Création et développement de la théorie des équations différentielles aux dérivées partielles dans les travaux de J. d'Alembert. - article ; n°1 ; vol.35, pg 3-42

Serghei S.Demidov

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1982 - Volume 35 - Numéro 1 - Pages 3-42
RÉSUMÉ. — Fondé sur une analyse précise des textes, cet article retrace les principales étapes du développement de la théorie des équations aux dérivées partielles dans l'œuvre de d'Alembert : introduction de la première équation de ce type en 1743 dans le Traité de dynamique, étude plus développée dans les Réflexions sur la cause générale des vents de 1747, mémoires sur la théorie des cordes vibrantes de 1749 et discussions qui en découlent, « Recherches de calcul intégral » de 1768 et évolution de certaines idées dans le tome 8 des Opuscules (1780) et le tome 9, inédit.
SUMMARY. — Based on a close analysis of the relevant texts, this article retraces the principal chapters in the development of the theory of partial differential equations in the work of d'Alembert : the introduction in 1743 of the first equation of this kind in the Traité de dynamique ; a more developed study in the Réflexions sur la cause générale des vents of 1747 ; his papers on vibrating strings of 1749 ; the discussions that followed from these ; the « Recherches de calcul intégral » of 1768 ; and the evolution of certain ideas in volume 8 of the Opuscules (1780) and the unedited volume 9 of this same work.
40 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Informations

• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1982
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

