LA Logique propositionnelle et ses variantes

Samuel Montplaisir, François Lepage

Description

Introduction à la métalogique du calcul propositionnel, cet ouvrage contient non seulement l’initiation aux concepts de base du domaine (syntaxe, sémantique, consistance, complétude, etc.), mais également des développements utiles (logiques intuitionniste et modale) et aussi des approches originales (probabilités).
Les auteurs accordent une attention rigoureuse à la présentation et à l’explication des concepts des calculs propositionnels. Formellement très simples, les calculs propositionnels constituent un terrain idéal pour s’initier aux manipulations symboliques. En ce qui concerne, plus généralement, l’usage du formalisme, les auteurs privilégient une attitude pédagogique sans pour autant faire de concessions. La logique est, et restera, formelle, mais il est possible de l’apprivoiser ; et le meilleur outil pour ce faire est la pratique consistant à résoudre des problèmes. On trouvera donc dans cet ouvrage de nombreux exercices dont la plupart sont accompagnés de solutions.

Sujets

• Philosophie
• Épistémologie
• Epistémologie
• Epistémologie
• Epistémologie
• Logic
• Philosophy
• Philosophie et théologie

Informations

• Publié par: Les Presses de l'Université de Montréal
• Date de parution: 23 juin 2022
• Nombre de lectures: 1
• EAN13: 9782760645981
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

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François LepageetSamuel Montplaisir

La logique
propositionnelle et
ses variantes

Une approche comparée

Les Presses de l’Université de Montréal

La logique propositionnelle
et ses variantes

François Lepage et Samuel Montplaisir

La logique propositionnelle
et ses variantes

Une approche comparée

Les Presses de l’Université de Montréal

Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada

Titre :La logique propositionnelle et ses variantes: une approche comparée /
François Lepage, Samuel Montplaisir.
Noms :Lepage, François, auteur. | Montplaisir, Samuel, 1991- auteur.
Collection :Collection Paramètres.
Description :Mention de collection: Paramètres | Comprend des références
bibliographiques et un index.
Identifiants :Canadiana (livre imprimé) 20220003025 | Canadiana (livre
numérique) 20220003033 | ISBN 9782760645974 | ISBN 9782760645981
(PDF) | ISBN 9782760645998 (EPUB)
Vedettes-matière :RVM: Logique symbolique et mathématique.
Classification :LCC BC135.L47 2022 | CDD 160—dc23

© Les Presses de l’Université de Montréal, 2022

Bibliothèque et Archives nationales du Québec
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Dépôt légal: 2trimestre 2022

Les Presses de l’Université de Montréal remercient de son soutien financier la
Société de développement des entreprises culturelles du Québec (SODEC).

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Introduction

Les concepts fondamentaux des calculs propositionnels constituent le
noyau dur de la logique contemporaine en ceci qu’ils ne font appel
qu’à très peu d’engagements ontologiques, contrairement aux calculs
des prédicats et aux calculs d’ordres supérieurs. Le plus bel exemple est
peut-être celui du conditionnel matériel. Dans un cadre où les énoncés
dénotent soit le vrai, soit le faux (c’est-à-dire sont desnoms frégéensdu
vrai ou du faux), quelle est la structure conceptuelle la plus élémentaire
de l’implication « siA, alorsB» ?Réponse : « siA, alorsB» dénote
le faux siAdénote le vrai etBle faux, autrement « siA, alorsB»
dénote le vrai.

Tous ceux qui ont enseigné la logique élémentaire savent que la
compréhension et l’acceptation de cette caractérisation de
l’implication nécessitent une bonne dose d’abstraction. Être une courroie de
transmission de la vérité est le point commun de (presque) toutes les
implications. C’est cette caractérisation qui marquait l’implication la
plus simple, l’implication vérifonctionnelle de Philon de Mégare. Cet
exemple du caractère fondamental des concepts propositionnels peut
être généralisé. Encore une fois, la très grande majorité des concepts
fondateurs de la logique s’expriment dans la structure propositionnelle :
axiomatisation, déduction naturelle, validité, contradiction, fiabilité,
complétude, etc.

L’idée pédagogique de base du présent ouvrage est la suivante : il
est possible et souhaitable d’initier les étudiants en sciences humaines
aux grands théorèmes de la logique contemporaine en se restreignant
aux calculs propositionnels. L’accès à la métalogique des systèmes plus
complexes, qui possèdent, bien sûr, tous une structure propositionnelle,
peut ainsi se développer sur une base solide.

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La logique propositionnelle et ses variantes

La lecture de cet ouvrage nécessite une bonne connaissance de la
logique élémentaire telle qu’on la présente dans un cours d’introduction.
Elle ne suppose donc aucune connaissance de la métalogique. L’étudiant
devrait maîtriser les tables de vérité, et donc la notion d’interprétation
vérifonctionnelle. Une certaine connaissance des méthodes élémentaires
de la déduction naturelle ainsi que de la méthode des arbres est aussi
nécessaire.

Étant donné le public visé, nous n’avons pas jugé bon d’aborder
les questions plus formelles de la théorie de la démonstration. Elles
pourront l’être dans un cours spécifique consacré à ces questions.

L’ouvrage se compose de six chapitres et deux annexes. Il contient
de nombreux exercices, certains faciles, d’autres plus difficiles (nous
avons classé les exercices par (f) pour « facile », (m) pour « modéré »
et (d) pour « difficile », bien que ce classement soit assez subjectif). Les
solutions de la très grande majorité d’entre eux se trouvent à la fin des
chapitres ou des annexes. Nous recommandons fortement aux lecteurs
d’essayer de trouver les solutions par eux-mêmes avant de consulter les
solutions proposées. Un astérisque signale qu’une solution se trouve à
la fin des chapitres ou des annexes.

