Intégrale de Lebesgue

Description

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Int¶egrale de Lebesgue
Nousallons,danscechapitre,d¶eflnirunenouvellenotiondel’int¶egrale.Nouscommen»conspar
d¶eflnir cette int¶egrale (de Lebesgue) pour des fonctions born¶ees, puis ¶etendons la d¶eflnition a
des fonctions non born¶ees.
3.1 Int¶egration de fonctions born¶ees
Soit E un ensemble mesurable de mesure flnie. On appellera partition de E toute famille flnie
fE ;:::;E g de parties mesurables disjointes deux a deux de E, dont l’union est E. De plus,1 n
dans ce qui suit, si P est une partition de E, on dira qu’une partition Q est plus flne que P
(on notera Q´P ou P `Q) si tout F 2Q est un sous-ensemble d’un ensemble E 2P. Si
P =fEg et siQ´P, on noteraQ=fF g pour indiquer que E =[ F pour tout E 2P.i ij i j ij iP
Notons que siP =fEg est une partition de E alors „(E)= „(E ).i ii
Soit maintenant f une fonction born¶ee sur un ensemble E mesurable de mesure flnie et soit
P =fEgunepartitiondeE.Ond¶eflnit,d’unemaniereanalogueauchapitre1,lesquantit¶es:i
m =infff(x); x2Eg;i i
M =supff(x); x2Eg;i i
nX
L(f;P)= m „(E );i i
i=1
nX
U(f;P)= M „(E ):i i
i=1
Notons que si E est un intervalle et si P est une partition en intervalles alors les nombres
L(f;P) etU(f;P) ont la m^eme signiflcation qu’au chapitre 1.
Proposition 3.1.1 Si E est un ensemble de mesure flnie et si m • f(x) • M pour tout
x2E et P et Q sont deux partitions de E satisfaisant Q´P, alors
m„(E)•L(f;P)•L(f;Q)•U(f;Q)•U(f;P)•M„(E):22 3 Int¶egrale de Lebesgue
D¶emonstration. SoientP =fEg etQ=fF g avec E =[ F pour tout i. Soit ...

Sujets

• Suite et série de fonctions
• Ensemble mesurable (homonymie)
• Partition héraldique
• Mesure finie
• Ijimaia
• .nfo

Informations

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Extrait

3 Int´egraledeLebesgue

Nousallons,danscechapitre,de´finirunenouvellenotiondel’int´egrale.Nouscommenc¸onspar d´efinircetteinte´grale(deLebesgue)pourdesfonctionsborn´ees,puise´tendonslad´efinitiona` desfonctionsnonborn´ees.

3.1Int´egrationdefonctionsborne´es Soit E un ensemble mesurable de mesure finie. On appellera partition de E toute famille finie { E 1 , . . . , E n } departiesmesurablesdisjointesdeux`adeuxde E , dont l’union est E . De plus, dans ce qui suit, si P est une partition de E , on dira qu’une partition Q est plus fine que P (on notera Q Â P ou P Á Q ) si tout F ∈ Q est un sous-ensemble d’un ensemble E ∈ P . Si P = { E i } et si Q Â P , on notera Q = { F ij } pour indiquer que E i = ∪ j F ij pour tout E i ∈ P . Notons que si P = { E i } est une partition de E alors µ ( E ) = P i µ ( E i ). Soit maintenant f une fonction bornee sur un ensemble E mesurable de mesure finie et soit ´ P = { E i } une partition de E .Ond´efinit,d’unemani`ereanalogueauchapitre1,lesquantit´es: m i = inf { f ( x ); x ∈ E i } , M i = sup { f ( x ); x ∈ E i } , n L ( f, P ) = X m i µ ( E i ) , i =1 n U ( f, P ) = X M i µ ( E i ) . i =1 Notons que si E est un intervalle et si P est une partition en intervalles alors les nombres L ( f, P ) et U ( f, P )ontlamˆemesignificationqu’auchapitre1. Proposition 3.1.1 Si E est un ensemble de mesure finie et si m ≤ f ( x ) ≤ M pour tout x ∈ E et P et Q sont deux partitions de E satisfaisant Q Â P , alors mµ ( E ) ≤ L ( f, P ) ≤ L ( f, Q ) ≤ U ( f, Q ) ≤ U ( f, P ) ≤ M µ ( E ) .

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