cours-Alg-L3-2009

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LICENCE DE MATHÉMATIQUESTROISIÈME ANNÉEUnité d’enseignement LCMA 5U12ALGÈBREFrançoise GEANDIERUniversité Henri Poincaré Nancy IDépartement de Mathématiques.Table des matièresI Anneaux 11. Anneaux.2. Sous-anneaux.3. Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre.4. Homomorphismes.5. Idéaux.6. Polynômes à coefficients dans un anneau.7. Anneaux-quotients.II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels 171. Anneaux euclidiens.2. Anneaux principaux.3. Anneaux factoriels.4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes.5. Polynômes irréductibles deZ[X].III Groupes 311. Groupes.2. Homomorphismes.3. Sous-groupes.4. Relations d’équivalence dans les groupes.5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients.6. Groupes-quotients de (Z,+).7. Groupes isomorphes.8. Groupe symétrique.IV Groupes commutatifs finis 571. Somme directe de groupes.2. p-groupes.3. Groupes p-élémentaires.4. Théorèmes de décomposition.V Extensions de corps 711. Extensions algébriques.2. Corps de rupture d’un polynôme.3. Corps algébriquement clos - clôture algébrique.4. Corps finis.5. Théorème de Wedderburn.I ANNEAUX1. Anneaux1.1 DéfinitionOn appelle anneau un ensemble non vide A muni de deux lois ...

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LICENCE DE MATHÉMATIQUES TROISIÈME ANNÉE

Unité d’enseignement LCMA 5U12

ALGÈBRE

Françoise GEANDIER

Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

.

Table

des

matières

I Anneaux                                                                    

1. Anneaux.

2. Sous-anneaux.

3. Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre.

4. Homomorphismes.

5. Idéaux.

6. Polynômes à coefficients dans un anneau.

7. Anneaux-quotients.

II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels                             

1. Anneaux euclidiens.

2. Anneaux principaux.

3. Anneaux factoriels.

4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes.

5. Polynômes irréductibles deZ[X].

III Groupes                                                                 

1. Groupes.

2. Homomorphismes.

3. Sous-groupes.

4. Relations d’équivalence dans les groupes.

5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients.

6. Groupes-quotients de(Z,+).

7. Groupes isomorphes.

8. Groupe symétrique.

1

17

31

IV Groupes commutatifs finis                                           

1. Somme directe de groupes.

2. p-groupes.

3. Groupes p-élémentaires.

4. Théorèmes de décomposition.

V Extensions de corps                                                     

1. Extensions algébriques.

2. Corps de rupture d’un polynôme.

3. Corps algébriquement clos - clôture algébrique.

4. Corps finis.

5. Théorème de Wedderburn.

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I ANNEAUX

1. Anneaux 1.1 Définition On appelle anneau un ensemble non videAmuni de deux lois internes+etappelées addition et multiplication, vérifiant les conditions suivantes : a)∀x, y, z∈ A ∗x+y=y+x: commutativité de l’addition ; ∗(x+y) +z=x+ (y+z) ;: associativité de l’addition ∗il existe un élément neutre pour l’addition noté0 A :∀x∈ A,0 A +x=x+ 0 A =x; ∗tout élémentx∈ Aadmet un opposé noté−xappartenant àAtel que

x+ (−x) = (−x) +x= 0 A 

Et aussi b)∀x, y, z∈ A ∗(xy)z=x(yz): associativité de la multiplication ; ∗(x+y)z=xz+yzetz(x+y) =zx+zy: distributivité (à gauche et à droite) de la multiplication par rapport à l’addition ; ∗il existe un élément neutre pour la multiplication noté1 A :∀x∈ A,1 A x=x1 A =x Si de plus la multiplication est commutative, on dit queAest un anneau commutatif.

1.2 Exemples ∗Z,Q,R,Csont des anneaux commutatifs. ∗Nn’est pas un anneau. ∗Z[i] :={a+ib a, b∈Z}: on l’appelle l’anneau des entiersest un anneau commutatif de Gauss.

∗Pour toutn≥1, l’ensembleZnZest un anneau commutatif. ∗L’ensembleM n (R)des matrices réelles carrées d’ordrenest un anneau non commutatif.

