The QCD quark propagator in Coulomb gauge and some implications for hadronic physics [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Markus Kloker

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• Publié par: eberhard_karls_universitat_tubingen
• Publié le: 01 janvier 2007
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• Langue: English
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Extrait

The QCD Quark Propagator in Coulomb Gauge and
some Implications for Hadronic Physics
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines Doktors
der Naturwissenschaften
der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik
der Eberhard-Karls-Universit¨at zu Tu¨bingen
vorgelegt von
Markus Kloker
aus Blaubeuren
2007Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 22.06.2007
Dekan: Prof. Dr. Nils Schopohl
1. Berichterstatter: Prof. Dr. Herbert Mu¨ther / Prof. Dr. Reinhard Alkofer
2. Berichterstatter: Prof. Dr. Kurt LangfeldAbstract
We present approximate non-perturbative solutions for the quark propagator in Cou-
lomb gauge of Quantum Chromo Dynamics and explore implications of these findings for
hadronic physics, namely meson and diquark properties and nucleon form factors. For the
latter case we use a Poincar´e-covariant diquark-quark model.
In the limit of a vanishing infrared regulator we solve a system of renormalised, trun-
cated Dyson-Schwinger equations for the quark propagator in two different truncations in
the chiral limit, where we have to sidestep into Euclidean space-time only for the more
involved one. Contrary to previous approaches we employ a MOM scheme for renormali-
sationandinclude alsotransverse gluonsandretardation. We use agluonpropagatorthat
is in accordance with recent lattice calculations and with computations in a Hamiltonian
approach. For the quark-gluon vertex we adopt the rainbow truncation.
We start with solely keeping the instantaneous time-time component of the gluon
propagatorinthegapequation. WithanansatzfortheoccurringcolourCoulombpotential
that reflects confinement and asymptotic freedom we find that two propagator functions
divergefortheinfraredregulatorgoingtozero. Neverthelessinthislimittheirratiodefines
a finite mass function that acquires about a third of the desired value in the infrared. In
the second truncation we include transverse components of the gluon propagator with
retardation and gain no considerable rise in the constituent quark mass. Hence at the
moment we can only perform qualitative calculations of observables in this approach.
Doing so we solve meson and diquark Bethe-Salpeter equations. With vanishing in-
frared regulator we find finite masses for mesons and diverging ones for diquarks, what
explicates confinement, and in both cases finite charge radii.
With this motivation we utilise a Poincar´e-covariant diquark-quark model in order to
compute nucleon form factors. We solve the resulting Faddeev equations to obtain masses
and Faddeev amplitudes for the nucleon and Δ. The amplitudes are a component of a
nucleon-photon vertex that automatically fulfills a Ward-Takahashi identity for on-shell
nucleons. With these elements we compute the quark core contribution to the nucleons
electromagnetic form factors. The incorporation of meson-loop contributions reduces the
errors in the static properties considerably. Since these contributions vanish for higher
momenta we can compare our results with recent data for the ratio of the Sachs form
factors of the proton. We attribute the agreement with the available polarization transfer
data to correlations in the proton’s amplitude.Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit stellen wir n¨aherungsweise L¨osungen fu¨r den Quarkpropaga-
tor in Coulombeichung der Quantenchromodynamik vor und untersuchen Folgen dieser
ErgebnisseimRahmenderHadronphysik. HierwerdenMeson-undDiquark-Eigenschaften
beleuchtet und elektromagnetische Nukleonformfaktoren mit Hilfe eines Poincar´e-kovari-
anten Diquark-Quark Modells berechnet.
Wir l¨osen ein System renormierter Dyson-Schwinger Gleichungen des Quarkpropaga-
torsim Limes eines verschwindenden Infrarotregulatorsin zwei verschiedenen Trunkierun-
gen im chiralen Limes. Dabei mu¨ssen wir nur im komplizierteren Fall im Euklidischen
arbeiten. Im Gegensatz zu fru¨heren Vorgehensweisen verwenden wir ein MOM-Schema
zur Renormierung und beru¨cksichtigen transversale Gluonen mit Retardierung. Der ver-
wendete Gluonpropagator stimmt mit aktuellen Gitterrechnungen und mit Resultaten
im Hamiltonzugang gut u¨berein. Den Quark-Gluon Vertex behandeln wir in Regenbo-
genn¨aherung.
