Uncertainty principles on Riemannian manifolds [Elektronische Ressource] / Wolfgang Erb

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2010
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Extrait

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Uncertainty Principles on Riemannian
Manifolds
Wolfgang ErbTechnische Universität München
Zentrum Mathematik
Uncertainty Principles on Riemannian
Manifolds
Wolfgang Erb
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität
München zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzende: Univ.-Prof. Dr. S. Rolles
Prüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. R. Lasser
2. Univ.-Prof. Dr. J. Prestin
Universität zu Lübeck
3. Prof. Dr. J. Levesley
University of Leicester
(Schriftliche Beurteilung)
Die Dissertation wurde am 9.11.2009 bei der Technischen Universität München einge-
reicht und durch die Fakultät für Mathematik am 5.3.2010 angenommen.Abstract
In this thesis, the Heisenberg-Pauli-Weyl uncertainty principle on the real line and the
Breitenberger uncertainty on the unit circle are generalized to Riemannian manifolds.
The proof of these generalized uncertainty principles is based on an operator theoretic
approach involving the commutator of two operators on a Hilbert space. As a momentum
operator, a special differential-difference operator is constructed which plays the role of a
generalized root of the radial part of the Laplace-Beltrami operator. Further, it is shown
that the resulting uncertainty inequalities are sharp. In the final part of the thesis, these
uncertainty principles are used to analyze the space-frequency behavior of polynomial
kernels on compact symmetric spaces and to construct polynomials that are optimally
localized in space with respect to the position variance of the uncertainty principle.Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird die Heisenberg-Pauli-Weyl’sche Unschärferelation und das Unschär-
feprinzip von Breitenberger auf abstrakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemein-
ert. Der Beweis dieses Unschärfeprinzips beruht auf einem operatortheoretischen Ansatz,
in dem der Kommutator von zwei Operatoren auf Hilbertraum verwendet wird.
Als Impulsoperator wird dabei ein spezieller Differential-Differenzenoperator konstruiert,
der sich als verallgemeinerte Wurzel des radialen Teils des Laplace-Beltrami-Operators
herausstellt. Ferner wird gezeigt, dass die resultierenden Ungleichungen scharf sind. Im
letzten Teil der Arbeit werden die abgeleiteten Unschärfeprinzipien dazu benutzt um das
Zeit-Frequenz-Verhalten von polynomiellen Kernen auf kompakten symmetrischen Räu-
men zu analysieren und Polynome zu konstruieren, die bezüglich der Ortsvarianz des
Unschärfeprodukts optimal lokalisiert sind.Nondomandarcilaformulachemondipossaaprirti,
sì qualche storta sillaba e secca come un ramo.
Codesto solo oggi possiamo dirti,
ciò che non siamo, ciò che non vogliamo.
Eugenio Montale, Non chiederci la
parola, Ossi di seppia, 1925Contents
Introduction 1
1. Uncertainty principles - An overview 9
1.1. Uncertainty inequalities in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. The Heisenberg-Pauli-Weyl uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. The Breitenberger uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
21.4. Uncertainty principles for weighted L -spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. The compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. The case with zero boundary condition . . . . . . . . . . 24
1.4.3. The non-compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5. Uncertainty principles for orthogonal expansions . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1. Uncertainty principles for Jacobi expansions . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2.ty for Laguerre . . . . . . . . . . . 32
1.6. Remarks and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Uncertainty principles on Riemannian manifolds 37
22.1. Weighted L -inequalities on a multi-dimensional cylindrical domain . . . 37
2.1.1. Inequalities in the compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2. in the case with zero boundary condition . . 45
2.1.3. in the non-compact case . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Uncertainty principles on compact Riemannian manifolds . . . . . . . . . 52
2 2 d2.2.1. An isomorphism between L (M) and L (Z ,W ) . . . . . . . . 52M,pπ
2.2.2. Uncertainty principles on compact Riemannian manifolds . . . . . 59
2.2.3. The Dunkl and the radial Laplace-Beltrami operator . . . . . . . 65
2.3. Uncertainty principles on compact star-shaped domains . . . . . . . . . . 67
d2.4.ty on manifolds diffeomorphic toR . . . . . . . . . 71
2.5. Asymptotic sharpness of the uncertainty principles on compacta . . . . . 74
2.6. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1. The spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2. The projective spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.3. The flat tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.4. The hyperbolic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.5. One-dimensional closed curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7. Estimates of the uncertainty principles using comparison principles . . . 87
2.8. Remarks and References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90