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Chapter 2M´ethodes de Monte CarloR´ef´erences:[F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 2.[R] Rubinstein, Simulation and the Monte Carlo method,[B] Bouleau, Probabilit´es de l’ing´enieur, chap 4.dCadre: Soit g :R →R int´egrable. On veut calculer une valeur approch´ee deZI = g(x)dx.dRCette int´egrale peut par exemple provenir d’un probl`eme concret: en fiabilit´e, calculer la dur´eemoyenne de vie (Mean Time To Failure MTTF) est souvent impossible analytiquement.Hypoth`eses:Z21. g (x)dx < +∞.dR Z2g (x)d2. Il existe une densit´e f surR telle que dx < +∞.d f(x)R3. On sait simuler une variable al´eatoire de densit´e f et on a a` notre disposition une suite(X ) de vaiid de densit´e f.i i∈NButs:ˆ1. Donner une valeur approch´ee I de I en fonction de X ,...,X .n 1 n2. Ecrire l’algorithme.3. Etudier sa convergence et estimer l’erreur.4. Am´eliorer la vitesse et comparer a` d’autres m´ethodes de calcul d’int´egrales.2.1 Loi des grands nombres et estimateurRPour calculer I = g(x)dx, l’id´ee est de l’´ecrire comme l’esp´erance d’une fonction de ladRg(X )ivariable al´eatoire X que l’on sait simuler. On pose pour tout i∈N, Y = . Les variablesi f(X )i15al´eatoires (Y ) sont ind´ependantes et de mˆeme loi; leur esp´erance commune esti i∈N Zg(x)E(Y ) = f(x)dx =I.1d f(x)ROn pense alors au r´esultat suivant:Th´eor`eme 2.1.1 (Loi forte des grands nombres) Soit (Y ) des variables al´eatoiresi i∈N1ind´ependantes identiquement distribu´ees et ...

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Extrait

Chapter

2

M´ethodes

de

Monte

Carlo

Re´f´erences: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 2. [R] Rubinstein, Simulation and the Monte Carlo method, [B]Bouleau,Probabilit´esdel’inge´nieur,chap4.

d Cadre: Soitg:R→RnOevlb.egearni´tevalerunlculutcaedee´hcorpparue Z I=g(x)dx. d R Cetteint´egralepeutparexempleprovenird’unprobl`emeconcret:enfiabilite´,calculerladur´ee moyenne de vie (Mean Time To Failure MTTF) est souvent impossible analytiquement.

Hypothe`ses: Z 2 1.g(x)dx <+∞. d R Z 2 g(x) d 2.Ilexisteunedensite´fsurRtelle quedx <+∞. d f(x) R 3.Onsaitsimulerunevariableal´eatoirededensite´fpoisedtrunontisietiuseea`onotan (X i ) i∈N aiiddedensit´evedf. Buts: ˆ 1.Donnerunevaleurapproche´eI n deIen fonction deX 1 , ..., X n . 2. Ecrire l’algorithme. 3. Etudier sa convergence et estimer l’erreur. 4.Am´eliorerlavitesseetcomparera`d’autresm´ethodesdecalculd’int´egrales.

2.1 Loi des grands nombres et estimateur R Pour calculerI= d g(x)dxaldeu’enofcnitnoedcommel’esp´erancseeeledtce´’erir,ld´’i R g(X i ) variableale´atoireXOn pose pour toutque l’on sait simuler. i∈N,Y i Les variables= . f(X i )

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ale´atoires(Y i ) i∈N dne´noitsuneestancecommserure´polemel;itdseˆeemndpetean Z g(x) E(Y 1 ) =f(x)dx=I. d f(x) R Onpensealorsaur´esultatsuivant: Th´eor`eme2.1.1(Loi forte des grands nombres)Soit(Y i ) i∈N esdvaesirbaelas´laeotri 1 ind´ependantesidentiquementdistribu´eesetinte´grables.Alors,presquesuˆrementetdansL,

n X 1 n→+∞ Y i −→EY 1 . n i=1

On introduit naturellemt l’estimateursuivant: n n X X 1 1g(X i ) ˆ I n =Y i =. n n f(X i ) i=1i=1 ˆ CommeE(I n ) =I, l’estimateur estsans biais. Soit (X i ) i∈N tedeesuiune´tisnededdiiavf. Alors n Z X 1g(X i ) n→+∞ 1 ˆ I n =−→I=g(x)dx p.s.et dansL . n f(X i ) R d i=1

2.2

2.2.1

Variance, erreurs et intervalle de confiance

Variance et erreurs

♣Exercice 1:Soit (Y i ) i∈N lasetae´ravslbaipe´eanndreoindsiqieuemtnetisedtn´eesdistribued P 1 n ˆ Ycreieatnelraavnaesp´ceerl’ admettant un moment d’ordre 2. On poseY n = n i=1 i . Calcul ˆ deY n edecneencra´eiaaravtltcoifnnoe’psdnleeY 1 . Calculons la variance deY 1 : Z Z Z 2 2 2 g(x)g(x)g(x) 2 2 2 = E(Y 1 )f(x)dx=dx <+∞et var(Y 1 ) =σ=dx−I . 2 d f(x) d f(x) d f(x) R R R 2 ˆ Onaimme´diatementvar(I n ) =σ /n. Th´eore`me2.2.1ralLimit`emeCent(hTe´ro)eSoit(Y i ) i∈N l´saetsoierarivaleabsed ind´ependantesidentiquementdistribu´eesetadmettantunmomentd’ordre2. Alors, pour tout −∞ ≤a < b≤+∞,   ! ! n X n1 limPa≤Y i −EY 1 ≤b=P(a≤Z≤b) = Φ(b)−Φ(a), n→+∞ var(Y 1 )n i=1

o`uZ´laelbaeraainuvennecssieegautoirude´eetirtneree´stetΦno.peraititontir´desancfo

