Cours 5x

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METHODOLOGIE STATISTIQUEMounir MesbahCOURS 5Mardi 2 Novembre 2010METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 5              Mardi 2 Novembre 2010Intervalle de confianceValeur théorique                                             Observations(ou vraie)   Prédiction :Intervalle de fluctuationPopulation                                                       EchantillonEstimation :Intervalle de confiancepopulation échantillonType Paramètre valeur théorique estimationPosition Pourcentage P p0Position Moyenne μ mDispersion Variance σ² s²Association Odds‐Ratio ORψAssociation Corrélation ρ rPage : 21METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 5              Mardi 2 Novembre 2010Test statistiquePopulationÉchantillonHypothèse Loi empiriqueEstimation(Loi théoriqueParamètre)Test = décision : rejeter Hypothèse ? Les étapes d’un test statistique1. Formuler la question posée et l’hypothèse testée (Ho)2. Concerne les paramètres théoriques (en population)2.     Déterminer ce que devraient être les observations  (loi ?)si Ho est vraie : fluctuation des paramètres empiriques3. Confronter les observations aux valeurs attendues : valeurs observée des paramètres empiriques et leur intervalle de fluctuation sous Ho4.     Choisir la règle de décision, en fonction du risque α.  Degré de signification.Page : 3METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 5              Mardi 2 Novembre 2010Règle de décision  et risques d’erreurObservations•zz ≥ •zz < osos• Rejet de H • Non rejet de H0 ...

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE Mounir   Mesbah

COURS  5

Mardi  2  Novembre  2010

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Intervalle   de   confiance Valeur   théorique                                               Observations (ou   vraie)    

                                                   

population échantillon Type Paramètre valeur   théorique estimation Position Pourcentage P p 0 Position Moyenne μ m Dispersion Variance σ ² s² Association Odds ‐ Ratio ψ OR Association Corrélation ρ r

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010

Règle  de  décision   et  risques  derreur

• z  ≥  z  • z  <  z   o s o s • Rejet de H 0 • Non rejet de H 0 • H 0 est vrai α 1 ‐ α • H 1 est vrai 1 ‐ β β

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010

Degré  de  signification

Degré  de  signification  :  p  =  P(|Z| ≥ |z o |)

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010

Formulation  de  lhypothèse  alternative  H 1    P   =   Proportion   théorique   dans   lensemble   de   la   population.    ues on   :    =   0

  Hypothèse  nulle  :  H o :  P  =  P 0 (=  P Ho )    Hypothèse   alternative   (H 1 )   :   nouvelle   hypothèse   pour   décrire   la   réalité   si   H o est   fausse.   Notons μ 1 (=   P H1 )   ,   la   proportion   théorique   sous   cette   hypothèse.  

          

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Paramètre Intitulé   du   test Hypothèse   Nulle   H 0 Distribution   du Test Pourcentage P Comparaison   dun   pourcentage   observé   à   une   valeur   de   P=P 0 Normale   Z    eq Khi- référence Deux χ ²(1)   ou   table   binomiale Pourcentage P Comparaison   de   deux   pourcentages   observés P 1 =P 2 Normale   Z   eq Khi-Deux χ ²(1)   Moyenne μ Comparaison   dune   moyenne   observée   à   une   valeur   de   μ =   μ 0 Normale   Z   ou   Student T Moyenne μ Comparaison   de deux   moyennes   observées μ 1   =   μ 2 Normale   Z   ou   Student T Variance σ ² Comparaison   dune   Variance   observée   à   une   valeur   de   σ ² = σ ² 0 Khi ‐ Deux   :   χ ²(C ‐ 1) référence Variance σ ² Comparaison   de deux   variances   observées σ ² 1 = σ ² 2 Fisher F(n 1 ‐ 1)(n 2 ‐ 1) Odds ‐ Ratio ψ Indépendance   entre   deux   caractères   dichotomiques   ψ =   1 Normale Z Corrélation ρ Corrélation ρ =   1 Student Pourcentage P Comparaison   de   plusieurs   pourcentages   observés P 1 =P 2   =    =P C ‐ 1 =P C Khi-Deux χ ²(C ‐ 1) Pourcentage P Indépendance   entre   deux   variables   qualitatives   à   C   et   L   P 11 =P 21   =    =P C ‐ 1,1 =P C1 Khi-Deux modalités   chacune P 12 =P 22   =    =P C ‐ 1,2 =P C2 . χ ²   (C ‐ 1)(L ‐ 1) . . P 1L =P 2L    =P C ‐ 1,L =P CL = Moyenne μ Comparaison   de plusieurs   moyennes   observées μ 1 =   μ 2 =   .   .   .=   μ k ‐ 1 =   μ k F,isher :   ANOVA   Page   :   7