1.3 Propriétés a) Pour toutx∈ A, l’opposé−xest unique ; b) un anneauAest régulier pour l’addition :

∀x, y, z∈ A, x+z=y+z=⇒x=y;

c)∀x∈ A,0 A x= 0 A : on dit que0 A  ;est absorbant d)∀x, y∈ A,−x= (−1 A )x=x(−1 A )et−(xy) = (−x)y=x(−y); e)∀x∈ A,∀n∈N, on note

nfois } { nx=x+x+  +x

1

et

nfois x n =xx }   x {

sin∈Z − , on pose

nx=−(−n)x;

f) si l’anneauAestcommutatifdite du binôme de Newton :, on a la formule

n ∀x, y∈ A,(x+y) n = X C k n x k y n−k k=0

cette propriété est fausse si l’anneau n’est pas commutatif ; en effet, déjà pourn= 2, on a(x+y) 2 =x 2 +xy+yx+y 2 .

Preuve: immédiate.

1.4 Définitions



a) SoitAun anneau commutatif et soientaetbdeux éléments deA: on dit queaest multiple debou quebdiviseas’il existe un élémentcdeAtel quea=bc. On note alors b|a.

b) SoitAun anneau non nécessairement commutatif. On dit qu’un élément non nulade Aest un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) s’il existe un élément non nulbdeA tel queab= 0(resp.ba= 0).

Exemple :M n (R)possède des diviseurs de zéro, en effet  00 01   10 00  =  0 00 0 

c) Un élémentadeAest dit inversible dansAs’il existe un élémentbdeAtel que ab=ba= 1 A . Cet élémentbest alors unique et est appelé inverse dea; on le note a −1 . Evidemment,a −1 est lui-même inversible, d’inversea. On noteraA ∗ l’ensemble des éléments inversibles deA. Remarquons qu’un élément inversible deAest nécessairement non nul.

Exemples : ∗Z ∗ ={1,1}. − ∗R ∗ =R− {0}. ∗(ZnZ) ∗ ={¯apgcd(a, n) = 1}. ∗(M n (R)) ∗ est l’ensemble des matrices de déterminant non nul. ∗(Z[i]) ∗ ={1,−1, i,−i}.

Remarque :On a coutume de noterN ∗ =N\ {0}; cette notation n’est pas contradictoire avec la notation vue précédemment pour l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau puisqueNn’est pas un anneau.

1.5 Définition On appelle corps un anneau dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Exemples :Q,R,C ;sont des corps commutatifsZnZest un corps commutatif si et seulement sinest premier.

2

1.6 Définition

On dit qu’un anneauAest intègre s’il ne possède pas de diviseurs de zéro,i.e.

∀x, y∈ A, xy= 0 A =⇒x= 0 A ouy= 0 A 

Exemples : ∗ ; la réciproque est fausse :Tout corps est intègreZest intègre sans être un corps. ∗M n (R)n’est pas intègre. ∗ZnZest intègre si et seulement sinest premier.

1.7 Proposition

SoitA alors ;un anneau intègreAest régulier pour la multiplication,i.e.

Preuve: immédiate.

2. Sous-anneaux

2.1 Définition

∀x, y, z∈ A,

xy=xzetxnon nul

=⇒y=z



SoitAun anneau etBune partie non vide deA. On dit queBest un sous-anneau deAsi Bmuni de l’addition et de la multiplication deAest lui-même un anneau et si1 B = 1 A .

2.2 Proposition

SoitAun anneau et soitBun sous-anneau deA. Alors, on a

a) l’addition et la multiplication sont internes àB;

b)0 B = 0 A ; c) pour toutx∈ A, l’opposé dexconsidéré comme élément de l’anneauBest le même que l’opposé dexconsidéré comme élément de l’anneauA;

d) siAest commutatif, alorsBl’est aussi. SiAest intègre, alorsBl’est aussi.

Preuve: immédiate.



Remarque :un sous-anneauBd’un anneauApeut être commutatif intègre sans queA le soit. Ainsi l’ensembleB={ λλI ∈R}des matrices d’homothéties dansM n (R)est un sous-anneau commutatif et intègre deM n (R)alors queM n (R)n’est ni commutatif ni intègre.

2.3 Proposition

SoitBune partie d’un anneauA. AlorsBest un sous-anneau deAsi et seulement si il vérifie les conditions suivantes :

3

a)1 A ∈ B; b)∀x, y∈ B, x−y∈ Betxy∈ B.

