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Sujet BAC 2015 Amérique du Nord - S Mathématiques Spécialité

De
6 pages
On poursuit le tour du monde du Bac 2015 ! Après Pondichéry et le Liban, ce sont les candidats d’Amérique du Nord qui planchent sur leurs épreuves. Le signe que la session de la métropole se rapproche à grands pas... mais que vous avez encore le temps de réviser efficacement. Surtout si vous vous entraînez sur ces sujets 2015. Courage !
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION2015
MATHÉMATIQUES
SérieS
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Duréedel’épreuve:4heures
Coefficient:9
Cesujetcomporte6pagesnumérotéesde1/6à6/6dontuneannexeenpage6/6quiestà
rendreaveclacopie.
Lescalculatricesélectroniquesdepochesontautoriséesconformémentàlaréglementation
envigueur.
Lesujetestcomposéde4exercicesindépendants.Lecandidatdoittraitertouslesexercices.
Danschaqueexercice,lecandidatpeutadmettreunrésultatprécédemmentdonnédansletexte
pouraborderlesquestionssuivantes,àconditiondel’indiquerclairementsurlacopie.
Lecandidatestinvitéàfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mêmeincomplète
ounonfructueuse,qu’ilauradéveloppée.
Ilestrappeléquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsseront
prisesencomptedansl’appréciationdelacopie.
15MASCSAN1 Page1/6
SPÉCIALITÉEXERCICE 1 (5points)
Dans l’espace, on considère une pyramideSABCE à base carrée ABCE de centreO. SoitD
−−→−−→−−→
le point de l’espace tel que (O ;OA,OB,OD) soit un repère orthonormé. Le point S a pour
coordonnées(0;0;3)danscerepère.
S
+
D
CE
O
A B
PartieA
1. SoitU lepointdeladroite(SB)decote1.ConstruirelepointU surlafigurejointeen
annexe(àrendreaveclacopie).
2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les
droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le pointV sur la figure jointe en
annexe(àrendreaveclacopie).
? ?
5 1
3. SoitK lepointdecoordonnées ;− ;0 .
6 6
MontrerqueK estlepieddelahauteurissuedeU dansletrapèze AUVE.
PartieB
p
5 43
Danscettepartie,onadmetquel’aireduquadrilatère AUVE est .
18
? ?
2
1. OnadmetquelepointU apourcoordonnées 0; ;1 .
3
Vérifierqueleplan(EAU)apouréquation3x−3y+5z−3=0.
2. Donner unereprésentation paramétrique deladroite (d)orthogonale au plan(EAU)
passantparlepointS.
3. Déterminer les coordonnées de H, point d’intersection de la droite (d) et du plan
(EAU).
4. Leplan(EAU)partagelapyramide(SABCE)endeuxsolides.Cesdeuxsolidesont-ils
lemêmevolume?
15MASCSAN1 Page2/6
bbbbbbEXERCICE 2 (5points)
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
   
1 1 1 1 0 0
   OndonnelesmatricesM= 1 −1 1 etI= 0 1 0 .
4 2 1 0 0 1
PartieA
 
20 10 11
2 3  1. DéterminerlamatriceM .OndonneM = 12 2 9 .
42 20 21
3 22. VérifierqueM =M +8M+6I.
1−1 23. EndéduirequeM estinversibleetqueM = (M −M−8I).
6
PartieB Étuded’uncasparticulier
Onchercheàdéterminertroisnombresentiersa,b etc telsquelaparaboled’équation
2y=ax +bx+c passeparlespoints A(1;1),B(−1;−1)etC(2;5).
1. Démontrerqueleproblèmerevientàcherchertroisentiersa,b etc telsque
   
a 1
   b −1M = .
c 5
2. Calculerlesnombresa,b etc etvérifierquecesnombressontdesentiers.
PartieC Retouraucasgénéral
Lesnombresa,b,c,p,q,r sontdesentiers.
? ?→− →−
Dansunrepère O ; i , j ,onconsidèrelespoints A(1;p),B(−1;q)etC(2;r).
2Oncherchedesvaleursdep,q etr pourqu’ilexisteuneparaboled’équationy=ax +bx+c
passantpar A,B etC.
    