Zuerst verwenden wir ausschließlich die Zeit-Zeit Komponente des Gluonpropagators.
MiteinemAnsatzfu¨rdasCoulomb-Potential, derasymptotischeFreiheitundConfinement
enth¨alt, erhalten wir zwei mit verschwindendem Infrarotregulator divergierende Propaga-
torfunktionen. Das Verh¨altnis dieser Funktionen definiert in demselben Grenzwert aber
eine endliche Massenfunktion, die im Infraroten etwa ein Drittel der Konstituentenquark-
masse annimmt. In der zweiten Trunkierung beru¨cksichtigen wir transversale Komponen-
ten des Gluonpropagators mit Retardierung, was aber zu keiner nennenswerten Erh¨ohung
der berechneten Konstituentenquarkmasse fu¨hrt. Daher ko¨nnen wir in diesem Zugang im
Moment nur qualitative Rechnungen fu¨r Observable durchfu¨hren.
Dies ¨außert sich bei den Bethe-Salpeter Gleichungen fu¨r Diquarks und Mesonen. Bei
verschwindendem Infrarotregulator finden wir endliche Massen fu¨r Mesonen und divergie-
rende fu¨rDiquarks, was deren Confinement aufzeigt. In beiden F¨allen sind die Ladungsra-
dien aber endlich.
Da dieses Ergebnis auf gute Erfolgsaussichten eines Poincar´e-kovarianten Diquark-
Quark Modells bei der Beschreibung von Baryonen hindeutet, berechnen wir mit einem
solchen die elektromagnetischen Nukleonformfaktoren. Wir l¨osen dessen Faddeev-Glei-
chungen und erhalten Massen und Amplituden fu¨r das Nukleon und das Δ. Die Am-
plituden sind Teil eines Nukleon-Photon Vertex, der automatisch eine Ward-Takahashi
Identit¨at fu¨r Nukleonen auf der Massenschale erfu¨llt. Mit diesen Komponenten berech-
nen wir den Beitrag des Quarkkerns zu den Nukleonformfaktoren. Die Beru¨cksichtigung
mesonischer Beitr¨age verringert die Fehler in den statischen Observablen betr¨achtlich. Da
solche Effekte aber fu¨r h¨ohere Impulse verschwinden, k¨onnen wir unsere Ergebnisse mitaktuellen Daten fu¨r das Verh¨altnis der Sachs Formfaktoren des Protons vergleichen. Die
¨Ubereinstimmung mit den Polarisationstransferdaten schreiben wir Korrelationen in den
Protonamplituden zu.Contents
1 Prologue 1
2 Chiral Symmetry Breaking in QCD 5
2.1 Chiral symmetry of the QCD Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Constituent and current quark mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 The pion as a Goldstone boson and PCAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Remarks on QCD in Coulomb Gauge 15
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Coulomb gauge and renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Approaches in Coulomb gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Quantisation of Maxwell theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Canonical quantisation of Maxwell theory . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Path integral quantisation of Maxwell theory in
Coulomb gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Quantisation of Yang-Mills theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 The confinement scenario of Gribov and Zwanziger . . . . . . . . . . . . . 28
3.6.1 Ambiguities in Coulomb gauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6.2 Coulomb confinement as a necessary confinement condition . . . . . 30
3.6.3 Quark-antiquark potentials and signals for confinement . . . . . . . 32
3.6.4 Confinement in Coulomb gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 The Quark Dyson-Schwinger Equation 35
4.1 From the QCD action to the gap equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 The gap equation in Coulomb gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Considerations without transverse gluons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Adding transverse gluons and retardation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii Contents
4.6 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Meson Observables, Diquark Confinement and Radii 48
6 Nucleon Form Factors in a Covariant Diquark-Quark model 54
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Two-quark correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Covariant Faddeev equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.1 Ansa¨tze for the nucleon and Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.2 Propagators and diquark amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.3 Solving the Faddeev equation and choices for nucleon and Δ masses 66
6.4 Electromagnetic current operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4.1 Coupling to the quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.2 Coupling to the diquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.3 Coupling to the exchanged quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4.4 Scalar↔ axialvector transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4.5 Seagull contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .