Problèmes de l'enseignement des nombres rationnels et irrationnels

Emmanuel Luanda Hategekimana

Description

L’auteur de ce livre se fonde sur les points de vue des professeurs de mathématique, l'observation de leurs pratiques en classes, les analyses des manuels scolaires et des connaissances des élèves pour tenter de diagnostiquer les difficultés qui handicapent l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels. Il est parti d’une analyse didactique approfondie axée sur les savoirs à enseigner et les savoirs enseignés en RD Congo. Il montre que ces problèmes sont liés aux contenus d’enseignement non contextualisés, ils sont reconnus par les professeurs de mathématiques au secondaire en RD Congo et ont des répercussions sur le cognitif que les élèves acquièrent en classe.

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Informations

• Publié par: Edilivre
• Date de parution: 20 juillet 2016
• Nombre de lectures: 0
• EAN13: 9782334092425
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

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ISBN numérique : 978-2-334-13201-5

© Edilivre, 2016
Introduction
Les nombres jouent un rôle important dans la vie de l’homme. Ce qui peut toujours ramener à dire que tout est nombre. En effet, le nombre occupe une place très importante non seulement dans le langage, mais dans toutes les activités sociales, économiques et culturelles de la personne. Il permet de quantifier les biens que possède chacun dans la société, d’ordonner les objets par des numérotations ou des comparaisons suivant l’importance de possession ou de grandeur, de mesurer les quantités et grandeurs d’objets. Il est non seulement le pivot moteur à partir duquel se sont développées toutes les mathématiques, mais aussi il est le soubassement de l’économie, de la statistique, de la physique, en gros de presque tous les domaines de la vie humaine. Presque rien ne peut se faire et aucun discours ne peut se prononcer sans aucun usage du nombre.
Parmi les objets d’éducation et d’apprentissage de l’homme, dès sa naissance, figurent “les nombres” qui constituent le fondement de toutes les branches d’enseignement mathématique de l’école primaire aussi bien en République Démocratique du Congo qu’ailleurs. Même à l’école secondaire tout l’enseignement des mathématiques tourne autour du nombre : les ensembles de nombres naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes, la résolution des équations, l’étude d’une fonction, le calcul des statistiques et des probabilités,… Tout cela prouve à suffisance l’importance accordée à la connaissance des nombres dans le développement intellectuel de l’homme moderne.
Cependant, la connaissance et le développement historique des savoirs sur les nombres ne se sont pas réalisés sans embûches. L’historique de la découverte des nombres dans le temps montre que des obstacles se sont érigés pour la compréhension des nombres irrationnels non seulement aux mathématiciens eux-mêmes, mais aussi à l’ensemble des humains jusqu’à ce que son apprentissage actuel soit sujet de plusieurs plaintes. Depuis le XVIII ème siècle, ces obstacles épistémologiques ont entraîné des obstacles didactiques que le mathématicien Cauchy a pu rencontrer lorsqu’il enseignait à ses étudiants les nombres réels. Il s’était alors résolu de construire l’ensemble des nombres réels à partir de l’ensemble des nombres rationnels pour pallier ce problème d’enseignement. Au XIX ème siècle beaucoup d’autres chercheurs se sont penchés sur cette question de l’enseignement des nombres au niveau de l’enseignement primaire dont J. Piaget.
On peut noter en outre que les recherches en didactique des mathématiques se sont occupés de problèmes qui concernent l’enseignement des mathématiques et ont pu développer des théories qui ont la vocation d’étudier les conditions de diffusions des savoirs mathématiques. L’application de ces théories, afin d’assouplir ou de résorber dans un long temps le problème de l’enseignement des mathématiques, s’avère important pour faciliter la tâche aux professeurs des mathématiques dans l’accomplissement de leurs pratiques quotidiennes. Mais aussi, il doit permettre à tout citoyen, sans exception, de se sentir à l’aise dans la compréhension des mathématiques. C’est donc en améliorant cet enseignement de manière pratique à travers les praxéologies des enseignants que le développement de la didactique fera preuve de son existence aux yeux de toute la société humaine.
Faisant suite à notre expérience, d’abord comme enseignant des mathématiques à l’école secondaire, ensuite à l’université et formateur des professeurs du secondaire, nous avons pu constater et palper de doigt des anomalies et difficultés liées à l’enseignement des nombres, de manière globale. Nous avons constaté que ces anomalies se retrouvent aussi bien à l’école secondaire qu’à l’université. Et de manière particulière, elles concernent les nombres rationnels et irrationnels. Cela nous a amené à effectuer des recherches sur l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels qui nous ont conduits à notre thèse de doctorat (2014) et dont une partie nous sert de base pour produire cet ouvrage. C’est donc pour tous ceux qui sont fascinés par l’enseignement des mathématiques que nous rassemblons des éléments liés aux difficultés relatives à l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels.