Preuve:

SoitBun sous-anneau deA, alors l’addition et la multiplication sont internes àB. De plus, pour touty∈ B,−y∈ Bd’après 2.2, donc∀x, y∈ B, x−y=x+ (−y)∈ Betxy∈ B. En outre,1 B = 1 A donc1 A ∈ B. Réciproquement, soitBune partie deAvérifiant les conditions a) et b). Alors, en parti- culierBest non vide. De plus, d’après b) on a0 A = 1 A −1 A ∈ B, d’où pour toutx∈ B, −x= 0 A −x∈ B. On en déduit que∀x, y∈ B, x+y=x−(−y)∈ Bet ainsi l’addition est interne àB. De plus, l’addition étant commutative et associative dansAl’est aussi dansB. D’autre part, la multiplication est elle aussi interne àBgrâce à b), elle est associative et distributive par rapport à l’addition dansB, puisqu’elle l’est dansA, et elle admet un élément neutre dansB, à savoir1 A . DoncBest bien un sous-anneau deA.

2.4 Exemples



∗Zest un sous-anneau deQqui est lui-même un sous-anneau deR, qui est lui-même un sous-anneau deC.

∗Sinest un entier différent de1et−1,nZn’est pas un sous-anneau deZ(16∈nZ). ∗Z[i]etZ[i2]sont des sous-anneaux deC.

3 Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre

3.1 Définition et proposition

On considère sur un ensembleEune relation binaireR(i.e.entre deux éléments deE). On dit queRest une relation d’équivalence surEsi elle vérifie les trois conditions suivantes

a)Rest réflexive :∀x∈E, xRx;

b)Rest symétrique :∀x, y∈E, xRy⇐⇒yRx;

c)Rest transitive :∀x, y, z∈E, xRyetyRz=⇒xRz.

SoitEun ensemble muni d’une relation d’équivalenceR;

a) Soitx∈E; on appelle classe d’équivalence dexpour la relationRet on notexle sous-ensemble deEdéfini par

x={y∈E yRx}

Tout élément dexest appelé un représentant de la classe d’équivalencex. On appelle système de représentants de la relation d’équivalenceRtoute famille(x i ) i∈I d’éléments deEvérifiant :

∗ ∀x∈E,∃i∈I , x∈x i ; ∗ ∀i, j∈ iI ,6=j=⇒x i ∩x j =∅. On a les propriétés suivantes pour tousx, y∈E

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∗x∈x; ∗y∈x⇐⇒yRx⇐⇒x∈y⇐⇒x=y De plus la famille des classes d’équivalence pour la relationRest une partition deE.

b) On appelle ensemble-quotient deEparR, et on note d’équivalence des éléments deEi.e.

ER={x x∈E}

Si(x i ) i∈I est un système de représentants deR, on a en fait

ERl’ensemble des classes

ER={x i  i∈I}et ainsi card(ER) =card(I)

3.2 Théorème et définition SoitA ;un anneau commutatif intègre on définit sur l’ensembleA × A − {0}la relation binaire suivante : (a, b)R(a ′ , b ′ )⇐⇒ab ′ =a ′ b

AlorsRest une relation d’équivalence et on peut munir l’ensemble-quotientA×A−{0}R d’une addition et d’une multiplication définies de la manière suivante : notons(a, b)la classe d’équivalence d’un couple(a, b); Siu= (a, b)etv= (c, d)sont deux éléments deA × A − {0}R, on pose

u+v= (ad+bc, bd)

uv= (ac, bd)

L’ensemble-quotientA × A − {0}Rmuni de ces deux lois est un corps commutatif, appelé corps des fractions de l’anneauA. De plus il existe une injection naturelle deA dansA × A − {0}R:

A֒→ A × A − {0}R

a→−7(a,1)

On peut donc considérerAcomme un sous-anneau de son corps des fractions. On note généralement les éléments du corps des fractions sous la forme(a, b) = a b .

PreuveIl est immédiat de vérifier que la relation: Rest réflexive et symétrique. D’autre part, la relation est transitive parce queAest intègre ; en effet si(a, b)R(a ′ , b ′ )et(a ′ , b ′ )R(a ′′ , b ′′ ) alors,ab ′ =a ′ beta ′ b ′′ =a ′′ b ′ d’oùab ′ b ′′ =a ′ bb ′′ =a ′′ b ′ bdoncab ′′ =a ′′ bd’après 1.7 puisque Aest intègre etb ′ 6= 0. Donc(a, b)R(a ′′ , b ′′ ). AinsiRest une relation d’équivalence. Montrons maintenant que l’addition et la multiplication sont bien définies sur l’ensemble- quotientA × A − {0}Rrésultat ne dépend pas du choix des représentants de, i.e que le uetv: considérons donc un autre représentant(a ′ , b ′ )pouruet un autre représentant (c ′ , d ′ )pourv, alors(a, b)R(a ′ , b ′ )et(c, d)R(c ′ , d ′ )i.eab ′ =a ′ betcd ′ =c ′ d. Montrons que ′ (ad+bc, bd)R(a ′ d ′ +b ′ c ′ , b ′ d ′ ): or on a(a ′ d ′ +b ′ c ′ )bd=a ′ d ′ bd+b ′ c ′ bd=ab ′ dd ′ +cd ′ bb= (ad+bc)b ′ d ′ d’où le résultat. De même on montre que(ac, bd)R(a ′ c ′ , b ′ d ′ ).

