ORAL DE MATHÉMATIQUES DES GRANDES ÉCOLES - 243 EXERCICES CORRIGÉS ET COMMENTÉS - Algèbre vol. 1

Alain Tissier, Denis Monasse, Collectif

Description

Recueil de 243 exercices et leurs corrigés pour s'entraîner aux oraux des concours d'entrée des Grandes Écoles scientifiques.

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 01 janvier 2023
• Nombre de lectures: 65
• EAN13: 9782820810434
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
243 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS
Sous la direction de Denis Monasse
Algèbre vol. 1
Algèbre linéaire et réduction
Alain Tissier
Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES
Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafk Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taïeb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas ToselEAN : 9782820810434
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en décembre 2019
Dépôt légal : janvier 2020Table des matières
I. Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Valeurs propres et notions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5. Polynômes de matrice ou d’endomorphisme; algèbre d’une matrice . . . . . . . 97
6. Endomorphismes cycliques, matrices compagnons . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7. Exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
II.Thèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.R , espace vectoriel surQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2. Matrices à coefficients entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3. Le groupe GL (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163n
4. Matrices et analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5. sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6. Matrices à éléments réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7. Crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8. Espaces de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9. L’algèbre des matrices carrées ; l’algèbre des endomorphismes . . . . . . . . . . 226
10. Le groupe linéaire et ses sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
n11. Le réseauZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
III. Matrices et Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
1. Suites de matrices ou d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
2. Fonctions à valeurs dans un espace de matrices ou d’endomorphismes . . . . . . 288
3. Questions topologiques relatives aux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
345
Préface
La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Alain Tissier, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un travail
considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera un
instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.6
Notations
La lettreK désigne en général un corps non précisé.
On note Vect(x ;:::;x ) l’espace vectoriel engendré par lesx .1 n i
n On identifie souvent les éléments deK , oùK est le corps de base, aux éléments de
M (K), c’est-à-dire les matrices-colonnes de taillen.n;1
pUne matriceA de format (n;p) est souvent identifiée à l’application linéaire deK dans
nK qui lui est canoniquement associée, c’est-à-dire X 7! AX. Ainsi KerA est le
souspespace vectoriel deK constitué desX tels queAX = 0 ; ImA est le sous-espace vectoriel
ndeK qui est l’image de cette application.
La matrice unité deM (K) sera notéeI ouI selon les circonstances.n n
La matrice nulle sera notée 0 ouO selon les circonstances. Dans une matrice décomposée
en blocs elle pourra être notéeO ouO en référence à son format (O =O ).p p;q p p;p
0 1
a 0 ::: 01
B . C.. .B C.0 a .2B C La matrice diagonale se note diag(a ;:::;a ).1 nB C. . .. . .@ A. .. 0
0 ::: 0 an0 1
A O ::: O1
B . C.. .B C.O A .2B CLa matrice diagonale par blocs , où lesA sont des matrices car-iB C. . .. . .@ A. .. O
O ::: O An
rées de taille quelconque, se note Diag(A ;:::;A ).1 n
Le polynôme caractéristique d’une matrice carréeA (resp. d’un endomorphismeu) se
note souvent (resp. ). Dans certains exercices on convient (X) = det(XI A) etA u A
dans d’autres c’est det(A XI).
SoitE un espace vectoriel ; soitF etG des sous-espaces vectoriels deE tels queE =
FG. Soitu un endomorphisme deF ,v un endomorphisme deG. On noteuv
l’endomorphisme deE qui vautu surF etv surG.Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles
I. Notions fondamentales6
6
8
1. Espaces vectoriels
SoitK un corps. SoitE un ensemble muni d’une loi interne.
On considère une famille finie de fonctionsf deE dansK, non nulles et distinctesi
telles que :f (xy) =f (x)f (y) pour tousx;y deE.i i i
KMontrer que
est libre dansE .
RMS Année 1996 - numéro 145.
Solution par Abdelkader Daouia
Montrons par récurrence sur l’entier n > 0 que toute famille (f ;f ;:::;f ) d’éléments1 2 n
distincts non nuls deE est libre.
C’est vrai sin = 1 :f = 0.1
Supposons la propriété établie pour n 1 mais fausse pour n. Soit donc un système lié
(f ;f ;:::;f ) où les f sont non nulles et distinctes. L’hypothèse de récurrence permet1 2 n i
d’affirmer que (f ;f ;:::;f est libre. Donc1 2 n 1
f =a f + +a fn 1 1 n 1 n 1
pour certains élémentsa deK.i
Pour toutx etE et touti,f (xy) = f (y)f (x). Il en résulte, pour touty deE, l’égalitéi i i
entre fonctions :
f (y)f = (a f (y))f + + (a f (y)f :n n 1 1 1 n 1 n 1 n 1
On en déduit, toujours pour touty deE :
0 = (a (f (y) f (y)))f + + (a (f (y) f (y)))f :1 1 n 1 n 1 n 1 n n 1
La liberté du système (f ;:::;f ) implique :a (f (y) f (y)) = 0 pour touty et tout1 n 1 i i n
i<n. Pour touti il existey tel quef (y) =f (y). Donca = 0 pour touti etf = 0. C’esti n i n
contradictoire.
La preuve est complète.
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et A une partie finie de E ne
contenant pas 0. Montrer qu’il existe une forme linéaire f sur E telle que f ne
s’annule pas surA.
RMS Année 2004 - numéro 46.
Solution par Ivan Gozard6
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9
On montre la propriété par récurrence sur le cardinaln deA. On la noteP (n).
P (1) est vraie.
En effet soita un vecteur non nul deE. Alors Vect(a) est une droite vectorielle deE. Notons
H un supplémentaire de Vecta dansE ;H est un hyperplan deE donc il existe une forme
linéaire non nullef surE telle queH = Ker(f). Alorsf(a) = 0 cara n’est pas dansH.
SupposonsP (n 1) vraie, avecn> 2.
SoitA =fa ;:::;a g une partie deE finie de cardinaln et ne contenant pas 0.1 n
D’après P (n 1), il existe des formes linéaires u et v telles que u ne s’annule pas sur
fa ;:::;a g etv ne s’annule pas surfa ;:::;a g.1 n 1 2 n
– Siu(a ) = 0, on posef =u.n
v(a )i
– Siu(a ) = 0, l’ensemble ; i2 [[1;n 1]] est fini de cardinal6 n 1, doncn
u(a )i
est distinct deR ; soit un réel qui ne lui appartient pas.
Posonsf =u +v. La forme linéairef ne s’annule pas surA carf(a ) = 0 pour toutk dek
[[1;n 1]], etf(a ) =v(a ) = 0.n n
Ainsi s’achève la preuve.
n
SoitB = (e ;e ;:::;e ) etC = (f ;f ;:::;f ) des bases de