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Extrait

CALCUL DIFFERENTIEL
ET
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
LICENCE DE MATHEMATIQUES ANNEES 2000-2004
Georges COMTE
Laboratoire J. A. Dieudonne,
UMR CNRS 6621,
Universite de Nice-Sophia Antipolis,
28, avenue de Valrose,
06108 Nice Cedex 2,
e-mail : [e-mail]
bureau : 821I - CALCUL DIFFERENTIEL
Introduction 1
Chapitre 0- Rappels d’algebre multilineaire 4
0.1- Continuite et algebre multilineaire 4
0.2- Notion de graphe 6
Chapitre 1- Applications di erentiables 8
1.1- Insu sance de la derivee suivant un vecteur 8
1.2- Di erentielle en un point et sur un ouvert 10
1.3- Derivees partielles 11
1.4- Di erentielles d’ordres superieurs 12
1.5- Exemples d’applications di erentiables 13
Exercices du Chapitre 1 14
Corrige des exercices du Chapitre 1 15
Chapitre 2- Calculs sur les di erentielles 22
2.1- Theoreme des applications composees 22
2.2- Structure d’espace vectoriel 23
2.3- Applications a valeurs dans un produit, matrice jacobienne 24
2.4- Theoreme de la moyenne 25
k
2.4- TheoremesC 29
Exercices du Chapitre 2 34
Corrige des exercices du Chapitre 2 36
Chapitre 3- Isomorphismes topologiques et di eomorphismes 47
3.1- top d’espaces vectoriels normes 47
3.2- Etude deIsom(E;E) au voisinage de Id 48E
3.3- deIsom(E;F) 49
3.4- Di eomorphismes 50
3.5- Classe de di erentiabilite d’un di eomorphisme 50
Edu Chapitre 3 51
Corrige des exercices du Chapitre 3 51
Chapitre 4- Theoremes limites. Points critiques et extrema 54
4.1- Rappels sur la convergence uniforme 54
4.2- Suites de fonctions di erentiables 55
4.3- Formules de Taylor 59
4.3.1- Formule de Taylor-Young 59
4.3.2- Formule de Taylor avec reste integral 60
4.4- Points critiques et extrema 63
Exercices du Chapitre 4 66
Corrige des exercices du Chapitre 4 68
Chapitre 5- Fonctions implicites. Inversion locale 76
5.1- Di erentielles partielles 76
5.2- Famille de contractions dependant uniformement d’un parametre 77
5.3- Le theoreme de la fonction implicite 79
5.4- La geometrie du theoreme de la fonction implicite 83
5.5- Theoreme d’inversion locale et d’inversion globale 88
5.6- La dimension nie: des preuves sans theoreme du point xe 91
Exercices du Chapitre 5 92
Corriges des exercices du Chapitre 5 93
References 112 II - EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Chapitre 6- Equations di erentielles ordinaires 100
6.1- De nitions generales. Reduction au cas resolu du premier ordre 100
6.2- Solutions maximales 102
6.3- Interpretation geometrique. Champs de vecteurs 103
6.4- Le probleme de Cauchy 104
6.5- Theoreme de Cauchy-Lipschitz : existence et unicite locale pour le probleme de Cauchy 104
6.6- Theoreme de Cauchy-Arzel a : locale pour le probleme de Cauchy 107
6.7- Solutions maximales et feuilletage deU 107
6.8- Retour sur l’equation () 108
Exercices du Chapitre 6 109
Corrige des exercices du Chapitre 6 109
References 112
III - EXAMENS ET PARTIELS
Tests corriges i
Probleme : Geometrie du graphe d’une application di erentiable ii
Enonces annee 2000-2001 iii
es annee 2001-2002 vii
Enonces annee 2002-2003 xi
es annee 2003-2004 xix
Corriges annee 2000-2001 xxvies annee 2001-2002 xxxii
Corriges annee 2002-2003 xxxviies annee xlive
d
I - Calcul Di erentiel
Introduction
Nous commen cons par des rappels sur la notion de derivee, et tout d’abord dans le cas le plus simple des
fonctions a variables et valeurs reelles (le cas des fonctions a variables et valeurs complexes est plus speci quemen t
traite dans le cours de variable complexe.)
De nition (fonction reelle derivable). SoitI un intervalle ouvert de R etf :I ! R une fonction reelle.
f(x) f(a)
On dit que f est derivable en a 2 I ssi le rapport , admet une limite lorsque x tend vers a dans
x a
0Infag. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique; on la note f (a). Il s’agit
0d’un nombre reel. On dit que f (a) est la derivee de f en a. Si f est derivable en tout point a de I, on en
0deduit une fonction I 3a7!f (a)2 R, appelee la fonction derivee de f.