M SERGHEI S. DEMIDOV
Création et développement de la théorie des équations
différentielles aux dérivées partielles dans les travaux de J.
d'Alembert.
In: Revue d'histoire des sciences. 1982, Tome 35 n°1. pp. 3-42.
Résumé
RÉSUMÉ. — Fondé sur une analyse précise des textes, cet article retrace les principales étapes du développement de la théorie
des équations aux dérivées partielles dans l'œuvre de d'Alembert : introduction de la première équation de ce type en 1743 dans
le Traité de dynamique, étude plus développée dans les Réflexions sur la cause générale des vents de 1747, mémoires sur la
théorie des cordes vibrantes de 1749 et discussions qui en découlent, « Recherches de calcul intégral » de 1768 et évolution de
certaines idées dans le tome 8 des Opuscules (1780) et le tome 9, inédit.
Abstract
SUMMARY. — Based on a close analysis of the relevant texts, this article retraces the principal chapters in the development of
the theory of partial differential equations in the work of d'Alembert : the introduction in 1743 of the first equation of this kind in the
Traité de dynamique ; a more developed study in the Réflexions sur la cause générale des vents of 1747 ; his papers on vibrating
strings of 1749 ; the discussions that followed from these ; the « Recherches de calcul intégral » of 1768 ; and the evolution of
certain ideas in volume 8 of the Opuscules (1780) and the unedited volume 9 of this same work.
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DEMIDOV SERGHEI S. Création et développement de la théorie des équations différentielles aux dérivées partielles dans les
travaux de J. d'Alembert. In: Revue d'histoire des sciences. 1982, Tome 35 n°1. pp. 3-42.
doi : 10.3406/rhs.1982.1788
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1982_num_35_1_1788Création et développement
de la théorie des équations différentielles
aux dérivées partielles
dans les travaux de J. d'Alembert
A mon Maître, le P* A. P. Youschkevitch, pour son 75* anniversaire.
RÉSUMÉ. — Fondé sur une analyse précise des textes, cet article retrace les
principales étapes du développement de la théorie des équations aux dérivées
partielles dans l'œuvre de d'Alembert : introduction de la première équation de
ce type en 1743 dans le Traité de dynamique, étude plus développée dans les
Réflexions sur la cause générale des vents de 1747, mémoires sur la théorie des cordes
vibrantes de 1749 et discussions qui en découlent, « Recherches de calcul intégral »
de 1768 et évolution de certaines idées dans le tome 8 des Opuscules (1780) et le
tome 9, inédit. ^
SUMMAR Y. — Based on a close analysis of the relevant texts, this article retraces
the principal chapters in the development of the theory of partial differential equations
in the work of d'Alembert : the introduction in 1743 of the first equation of this kind
in the Traité de dynamique ; a more developed study in the Réflexions sur la cause
générale des vents of 1747 ; his papers on vibrating strings of 1749 ; the discussions
that followed from these ; the « Recherches de calcul intégral » of 1768 ; and the evolution
of certain ideas in volume 8 of the Opuscules (1780) and the unedited volume 9 of
this same work.
I. INTRODUCTION
L'histoire des équations différentielles aux dérivées partielles
est peu étudiée. Malgré de nombreux travaux intéressants, publiés
essentiellement ces dernières décennies, il reste encore de nomb
reuses questions à résoudre avant de pouvoir se représenter de
façon plus ou moins précise l'évolution de cette branche si impor
tante des mathématiques modernes. Il en est ainsi de la question
concernant la phase initiale du développement de la théorie par
d'Alembert et Euler. Si on connaît bien les résultats obtenus par
Reo. Hist. Sci., 1982, xxxv/1 4 Serghei S. Demidov
L. Euler dans cette matière (1), les recherches de d'Alembert n'ont
pas encore été soumises jusqu'ici à une analyse réellement syst
ématique et se trouvent souvent décrites de façon incomplète (2).
La présente étude, fondée sur des résultats exposés dans un article
antérieur [7] (3) et sur de nouvelles recherches de l'auteur, tente
d'en retracer les principales étapes (4).
II. CRÉATION DE LA THÉORIE
DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
L'origine de cette théorie est souvent attribuée (5) au mémoire
de L. Euler Additamentum ad dissertalionem de infinitis curvis
ejusdem generis [9] publié en 1740. Comme l'indique son titre, ce
mémoire se rapporte à la géométrie et, notamment, au problème
des courbes dites isogones. Cette tradition, qui relie l'origine de la
théorie des équations aux dérivées partielles à ce mémoire ď Euler,
remonte à la fin du xvme siècle, et en particulier à J.-A.-J. Cousin
qui contredisait ainsi [10, p. xiv] l'opinion attribuant l'origine de
cette théorie aux travaux de d'Alembert des années 1740 (6).
Dans le mémoire [9], L. Euler obtient des expressions que l'on
pourrait aujourd'hui considérer comme des équations aux dérivées
partielles du premier, second et troisième ordres. Mais ce n'est qu'à
8z
une seule d'entre elles, j- = Р(ж, a), qu'il attribue une telle signi
fication, les autres expressions, bien qu'ayant pour nous une forme
d'équations aux dérivées partielles, ont pour lui un sens tout dif
férent. Ainsi, par exemple (7), on rencontre dans [9] des expressions
(1) Leurs résumés sont donnés par exemple dans les ouvrages [1, 2, 3] ; voir éga
lement les études spéciales [4, 5 et surtout 14].
(2) Cf. par exemple [1,3, 6].
(3) Les chiffres entre crochets renvoient à la Bibliographie ci-dessous, p. 40-42.
(4) J'exprime ma reconnaissance au Pr A. P. Youschkevitch pour l'attention cons
tante qu'il a portée à mon travail et pour ses conseils qui m'ont aidé en diverses
occasions. Je remercie beaucoup le Pr Ch. Houzel de ses remarques critiques qui m'ont
permis de préciser quelques points de mon article.
(5) Cf. par exemple [1, 6, 8].
(6) С Truesdell mentionne J.-A.-J. Cousin dans ses commentaires au tome XIII
de la 2e série des Opera omnia d'EuLER [11, p. lxxxiv], dans lesquels le rôle de d'Alem
bert dans la création de la théorie des équations aux dérivées partielles n'a pas été,
à notre avis, estimé à sa juste valeur.
(7) Nous avons donné l'étude détaillée de cette question dans l'article [12], cf. éga
lement [13]. D'Alembert et les équations différentielles 5
qui sont, pour nous, des équations du premier ordre dans le contexte
suivant :
Etant donné une fonction P(x, a) intervenant dans la différentielle :
dz = P(x, a) dx + Q(#» e) da, trouver la fonction Q(x, a). Le problème
est résolu si l'on peut calculer l'intégrale I — ^ — - dx = Q(x, a) ; mais,
si on ne peut pas calculer celle-ci, est-il possible toutefois de déterminer
Q(x, a) ? Euler considère diverses relations entre P et Q (par exemple,
Px
Q = ou Q = P.E(a) qui sont, pour nous, les équations
— = — rr-.-ou — = ;r-.E(a)) et cherche la forme la plus générale de
да дх а да дх к
la fonction P qui entre dans ces relations (dans notre exemple, P a comme
valeurs - / 1 — |- с I , f[x-\- A(a)) respectivement, où / est une fonction
** \** / /•
arbitraire de son argument, c, une constante arbitraire, A(a) = E(a) da).
II trouve finalement que si P a la forme - a 1 / (x \a 1 — \- c) J \ ou f(x + A(a)),
alors Q correspondant se détermine, sans intégration, par les formules
Рж Q = ou Q = P.E(a) respectivement.
On trouve de nombreux cas semblables dans les publications
de L. Euler (8).
On peut donc en conclure que L. Euler, tout en ayant affaire
à des équations aux dérivées partielles, ne leur a pas à cette époque
accordé une grande attention. La signification des résultats obtenus
ne semble avoir été totalement comprise ni de l'auteur lui-même,
ni, à plus forte raison, de la plupart de ses contemporains. Ce n'est
que bien plus tard que ses continuateurs s'en sont servis pour tenter
de démontrer sa priorité.
Si les résultats obtenus par Euler [9] préfigurent la naissance
de la théorie des équations aux dérivées par