Il est alors facile de vérifier que ces deux lois munissentA × A − {0}Rd’une structure d’anneau commutatif : l’élément neutre pour l’addition est(0, b)pour toutb∈ A − {0},

5

l’élément neutre pour la multiplication est(1,1)et l’opposé de(a, b)est(−a, b). Montrons maintenant queA × A − {0}Rest un corps : soit(a, b)un élément deA − {0} × A − {0}, alors il est immédiat de constater que(a, b)possède un inverse dansA × A − {0}R, à savoir(b, a).

3.3 Exemples

a) Le corps des fractions deZn’est autre queQ.



b) Le corps des fractions deR[X]estR(X)justement appelé corps des fractions ration- nelles à coefficients réels.

4. Homomorphismes

4.1 Définition

Soitfune application d’un anneauAdans un anneauB. On dit quefest un homomor- phisme d’anneaux s’il vérifie les conditions suivantes :

a)∀x, y∈ A, f(x+y) =f(x) +f(y)etf(xy) =f(x)f(y);

b)f(1 A ) = 1 B . SiA=B, on dit quefest un endomorphisme d’anneaux. On appelle isomorphisme d’anneaux tout homomorphisme d’anneaux bijectif. On appelle automorphisme d’anneaux tout endomorphisme d’anneaux bijectif.

4.2 Propriétés

Soitfun homomorphisme d’anneaux deAdansB, alors :

a)f(0 A ) = 0 B ; b)∀x∈ A, f(−x) =−f(x);

c) Sixest inversible dansA, alorsf(x)est inversible dansBet(f(x)) −1 =f(x −1 ).

d) Imfest un sous-anneau deB.

Preuve: immédiate.

4.3 Exemples



∗L’application deCdansCqui à un élément associe son conjugué est un automorphisme d’anneaux.

∗L’application deCdansRélément associe son module n’est pas un homomor-qui à un phisme d’anneaux.

∗SoitPune matrice inversible deM n (R); alors l’application deM n (R)dansM n (R)qui à une matriceAassocie la matriceP AP −1 est un automorphisme d’anneaux.

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4.4 Définition et proposition Soitfun homomorphisme d’anneaux deAdansB. On appelle noyau def kerfle sous-ensemble deAdéfini par

kerf={a∈ A f(a) = 0 B }

L’homomorphismefest injectif si et seulement sikerf=

Preuve: immédiate.

{0 A }.

et on note



5. Idéaux 5.1 Définition SoitAun anneau commutatif etIun sous-ensemble deA. On dit queIest un idéal de As’il vérifie les conditions suivantes : a)I 6=∅; b)∀x, y∈ I, x−y∈ I; c)∀x∈ I,∀a∈ A, ax∈ I.

5.2 Propriétés SoitIun idéal deA, alors : a)0 A ∈ I; b)∀x∈ I,−x∈ I; c)∀x, y∈ I, x+y∈ I.

Preuve: immédiate.



5.3 Exemples ∗ {0 A }etAsont des idéaux deA. ∗Pour touta∈ A, l’ensemble des multiples deaest un idéal deA; on le note(a)ouaA:

(a) ={ax x∈ A}

∗Un sous-ensembleIdeZest un idéal si et seulement si il existe un entierntel que I=nZ. ∗Sifest un homomorphisme d’anneaux deAdansB, alorskerfest un idéal deA.

5.4 Définitions et proposition a) SoitAun anneau commutatif et soitEun sous-ensemble non vide deA. On appelle idéal deAengendré parEle plus petit idéal (au sens de l’inclusion) deAcontenantE et on le notehEi. AinsihEi=Isi et seulement siIvérifie les conditions suivantes : ∗ Iest un idéal deAcontenantE;

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