a p −3p+q+2r≡0[6]
−1   b q 3p−3q≡0[6]1. Démontrerquesi =M ,aveca,betcentiers,alors .

c r 6p+2q−2r≡0[6]
?
q−r≡0[3]
2. Endéduireque .
p−q≡0[2]

q−r≡0[3]
3. Réciproquement, on admet que si p−q≡0[2] alors il existe trois

A,B,C nesontpasalignés
2entiersa,b etc telsquelaparaboled’équationy=ax +bx+c passeparlespoints A,
B etC.
a) Montrerquelespoints A,B etC sontalignéssietseulementsi2r+q−3p=0.
b) Onchoisitp=7.Déterminerdesentiersq,r,a,betc
telsquelaparaboled’équa2tiony=ax +bx+c passeparlespoints A,B etC.
15MASCSAN1 Page3/6EXERCICE 3 (4points)
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle
qualitéeffectueplusieurstypesdecontrôle.
PartieA Contrôleavantlamisesurlemarché
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en
plus ou en moins. Elle estdoncmisesur le marchési sa masseest compriseentre 98 et
102
grammes.
Lamasse(expriméeengrammes)d’unetablettedechocolatpeutêtremodéliséeparunevariablealéatoireX suivantlaloinormaled’espéranceμ=100etd’écart-typeσ=1.Leréglage
desmachinesdelachaînedefabricationpermetdemodifierlavaleurdeσ.
1. Calculerlaprobabilitédel’événementM :«latabletteestmisesurlemarché».
2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet
événementatteigne0,97.
Déterminerlavaleurdeσpourquelaprobabilitédel’événement«latabletteestmise
surlemarché»soitégaleà0,97.
PartieB Contrôleàlaréception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères
de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme.
L’entrepriseatroisfournisseursdifférents:lepremierfournisseurprocurelamoitiédustock
defèves,ledeuxième30 %etledernierapporte20 %dustock.
Pourlepremier,98 %desaproductionrespecteletauxd’humidité;pourledeuxième,quiest
unpeumoinscher,90 %desaproductionestconforme,etletroisièmefournit20 %defèves
non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note F l’événementi
«lafèveprovientdufournisseuri »,pouri prenantlesvaleurs1,2ou3,etC l’événement«la
fèveestconforme».
1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est
−2conforme.Lerésultatseraarrondià10 .
2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes,
l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que
92 % de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle
acheteraufournisseur1pouratteindrecetobjectif?
15MASCSAN1 Page4/6EXERCICE 4 (6points)
PartieA
Soitu lafonctiondéfiniesur]0;+∞[paru(x)=ln(x)+x−3.
1. Justifierquelafonctionu eststrictementcroissantesurl’intervalle]0;+∞[.
2. Démontrer que l’équationu(x)=0 admet une unique solutionα comprise entre 2 et
3.
3. Endéduirelesignedeu(x)enfonctiondex.
PartieB
? ?
1
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par f(x)= 1− (ln(x)−2)+2.
x
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthogonal.
1. Déterminerlalimitedelafonction f en0.
u(x)′2. a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0;+∞[, f (x)= oùu est la
2x
fonctiondéfiniedanslapartieA.
b) Endéduirelesensdevariationdelafonction f surl’intervalle]0;+∞[.
PartieC
′SoitC lacourbed’équationy=ln(x).
2−ln(x)
1. Démontrerque,pourtoutréelx del’intervalle]0;+∞[, f(x)−ln(x)= .
x
′En déduire que les courbesC etC ont un seul point commun dont on déterminera
lescoordonnées.
1 22. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par H(x)= (ln(x)) est
2
ln(x)
uneprimitivedelafonctionh définiesurl’intervalle]0;+∞[parh(x)= .
x
Z 2e 2−ln(x)
CalculerI= dx.
x1
Interprétergraphiquementcerésultat.
15MASCSAN1 Page5/6Annexe
Exercice1
S
+
D
E C
O
A B
15MASCSAN1 Page6/6
bbbbbb

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