Les Fractions

Lucien Kerhornou

Description

L’ouvrage s’adresse, en premier lieu, à des collégiens de niveaux : 4ème/3ème. C’est un ouvrage de « vulgarisation » sur les les fractions, accessible également à tout lecteur intéressé par le sujet, certains professeurs désireux d’étayer leurs cours par un support papier, à un bon élève matheux de niveau 5ème.
L’ouvrage comprend : le chapitre 1 de mise à niveau Préliminaires (terminologie) ; le chapitre 2 : Les Opérations sur les fractions ; le chapitre 3 Compléments qui m’a paru nécessaire, après coup dont la définition d’une « Identité » : la problématique du PPCM(a,b), le Lien PPCM(a,b)/PGCD(a,b).

Sujets

• Sciences & Techniques
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• Science

Informations

• Publié par: Edilivre
• Date de parution: 18 juillet 2014
• Nombre de lectures: 1
• EAN13: 9782332695420
• Langue: Français

Extrait

Couverture
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Cet ouvrage a été composé par Edilivre
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intégrale ou partielle réservés pour tous pays.

ISBN numérique : 978-2-332-69540-6

© Edilivre, 2014
• Préliminaires
Notion et Définition d’une Fraction
Comparaison : Division – Fraction
Décomposition d’un nombre entier en : Facteurs Premiers
Le PPCM(a,b) : 2 méthodes
Le PGCD(a,b)
Lien : « PPCM(a,b) – PGCD(a,b) »
• Opérations sur les Fractions :
Addition
Soustraction
Multiplication
Division
Élévation à une Puissance n
• Compléments
Égalité « = » et Identité « ≡ »
Signes de Comparaison
Problématique du PPCM(a,b) ; a et b entiers > 0
PPCM et PGCD de Polynômes Unitaires
Lien entre : « PPCM et PGCD » de Polynômes Unitaires
Avertissement
• Ce sujet : « Les fractions » est exposé selon la méthode ; « CAC » : C oncret, A bstrait, C oncret.
• Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.
Concret : Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérir l’essentiel du « Concept Exposé » , sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un « Cas Concret » représentatif .
Abstrait : Dans un deuxième temps, le « Cas Général » du concept est étudié de manière abstraite ; c’est-à-dire : en utilisant des lettres à la place des chiffres . Dans cette phase, tous les cas possibles sont étudiés et annoncés, ainsi que les cas d’impossibilité : Division par Zéro, par exemple.
Concret : Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des cas concrets décrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.
Ceci permet de montrer comment on utilise , en pratique, le « cas général », dans un cas particulier.
* * *
• La « difficulté » rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « E xplicatif » , (donc long et lourd) et « Concis » à la fois.
• La rédaction d’un document : « Concis » , sans explications, serait peut être souhaitable :
Un « Résumé », en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !
• Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.
Dans ces « Préliminaires » ; L’étude : du PPCM et du PGCD, me semble toutefois intéressante.
Résumé
N°
N°Chapitre
Désignation
Pa
1
1.1.6.5
Décomposition d’un nombre entier en « Facteurs premiers ».
72 = 8 * 9 = 2 3 * 3 2
18
2
3.1
Notions : « d Égalités » et « d’ Identités » Voir§ 3.4
51
3
1.1.7
PPCM(a,b) : Définition, Calcul, Règle générale de calcul , Utilisation
PPCM(a,b) ≡ a * b S’il n’y a p as de facteurs communs dans Développements(a et b)
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b S’il y a des facteurs communs dans les Dév(a et b)
Calcul du PPCM(a,b) : a et b : Entiers positifs.
• Utiliser tous les facteurs premiers , des développements de (a et b).
• Choisir, pour chaque facteur, l’exposant le plus grand .
Lien : {PPCM(a,b), PGCD(a,b)}
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b ≡ b * a
23
4
1.1.8
PGCD(a,b) : Définition, Calcul, Règle, Utilisation : Simplification des fractions
• N ’ utiliser que les facteurs premiers communs de : a et b.
• Choisir , pour chaque facteur commun, l’exposant le plus petit
32
5
1.1
Notion et définition de Fraction.
Fraction ≈ Division non calculée ; Reste nul ou négligeable
9
6
1.1.4/1.1.5
Comparer Division et Fraction. Division : D ≡ (d * Q) + R R =0 ou R ≠ 0 ; R < Q
12
7
2
Opérations sur les Fractions : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.
37
8
2.2.3
Addition de Fractions
• Réduction des fractions au même Dénominateur : « DCF ».
• Choix, comme D énominateur C ommun des F ractions : le PPCM(D1,D2)
• Multiplier : D 1 de F1 et donc N1 de F1 par : PPCM(a ; b) / D1.
• Multiplier : D2 de F2 et donc N2 de F2 par : PPCM(a ; b) / D2.
• On est ramené à l’addition de 2 fractions de même dénominateur : PPCM(D1,D2).
40
9
2.3
Soustraction de fractions : Idem à l’Addition
45
10
2.4
Multiplication de fractions
pour multiplier des fractions entre elles :
• Multiplier les numérateurs entre eux. Nr = N1 * N2 *…
• Multiplier les dénominateurs entre eux. Dr = D1 * D2 *…
47
11
2.5
Division de fractions
Pour « Diviser » deux fractions, on « Multiplie » la première par la seconde renversée

47
12
2.6
Élévation d’une fraction F à une puissance p : F p
Pour élever une Fraction à une « Puissance : p ’ :
• Élever N (Numérateur) à la puissance : p
• Élever D (Dénominateur) à la puissance : p
Fr = N p / D p
48
1 Préliminaires
L’étude des fractions, des « Opérations sur les Fractions » n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :
• Définitions de :
– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,
– Multiple Commun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),
– Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,
– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),
– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).
Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».
1.1 Notion de fraction
Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :
« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies »
Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple.
On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales.
Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales .
Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.
1.1.1 Exemple1 : Partage d’une maison
Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros . Il a : Trois enfants.
Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants
Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :
200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou € = 66 666,66 €
La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.
En effet :
66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.
66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.
On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).
1.1.2 Exemple1 : Partage d’un camembert
Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !
Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !
Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes, une longueur : ; une masse, etc…
Ce peut être aussi un « Camembert » !
Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales , chaque partie est appelée : moitié.
Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.
Cela s’écrit :
: c’est tout le camembert ; 1 (Num) C’est le nb de parts considéré.
2 : C’est le nombre de parts du Camembert.
: c’est la moitié du camembert.
Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert.
Deux parts valent 2/3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert.
Si on coupe le camembert en 4, ...