0Remarquons que dire que f est derivable en a equivaut a dire qu’il existe un reel f (a) (qui s’avere ^etre
1 0unique en tant que limite), tel que la fonctionInfag3x7! [f(x) f(a) f (a)(x a)]2 R tende vers
(x a)
00 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore a dire qu’il existe un reel f (a) (qui s’avere ^etre unique) et une
fonction :I ! R qui tend vers 0 lorsquex tend vers a tels que :a
0pour tout x2I : f(x) f(a) f (a)(x a) = (x a) (x) ().a
Dans cette introduction, on se concentre sur l’aspect geometrique de la de nition de la derivabilite: le
20graphe de l’application I 3x7!f(a) +f (a)(x a) est la partie de la droite de R (au-dessus des abscisses
0x 2 I) de pente f (a) et passant par (a;f(a)). Ce que nous apprend l’egalite () sur la geometrie du graphe
de f au voisinage de (a;f(a)) est que la distance representee sur la gure ci-dessous est de l’ordre dex
j(x a) (x)j, et donc tend vers 0 plus vite quejx aj (y). Autrement dit le graphe vient \s’ecraser" sur laa
droite au point (a;f(a)).
f(x) (x)|x =|(x−a) a
f(a)+f’(a)(x−a)
f(a)
a x
|x−a|
(y) Soientu etu deux fonctions de nies sur un intervalleI,a2I et supposons queu ne s’annule pas1 2 2
sur Infag et que limu (x) = limu (x) = 0. On dit alors que u tend vers 0 plus vite que u lorsquex1 2 1 2
x!0 x!0
tennd vers a ssi le rapport u =u tend vers 0 en a.1 2D
d
G
2 Introduction
Considerons maintenant le cas un peu plus general des fonctions a variables dans le corps K = R (ou C) et
a valeurs dans un espace vectoriel norme quelconque (F;k k) (et de dimension quelconque) sur le corps K(= R
ou C). Soit
un ouvert de K (ie par exemple un intervalle ouvert si K = R, ou un disque ouvert si K = C) et
a2 . La de nition ci-dessus de la derivee d’une application reelle est transposable a la lettre dans ce nouveau
contexte, puisque l’on dispose bien de la notion de limite dans l’espace normeF.
De nition. On dit que l’application f :
! F est derivable en a ssi la fonction
nfag 3 a !
1 0~(f(x) f(a)) 2 F admet une limite en a dans F (necessairement unique et notee f (a)), ou de fa con
x a
0~equivalente ssi il existe un vecteur f (a)2F et une application p :
!F de limite nulle en a, tels que :a
0~8x2 ; f(x) f(a) = (x a):f (a) +jx aj:p (x): ()a
Notons que la phrase () generalise la phrase (), et que si () est veri ee, le membre de droite de l’egalite
tend vers 0 lorsquex tend versa dans K. On en deduit quef(x) tend versf(a) dansF lorsquex tend versaF
dans K. Autrement dit, si f est derivable en a, f est continue en a.
L’interpretation geometrique de () ressemble a celle de (). Dans l’espace vectoriel KF, norme (par
exemple) par k k = maxfj j ;k k g, la courbe qui represente le graphe de f vient s’ecraser sur la droiteKF K F
20~passant par (a;f(a)) et dirigee par (1 ;f (a)) (cf la gure ci-dessous ou F = R ).K
{0}xF
{x}xF
x
(a,f(a))
(a,0 ) Kx{0 } FF (x,0 )
F
|x−a|
Remarque. Dans cette de nition, la norme de F intervient (la notion de limite depend a priori de la
norme choisie sur F), la notion de derivabilite et de derivee en un point depend donc a priori de la norme que
X l’on se donne sur F. Mais on verra (Theoreme 0:5) que lorsque F est de dimension nie, la derivabilite et la
derivee de f en un point sont independantes de la norme choisie.
La de nition de la derivabilite () n’a plus de sens des que f est de nie sur E, un espace
0~vectoriel qui n’est pas le corps des scalaires, puisque dans ce cas le produit (x a):f (a) n’a plus de sens !
Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de \derivee", pour les applications a variables dans un
0~espace vectoriel normeE de dimension> 1. Pour cela, on remarquera que l’application L : K3x7!x:f (a)2F
est lineaire, sur ce modele on remplacera donc dans le cas general la de nition () par : \ il existe une application
lineaire L :E!F, une application p :
!F qui tend vers 0 lorsque sa variable tend vers 0 , telles que :a a F E
8x2
;f(x) f(a) = L (x a) +kx ak :p (x a):"a E aIntroduction 3
Cependant, lorsque la dimension de E est in nie, il se peut qu’une telle application lineaire L ne soit pasa
continue en 0 , et donc que cette notion de derivabilite n’implique pas m^eme la continuite de f en a. OnE
reclamera alors, dans la de nition ci-dessus, a n qu’elle soit plus forte que la continuite de f en a, que
l’application lineaire L soit continue.a4 Chapitre 0- Rappels d’algebre multilineaire et notion de graphe.
Chapitre 0- Rappels d’algebre multilineaire et notion de graphe.
0.1- Continuite et algebre multilineaire.
On s’interesse ici aux applications multilineaires et a leur continuite eventuelle.
De nition (continuite dans les evn). Soient (E;k k ) et (F;k k ) deux evn,
un ouvert de E, a2
E F
et f :
!F une application. On dit que f est continue en a ssi :
8> 0; 9 ; tel que8x veri an tkx ak ; on ait : kf(a) f(x)k : () E F
Clairement, la de nition ci-dessus montre que la notion de continuite en un point depend des normes que
l’on se donne sur E et F.
De nition (applications multilineaires). SoientE ;:::;E etF des espaces vectoriels normes sur K(= R1 n
ou C). On dit qu’une application L : E :::E ! F est n-lineaire ssi L est lineaire sur chaque facteur,1 n
c’est- a-dire ssi pour tout j2f1;:::