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n ˆ Ceci implique que (I n −I) converge en loi versN(0,1),et signifie ”moralement” que 2 σ 2 ˆ σ I n −I'Zo`u,Znegaestuenneissuee´rtnecteuiedr´dostle.Icnanuterdli’tnorduirel’erreur n 2 2 σ1σ standard et l’erreur relative . n I n 2 Cependant, la varianceσdeed´ependgne´seet(euenncoinalern´lle,reilucitrapnIva). On donc la remplacer par l’estimateur classique de la variance:  !   n n X 2 X 1 1 2 2 2 ˆ ˆ Estimateur de la variance:s=Y i −I n =Y−nI n . n i n−1n−1 i=1i=1

2 On sait (voir cours de statistique) quesconverge p.s. n 2 2 standard et l’erreur relative, on remplace doncσpars: n

erreur standart:

2 σ ' n

2 s n n

1 erreur relative: I

2 versσ.

2 σ1 ' n ˆ I n

2 s n . n

Pour estimer l’erreur

ˆ ♦En pratique:Dans l’algorithme de Monte Carlo pour calculerI n , il sera judicieux d’ajouter 2 le calcul desuspmetemeˆmneriol’deontimatiesneerreur.uravpo n

2.2.2

Intervalle de confiance par TCL

On peut maintenant donner des intervalles de confiance pour notre estimation: dans l’utilisation 2 2 duthe´ore`mecentrallimite,onremplacelavarianceσpar son estimations: n     n n n ˆ ˆ P(|I n −I| ≤ε) =P|I n −I| ≤ε'2Φε−1 2 2 2 s s s n n n Pour un intervalle de confiance au niveauα= 95%, on prend     n n α+ 1 2Φε−1 =α= 0,95⇔Φε= = 0,975 2 2 s s2 n n q 2 s n n et donc 2 ε= 1,96, ou encoreε= 1,96. s n n " r # 2 2 s s n n ˆ ˆ L’intervalle de confiance pourIau niveau 95% estI n −1,96, I n + 1,96. n n " #     2 2 α+ 1s α+ 1s −1 n −1 n ˆ ˆ L’intervalle de confiance au niveauαestI n −Φ, I n + Φ. 2n2n

Pour un niveau de confianceαtene´l,xfiegrularateinl’dedelealrvecnafinocıˆorce´d Onditquelame´thodedeMonteCarloaunevitessedeconvergenceen1/ n.

2 σ /n.

♦En pratique:effebchchit´tilTedeni’lage´aripssauutpeOniserutile,etiancvaraerlramojofsi pour obtenir des intervalles de confiance.

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2.3

Algorithme de Monte Carlo

Onsupposequ’onaa`notredispositionuneproc´eduresimulfntlemusilspeaptsnere´ffidsedtnod unesuitedevaiiddedensite´ffonction. La cdfnor("X",0,1,p,1p)donne l’inverse de la fonctionder´epartitiondelaloinormalecentre´ere´duiteenp: Z x 1 2 x=cdfnor(”X”,0,1,p,1−p)⇔P(Z≤xexp() = −t /2)dt=p, −∞ 2π o`uZecelamronioluaslti.teuiedr´eer´nt Dansl’algorithmequisuit,ond´ecided’unniveaudeconfianceα(proche de 1), et de la largeur de l’intervalle de confiance 2δau niveau de confianceαnombre. Le nde simulations ´ ne´cessairesestd´ecid´eparuntest,etestparcons´equental´eatoire: entre´es function [n,I,e] = montecarlo(alpha,delta) // estimation de I par montecarlo // alpha: niveau de confiance alpha, 2delta: largeur intervalle de confiance // n: nombre de simulations effectuees, I: valeur estimee, e:erreur standart p=(alpha+1)/2; z= cdfnor("X",0,1,p,1p)}; x=simulf; y=g(x)/f(x); n=1; S1=y; S2=y^2; V=(S2S1^2/n)/(n1); while (z*sqrt(V/n)>delta); x=simulf; y=g(x)/f(x); n=n+1; S1=S1+y; S2=S2+y^2; V=(S2S1^2/n)/(n1); end; I=S1/n; e=sqrt(V);

Commentaires P P n n 2 2 ocke ansS on st i=1 Y i d1,YdansS2, l’estimateur de la variancesdansV. Le test i=1 i n 2 s n regardesilademilargeurdel’intervalledeconfianceapre`snsimulations,zpue´sesterirue n a`cellesouhait´ee,δ, auquel cas on refait une simulation.

Conclusions

1.L’algorithmeestextreˆmementfacilea`mettreenplace.

2.Ilnesupposepasdere´gularit´esurg´t.egearibill’uet´inau,eqtr

3. L’erreur pournsimulations est de l’ordre de de vitesse 1/ n”:

2 σ /nhte´m“noedol’fietiustilapeapuqji,ec

•noise’c:odtsnucndaenedntadelenimivetsseetsni´dpeCetteduqnaategvana ladimensionestgrande,parcontreendimensionpetite,cettem´ethodeestpeu comp´etitiveparrapportauxme´thodesd’analysenum´erique,enparticulierquandla fonction`ainte´grerestplusr´eguli`ere.

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