re´f´erences [1]V.nnBollai-NiedG.Vial ¨ oleB,H.leffrena,Numerical simulations for nodal domains and spectral minimal partitions,07-,RMARpiuobnlIiPcra´et00.7532, [2]ndla ¨ eNoe-liilnaB.noVlaiV.G,Computations for nodal domains and spectral minimal parti- tions,http://www.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/MinimalPartitions, 2008. [3]B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S. Terracini,Nodal domains and spectral minimal partitions80.P,20l’IHesdennalAxuaertıˆarapA,

¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz [e-mail] Bernard HELFFERSud,91405OrsaycedneUxvireis´tPerasiquti,Best.ˆa5,42emetedtnhtaMame´epar,D´ [e-mail] Gr´egoryVIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz Gre´[e-mail]