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Paramètre Intitulé   du   test Hypothèse   Nulle   H 0 Distribution   du Test Pourcentage P Comparaison   dun   pourcentage   observé   à   une   P   =P 0 Normale   Z   ou   Khi- valeur   de   référence Deux χ ²(1)  

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Comparaison   dun   pourcentage   à   une   valeur   théorique Test   du   χ 2 Hypothèse   nulle   Ho   :   P   =   P Ho Hypothèse   alternative   H 1 :   P ≠ P Ho M+ M ‐ Effectifs   observées O 1 O 2 Effectifs   calculés C 1 =   nP Ho C 2 =   n(1 ‐ P Ho ) Si   H o est   vraie   et   si   n   est   assez   grand   *:   χ o 2 = (O 1 C − C 1 ) 2 + (O 2 C − C 2 ) 2 Suit   une   loi   du   Khi ‐ deux   à   1   ddl ,   notée   ²(1).   Doù   le   test   de   niveau   α =   5%

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Comparaison   dun   pourcentage   à   une   valeur   théorique Les   tests   Z   et   du   χ 2    sont   identiques: M+ M ‐ Total   Effectifs   calculés C 1 =   nP Ho C 2 =   n(1 ‐ P Ho ) n

Mêmes   Conditions  d »utilisation  :   C 5 et C 2  5 H H 1 Mê ≥ mes   limites   ≥ de   sign ⇔ ific   a n ti P on O :   ≥ 5 et nQ 0   ≥ 5 Prob ( χ 2 o   ≥ a) = Prob ( Z ≥  a ) Par exemple Prob ( χ 2 o   ≥ 3, 84 ) = Prob ( Z ≥ 3,84 = 1,96) Page   :   10

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Exemple Parmi   400   habitants   représentatifs   dune   région,   92   (23%)   consomment   des   antidépresseurs Ce   pourcentage   diffère ‐ t ‐ il   de   la   valeur   20%   donnée   par   les   chiffres   de   vente   nationaux   ? o :    =   ,     1 :  ≠ , Consommation   dantidépresseurs Oui Non Total Effectifs   observées 92 308 400 Effectifs   calculés 400×0,20   =   80 400×0,80 =   320 400 Effectifs   calculés ≥ 5         conditions   dapplication   satisfaites. 2 = (92 − 80) 2 (308 − 320) 2   χ o    80  +  320  = 2,25 < 3,84 ⇒ on ne rejette pas H O   Conclusion   :

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Paramètre Intitulé   du   test Hypothèse   Nulle   H 0 Distribution   du Test Pourcentage P Comparaison   de   deux   pourcentages P 1   =   P 2 Normale   Z   ou   Khi- Deux χ ²(1)  

P 1 Population      Proportion   théorique P 2

E P 02 2

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Comparaison   de   deux   pourcentages Test   du   χ 2 Hypothèse   nulle   Ho   :   P 1 =   P 2 Hypothèse   alternative   H 1 :   P 1 ≠ P 2 M+ M ‐ Pourcentage   observés E 1 O 11 O 12 n 1 p =  O 1 1 1     E 2 O 21 O 22 n 2 = O n 1 21 p 2     m 1 m 2 n 2 Si   H o est   vraie,   P 1 =   P 2 =   P   (en   population,   pourcentages   vrais)   Tout   se   passe   comme   si   E 1 et   E 2 étaient   tirés   de   la   même   population. La   meilleure   estimation   de   P   est   obtenue   en   re rou ant   E et   E .    m p = 1   n  × C 11 = n 1 × p = n 1 × m 1 = n 1 m 1 n n

