Traite d'algebre

Joseph Bertrand

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Extrait

TRAITÉ
D'ALGÈBREDU MÊME AUTEUR:OUVRAGES
Bertrand (Joseph), membre de rinslitut : Traité d'Algèbre;
M. Bertrandnouvelle édition, revue par J. et M. Garcet,
de mathématiques Napoléonprofesseur au Lycée :
1'* partie, à l'usage des classes de mathématiques élémentaires.
1 volume in-8 fr.5
2* partie, l'usage des clnsses spéciales.à de
volume in-8 5 fr.1
(Joseph), membre de l'Institut : Traité d'Arith-Bertrand
métique avec des exercices à l'usage des classes de mathé-
4"matiques élémentaires; édition. 1 volume in-8. 4 l'r.
Autorisé par le Conseil de l'instruction publique.
Imprimerie générale de Ch. Lahare, rue de Fleurus, 9, à Paris.TRAITÉ
D ALGÈBRE
PAR
JOSEPH BERTRAND
MEMBBE DB l.'lMSTITUT (ACADEMIE DES SCIE.SCE^)
TBOFESSEUR A L'ÉcolB POLYTECHSIQVE ET AU COLLÈGE DT. 'tlKlCS
DEUXIEME PARTIE
à l'usage des classes de mathématiques spéciales
NOUVELLE EDITION
MISE EN HARMOME AVEC LES DERNIERS PROGRAMMES OFFICIELS
PAR JOSEPH BERTRAND
ET
PAR HENRI GARCET
Ancien élève de l'IÀole normale
Professeur de mathéinuliques au lycée Napoléon
PARIS
LIBRAIRIE HACHETTE ET G''^
BOULEVARD SAINT-GERMAIN 79,
1870•'% • LIVKE I.^ /t;.- '
en donnant à n les valeurs successives 0, 1, 2,....,celle n, et, y(Jç
obtient lés divers termes.Jon
la somme algébrique des npremierstermesOn désigne par Sn
de sorte que Ton a :de la série ;
CONVERGENTES OU DIVERGENTES. On ditqu'uue séric5. SÉRIES
une limite finieconvergente, lorsqu'il existe dont la sommeest
indéfiniment, à mesure que n croît indéfiniment.s'approcheSn
elle tend, selimite S, vers laquelle nomme la somme de laLa
série.
contraire, la somme S„ ne tend pas vers une limite fixe,Si, au
sérieest dite divergente. Une divergente ne représentela série
d'aucun usage en analyse.rien, et ne peut être
progression par quoUent4. Exemple. Une est une série con-
sa raison est moindre que l'unité.vergente, lorsque On a vu
effet, qu'en supposant moindre que la(I, 570), en q 1, somme
is'approche indéfiniment de la limite déterminée .
géométrique indéfinie,Une progression dont la raison sur-
l'unité, est divergente. Car la somme depasse ses termes croît
indéfiniment avec leur nombre.
iî. Remarque. Pour qu'une série soit convergente, il faut qu'à
éloigné,partir d'un terme suffisamment le terme un tende vers zéro^
augmente indéfiniment. En effet, siquand n une série est conver-
gente et a pour limite S, on peut prendre n assez grand, pour
que les sommes S„, S„+2 diffèrent de S aussi peu que l'onSn+i,
—voudra. Les différences — sont alorsS„+i S„, Sn+2 S„.h, aussi
peUles qu'on le veut. Or S„+i— = u^, — = DoncS„ Sn+a Sn+i 'i/n+i.
termes w„, tendent vers zéro.les i/„+i
Mais cette condition nécessaire n'est pas Pour lesuffisante. prou-
ver, nous allons faire voir que la série, dite harmonique,j
COMPLÉMENT DES ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE. 3
diminuent indéfiniment, est cependant diver-dont les termes
gente. Et, en effet, si l'on groupe les termes de la manière sui-
vante :
on reconnaît que chaque partie, renfermée entre parenthèses,
l
est plus grande que - , car la dernière, par exemple, contient
2
—supérieurs au moins à Orn termes^ tous ou égaux . la série se
compose d'une infinité de groupes semblables il est donc évi-;
dent que la somme peut dépasser toute hmite assignée.
6. Caractère général des séries convergentes. Le caractère
d'une série convergente consiste dans la condition suivante.
Pour qu'une série soit convergente, il et il qu onpuissefaut suffit
prendre dans la série un nombre n de termes assez grand à partir
pourdu premier que la somme des suivantspj ^
[a] U„ W„+2+Un+i+ + «„+p-l,+
soit, quelque grand que soit inférieure, en valeur absolue, à unep,
quantité donnée, si petite qu'elle soit, et tende vers zéro, quand n
croit indéfiniment,
La condition est nécessaire : car, si la série est convergente,
on peut donner à nune valeur assez grande, pour que, quel que
lessoitp, deux sommes et diffèrent de leur limite com-Sn Sn+p
mune S aussi peu qu'on voudra : leur différence, c'est-à-dire(5)
la somme [a], est donc, pour cette valeur de n, inférieure, en
valeur absolue, à un nombre donné, si petit qu'il soit et elle;
tend vers zéro, quand ?i croît indéfiniment.
La condition est suffisante car, si elle remplie, on peut
: est
choisir pour n une valeur déterminée n' assez grande, pour que
la somme.
««'Un' U„'+2[6] Un'+L ++ + +p»+LIVRE I.6
arbitrai-Si l est plus grand que Vunité, on peut encore choisir
1 et un nombre déterminé k; et le rapport, serement, entre /,
rapprochant indéfiniment de finira par devenir constamment/,
La série est doncplus grand que /v, qui est supérieur à l'unité.
divergente.
Si 1=1, il a doute; et le théorème I est insuffisant, pourper-y
de lamettre de prononcer sur la convergence ou la divergence
-^^^série. Cependant, si le rapport par être toujours au-finit
l'n
de sa limite la série est divergente;dessus 1, car alors les termes
finissent par aller toujours en croissant; et, comme ils sont tous
leur sommepositifs, peut devenir plus grande que toute quan-
donnée.tité
10. Limite de l'erreur commise. La démonstration du théo-
rème I fait connaître une limite de l'erreur que l'on commet,
l'on s'arrête, dans la sommationlorsque d'une série conver-
gente, à un terme d'un certain ordre. Supposons, en effet, qu'à
partir du terme w„ le rapport d'un terme au précédent soit
constamment plus petit qu'un nombre k intérieur à l'unité; les
termes Ui+ty it,+3,... seront respectivement moindresVi+i, (8)
ku{, /c'w,-,k%, etque ... ; par suite, lasomme des termes que l'on
néglige, quand on s'arrête à sera moindrew,_i, que w,-|-/m<
-\-k*Ui-\- %+,,., ou que Ainsi, en désignant par ej-_^,.
l'erreur commise, on a :
'^l-/i;-
il. Exemples. 1* Soit la série :
^
[2] '772"^ Ï7273"^ '+Y+ 1. 2. 3. 4 l.2.3....n
rapportduLe Oi-f-l)"«termeau précédent est-; sa limite est
il/
zéro, quand n croît indéfiniment. La série est donc conver-
gente.
Si l'on s'arrête au terme r, le rapport de l'un quel--pv-