Le premier chapitre est consacré à la métalogique du calcul
propositionnel classique présenté sous une forme axiomatique, comme le
veut la tradition en philosophie. Tous les éléments qu’on y trouve ne
sont pas nécessaires à la compréhension du reste de l’ouvrage, mais
nous pensons que la plupart d’entre eux sont une excellente initiation
à l’apprentissage de l’élaboration depreuvesen métalogique. Car la
logique ne s’apprend pas, ce qui s’apprend, c’est comment reconnaître
une preuve et, plus encore, comment élaborer une preuve.

De nombreux sujets sont abordés dans ce premier chapitre.
L’enseignant pourra choisir de laisser de côté certaines sections, quitte à y
revenir si besoin est. Certains nous reprocheront peut-être d’appuyer
un peu lourdement sur des points de détail. Ce qui va de soi pour le
chercheur dont la pratique quotidienne consiste à fabriquer des preuves
ne va pas de soi pour celui qui s’initie à cette pratique. Nous avons tenté
de toujours garder un souci pédagogique en utilisant une langue
précise et en évitant les usages métaphoriques, sauf lorsque ceux-ci avaient
justement un impact pédagogique positif.
Le second chapitre est consacré à la logique partielle, dont le
principal intérêt est sa proximité avec la partie « classique » de la logique

Introduction

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intuitionniste, c’est-à-dire la partie qui n’utilise pas le conditionnel
intuitionniste. Cette logique propositionnelle constitue une bonne
introduction aux concepts de monotonie et de persistence, qui seront utiles
dans d’autres chapitres. On y trouvera également une étude des
tableaux sémantiques pour la logique partielle, qui seront également utiles
pour l’analyse de la logique intuitionniste.

Le troisième chapitre est une introduction à la logique modale
propositionnelle. On pourrait trouver présomptueux de prétendre
introduire les lecteurs à la logique modale propositionnelle en un chapitre.
Un titre plus humble et plus approprié aurait pu être « Une brève
introduction aux concepts fondamentaux de la logique modale », mais
cela aurait été trop long pour un titre de chapitre.

Notre approche, qui est tout à fait standard, est l’approche
kripkéenne en termes de mondes possibles (qui ici, bien sûr, seront des
ensembles d’énoncés). Un énoncé est nécessaire à un monde donné si,
et seulement si, il est vrai dans tous les mondesaccessibles. Un énoncé
est possible dans un monde donné si, et seulement si, il est vrai dans au
moins un mondeaccessible. La relation d’accessibilité étant arbitraire,
elle peut prendre diverses formes et donner lieu à différentes structures.
Différents systèmes sont présentés dans le troisième chapitre, et une
attention particulière est accordée aux systèmes appelésS4etS5.S5
traduit les notions les plus intuitives de la nécessité et de la possibilité :
tous les mondes possibles accessibles à partir d’un monde possible sont
accessibles entre eux;S4permet de modéliser la logique intuitionniste.
Le chapitre se termine par la démonstration de la complétude des divers
systèmes.

Le quatrième chapitre est une introduction à la logique
intuitionniste propositionnelle. Après quelques mots sur la motivation qui appuie
cette approche, une axiomatique simple et très intuitive est présentée.

Nous introduisons ensuite une sémantique à la Kripke (en fait, une
variante deS4) avant de passer à la présentation des arbres de Beth
comme méthode pour tester la validité. L’idée est simple : si une
expression bien formée n’est pas valide, on peut construire un modèle où
cette expression bien formée est fausse. Enfin, le quatrième chapitre se
termine par les preuves de fiabilité et de complétude.

Le cinquième chapitre est consacré aux interprétations probabilistes
du calcul propositionnel classique. Après un court rappel historique
concernant les rapports entre le calcul propositionnel classique et les

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La logique propositionnelle et ses variantes

probabilités suivi par une caractérisation plus ou moins formelle de
la validité probabiliste, une axiomatisation du concept de probabilité
conditionnelle n’utilisant pas le concept de vérité est proposée. Un
système plus « convivial » et plus adapté au calcul propositionnel classique
et plus pédagogique est présenté. Il s’agit d’un système de la déduction
naturelleDNstandard. L’équivalence des deux systèmes est
démontrée. On introduit alors un système de la déduction naturelle équivalent
∗
DNencore plus convivial qui n’utilise que les connecteurs∧et¬. On
∗
démontre la fiabilité et la complétude deDNpour les interprétations
probabilistes.

Le sixième et dernier chapitre est également consacré aux
interprétations probabilistes, mais cette fois pour la logique intuitionniste
propositionnelle. Comme dans le chapitre précédent, on utilise un
système de déduction naturelle qu’on appelleDN Iet qui possède toutes
les règles deDN, à l’exception de la règle d’élimination de la négation,
celle-ci n’étant pas valide en logique intuitionniste.

La grande innovation par rapport au calcul propositionnel classique
est que la probabilité du conditionnel intuitionniste est la probabilité
du conséquent conditionnelle à l’antécédent. Pour cela, un nouveau
connecteur appelé lanégation forteest introduit. Il s’agit en fait de
la négation partielle forte de Kleene du deuxième chapitre. Finalement,
un modèle canonique est défini, et la complétude est démontrée.
Ce chapitre est le plus original de l’ouvrage. Il propose une
interprétation de la probabilité du conditionnel qui est très intuitive une