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Comparaison   de   deux   pourcentages   :   Test   du   χ 2 Calcul   des   effectifs   sous   lhypothèse   nulle M+ M ‐ 1 11 1 C 1 E 2 O 21 O 22 n 2 21 22 1 m 2

Total   général

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Comparaison   de   deux   pourcentages   :Test   du   χ 2 Calcul   de   la   statistique   du   Khi ‐ Deux M+ M ‐ 1 1 11 (C ) 12 (C 12 ) 1 p 1 = 1   11 n 1 E 2 O 21 O 22 n 2 p =  O 2 1 2     n 2 (C 21 ) (C 22 ) m 1 m 2 Si   H 0 est   vraie,    et   si   la   taille   des   échantillons   est   assez   grande

n × m a v e c C ij = i n j  ; c o n d itio n d 'a p p lic a tio n : C ij   ≥ 5 .

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Exemple Hypothèse   nulle   H o :   P 1 =   P 2 Hypothèse   alternative   H 1 :   P 1 ≠ P 2 P 1 =   pourcentage   vrai   dhypotrophie   dans   la   population   des   fumeuses P 2 =   pourcentage   vrai   dhypotrophie   dans   la   population   des   non   fumeuses Consommation   de   tabac      Oui Non Hypotrophie 45 68 113 p 1  =  7 4 9 5 3  = 5,7% (34,0) (79,0) = 6 8  = 3 7 % Poids   normal 748  (759,0)  1778  (1767,0)  2526 p 2  1 8 4 8  , 793 1846 2 = (45 − 34) 2 (68 − 79) 2 (748 − 759) 2 (1778 − 1767) 2 + +         χ o 34 79 + 759 1767 =   (1 3 1 4 ) 2 + ( − 7 1 9 1) 2 + ( − 7 1 5 1 9 ) 2  +  ( 1 1 7 1 6 ) 2 7 = 5, 37 ≥ 3,84 ⇒ le test est significatif. ⇒ rejet de H O P 1 et P 2 sont différents (au risque α = 5 %). C o n d itio n d 'a p p lic a tio n : C i j   ≥ 5 s a tis fa ite . Page   :   16

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Degré   de   signification   p : = Prob ( χ o2   ≥ 5,37) 0,01   <   p     0,   025 <

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010

Conclusions 1.   Jugement   de   signification    Il   y   a   une   relation   entre   la consommation   de   tabac   pendant   la    grossesse   et   lhypotrophie   du   nouveau ‐ né.    On   observe   que   la   relation   est   dans   le   sens   :   plus   dhypotrophiques   parmi   les   fumeuses. 2.   Jugement   de   causalité On   ne   démontre   pas   de   lien   causal   entre   tabac   et   hypotrophie.

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Autre  expression  du  χ 2 à  1  ddl : M+ M ‐ 1 1   χ o2 =   ∑ - C E 2 c d n 2 m 1 m 2 En   réduisant   au   même   dénominateur   les   4   termes   de   la   somme,   on   obtient   : ad-bc ²n =   o   n 1 n 2 m 1 m 2    Expression   plus   simple   à   calculer    mais,   ne   pas   oublier   de   vérifier   que   tous   les   C i sont ≥ 5

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  5               Mardi  2  Novembre  2010 Petits   échantillons Un   (au   moins)   des   C ij est   inférieur   à   5   et   tous   les   C ij sont   supérieurs   ou   égaux   à   3 M+ M ‐ 1 1 E 2 c d n 2 m 1 m 2 Correction   de   Yates   : ( O-C -0,5)² 2 =    C qui   suit   une   loi   de   χ 2 à   1   ddl (si   Ho   est   vraie) Conditions   dapplication   :   C ij ≥ 3

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