Subsidiairement à l’état actuel de l’enseignement des mathématiques, le but de cet ouvrage est de diagnostiquer les causes réelles des problèmes de l’enseignement des nombres rationnels et des nombres irrationnels en vue de la détermination future d’une meilleure solution y relative. Il s’agit donc de savoir comment se pose le problème de l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels dans les classes de mathématique en troisième année du secondaire. Ce livre se limite au niveau 3 ème secondaire en République Démocratique du Congo. Cependant, au seul diagnostic qui a permis de situer le problème de l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels, nous avons jeté un regard critique en même temps sur les conditions d’enseignabilité des structures algébriques de manière globale.
Le présent ouvrage s’articule ainsi sur sept chapitres. Le premier donne une généralité sur les notions des nombres, leur genèse, et surtout insiste sur les définitions de chaque concept lié aux nombres en essayant de décortiquer son sens et ses significations mathématiques et sociales. Le deuxième essaye de diagnostiquer les problèmes de l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels tels que les conçoivent les professeurs de l’école secondaire aussi bien dans la préparation des leçons que dans la pratique enseignante en classe. Le troisième procède à l’analyse épistémologique des contenus didactiques sur les nombres rationnels et irrationnels en partant du programme d’enseignements pour ces connaissances et montre comment des problèmes didactiques et mathématiques se posent à travers ce programme d’enseignements en République Démocratique du Congo et les manuels scolaires. Et ce, à la lumière des pratiques observées dans les classes de mathématiques sur les savoirs en question.
Dans le cadre de vouloir vérifier si le problème n’est pas seulement local, le quatrième chapitre contient un état de lieu sur la recherche internationale à propos du problème d’enseignement des nombres rationnels et irrationnels. Il donne donc des synthèses de ce que les chercheurs ont déjà dit sur cette question qui date de longtemps. Les résultats desdits chercheurs permettent de conclure que la question de l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels dépasse les limites nationales.
Pour déterminer les conséquences des problèmes de cet enseignement sur les élèves, le cinquième chapitre indique les résultats d’un test de connaissance adressé aux élèves de plusieurs écoles secondaires et dégage des faits légitimant le constat des autres chapitres précédents. Il mesure également les difficultés des représentations des élèves sur le sens et les significations des concepts « nombres rationnels » et « nombres irrationnels ».
Le sixième chapitre examine à partir des formations des structures mathématiques, une certaine façon dont les savoirs mathématiques sur les structures des ensembles de base à enseigner devaient être organisés en s’appuyant sur les théories de situations, de la transposition didactique et du développement logique de la pensée mathématique. Ce chapitre se justifie par le fait que les structures algébriques généralisent les structures des ensembles numériques qui en constituent le modèle concret. L’enseignement des ensembles numériques doit donc être cadré dans un enseignement général des structures algébriques.
Enfin, le septième chapitre est une conclusion aux six autres chapitres. Il confirme l’existence du problème de l’enseignement des nombres rationnels et irrationnels et d’une nécessité à le résoudre pour sauver la mathématique de son péril aux yeux de toute l’humanité.
Ce livre tente d’expliciter et de mettre à la disposition des mathématiciens et des didacticiens de mathématique, et de tous ceux qui s’intéressent à l’enseignement des mathématiques, un outil qui puisse éveiller leur curiosité, la pertinence et l’actualité des difficultés liées à cet enseignement. Il dégage aussi leurs conséquences dans la formation intégrale des citoyens et demande que les chercheurs s’y intéressent afin d’y attacher une attention particulière au fin de trouver un jour une solution adéquate.
Chapitre 1 A propos de l’épistémologie des nombres
1.1. Les nombres en général
Philosophiquement, le nombre est un concept issu du mot latin “numerus” et qui se définit comme la notion ou la catégorie fondamentale de l’entendement exprimant le rapport d’une grandeur quelconque à une grandeur prise comme unité considérée uniquement en tant que quantité (N. BARAQUIN & Cie, 2005). C’est donc le symbolisé d’une estimation de l’idée que l’on puisse se faire sur la mesure de la quantification d’un objet ou encore de l’estimation de la quantification de cet objet en fonction d’une unité de mesure choisie. Le nombre est donc une symbolisation de la quantification ou de la mesure d’une grandeur. C’est pourquoi Kant fait du nombre le schème pur de la quantité, prise comme catégorie de l’entendement et de l’estimation d’une valeur en quantité. Ainsi, le nombre est une représentation embrassant l’addition successive de l’unité à elle-même ; c’est ce que vaut l’unité dans une grandeur. Donc le nombre désigne, en gros, une réalité purement abstraite se référant aux mesures ou aux quantifications d’objets de manière directe et aux objets de manière indirecte. C’est la symbolisation d