Relativité restreinte, mécanique quantique et relativité générale : Base physique et mathématique de la relativité restreinte et générale et de la mécanique quantique

Bruno Rossetto

Description

Cet ouvrage s’adresse à tous ceux qui veulent s’initier de manière progressive, raisonnée, construite, à la relativité restreinte, à la mécanique quantique et à la relativité générale, comprendre les démarches mises en œuvre, apprendre les mathématiques utilisées, connaître l’histoire de l’évolution des idées.
L’objectif est pédagogique. Pas de découpetages d’algébrie, de dosotages sophistiqués. Grâce à une présentation claire et aussi simple que possible, il s’attache à permettre à tout lecteur dont le niveau correspond à la fin d’un premier cycle scientifique universitaire, d’entrer directement dans le vif du sujet, d’avancer en étant accompagné et, le plus important, de comprendre pourquoi, à partir de postulats élémentaires et à l’aide d’outils mathématiques appropriés, on arrive à décrire des phénomènes souvent complexes, peu intuitifs et même paradoxaux, et à retrouver les valeurs issues de l’expérience, certaines avec une précision faramineuse.
Dans cet ouvrage, les mathématiques sont mises en place sans concession, mais l’équilibre est recherché en permanence entre les idées concrètes et le formalisme abstrait, entre la simplicité de la démarche et la difficulté des calculs. De nombreux tableaux peuvent servir de formulaires raisonnés.

Sujets

• Science

Informations

• Publié par: Les Éditions du Net
• Date de parution: 07 août 2023
• Nombre de lectures: 8
• EAN13: 9782312135281
• Langue: Français

Extrait

RELATIVITÉ RESTREINTE, MÉCANIQUE QUANTIQUE ET RELATIVITÉ GÉNÉRALE
BRUNO ROSSETTO
RELATIVITÉ RESTREINTE, MÉCANIQUE QUANTIQUE ET RELATIVITÉ GÉNÉRALE
Base physique et mathématique de la relativité restreinte et générale et de la mécanique quantique
LES ÉDITIONS DU NET
126, rue du Landy 93400 St Ouen
Du même auteur
Analyse harmonique, Cours et exercices (184 p.), éd. Ellipses (1997)
Stratégies pour la réussite de l’Université (139 p.), éd. Laurens Lévy (2006)
Les mathématiques en fiches de travail (474 p.), éd. Ellipses (2014)
Encore des maths ! Mais pour quoi faire ? De la musique, bien sûr ! (84 p.), co-auteur Pascal Reymond, éd. Universitaires Européennes (2019)
© Les Éditions du Net, 2023
ISBN : 978-2-312-13528-1
Tout s’explique !
Stéphanie Bouillard
Depuis que les mathématiciens ont envahi la théorie
de la relativité, moi-même je n’y comprends plus rien.
Albert Einstein, cité par Carl Seelig
dans Albert Einstein (Europa Verlag, Zurich,1960)
SOMMAIRE
Sommaire
Avant-propos
P REMIÈRE PARTIE
Relativité restreinte
Introduction
Les problèmes de la mécanique newtonienne
1
Les postulats de la relativité restreinte
2
Outils mathématiques : quadrivecteurs, tenseurs
2.1. Symboles, notations, règles et conventions
2.2. Quadrivecteurs, coordonnées contravariantes
2.3 . Produit scalaire, tenseur métrique, coordonnées covariantes, espace dual
2.4. Sur les coordonnées, le produit scalaire, les quadrivecteurs
3
La relativité de l’espace et du temps
3.1. Changement de repère galiléen
3.2. Invariance de l’intervalle pour des repères inertiels
3.3. Cône de lumière
3.4. Temps propre, dilatation du temps, contraction des longueurs
4
Équivalence masse – énergie
4.1. Ligne d’univers, quadrivecteurs vitesse et impulsion-énergie
4.2.
5
Électromagnétisme et relativité restreinte
5.1. L’unification des champs électrique et magnétique
5.2. Les équations de Maxwell
Annexe de la première partie
Annexe 1. Transformation de Lorentz
A1.1. Obtention de la transformation de Lorentz à partir des deux postulats de la relativité restreinte
A1.2. Démonstration directe de l’invariance de l’intervalle à partir des deux postulats.
A1.3. Le groupe de Lorentz
A1.4. Relation entre les TL des coordonnées contravariantes et covariantes
A1.5. Propriété
Annexe 2. Principe de moindre action et relativité restreinte
A2.1. Le principe de moindre action en physique
A2.2. Le principe de moindre action en relativité restreinte
a) Le lagrangien en relativité restreinte
b) Le principe de moindre action en relativité restreinte et les équations du mouvement dans un champ électromagnétique. L’action correspondant à ce lagrangien prend différentes formes
D EUXIÈME PARTIE
Mécanique quantique
1
Introduction
1.1. Le déterminisme laplacien
1.2. La dynamique newtonienne
1.3. Quelques problèmes posés par la physique classique
1.4. Quantification de l’énergie
2
Les mathématiques de la mécanique quantique
2.1. Espace de Hilbert
2.2. Espace des états, superposition linéaire
2.3. Représentation –q, représentation –p, lien entre elles
2.4. Observable
2.4.1. Quelques observables, leurs valeurs propres ou fonctions propres
a) Observables position et impulsion
b) Observable moment cinétique générique
c) Observable hamiltonien
d) Lien entre les représentations et . Par transformée de Fourier (cf. Représentations)
2.4.2. Ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC)
a) Observables , et . Représentation . Les observables position, dont les opérateurs sont
c) Observables moment cinétique . Si l’hamiltonien n’est pas spécifié, et forment un ECOC
d) Observables hamiltonien et moment cinétique
e) Observables hamiltonien, moment cinétique et spin.
2.5. Moyenne ou espérance quantique
2.6. Commutateurs et relations d’incertitude d’Heisenberg
3
Les 7 postulats de la mécanique quantique
3.1. Principe de superposition, état d’un système
3.2. Principe de correspondance, opérateurs
3.3. Mesure
3.4. Interprétation probabiliste
3.5. La mesure fige l’état du système
3.6. É volution d’un système, équation de Schrödinger
4
Moment cinétique
4.1. Opérateur moment cinétique générique
4.2. M oment cinétique orbital.
4.3. Harmoniques sphériques, onde plane sphérique en représentation
4.4. Spin
5
L’équation de Schrödinger
5.1. D’où vient l’équation des ondes en mécanique classique ?
5.2. La démarche de Schrödinger (1925)
6
Particule libre. Onde plane sphérique
7
L’atome d’hydrogène
7.1. L’atome de Bohr
7.2. Calcul des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
8
Potentiel central
9
Oscillateur harmonique
9.1. É quation de Schrödinger pour l’oscillateur harmonique
9.2. Quantification des niveaux d’énergie
9.3. Fonction d’onde de l’oscillateur harmonique
9.4. Application à l’étude du corps noir
9.5. Autre application de l’oscillateur harmonique
10
Mécanique ondulatoire
10.1. Notion de vitesse de groupe et de vitesse de phase
10.2. Lien entre vitesse de groupe et vitesse de phase
10.3. Onde associée de Louis de Broglie ou onde de matière
10.4. Mécanique ondulatoire et électrodynamique quantique
11
Propagateur
11.1. Définition du propagateur
11.2. Propagateur de la particule libre
11.3. Où l’on retrouve les postulats de L. de Broglie et de M. Planck
12
Électrodynamique quantique
12.1. Les bases de l’électrodynamique quantique
12.2. Amplitude de probabilité de présence, intégrale de chemins, diagrammes de Feynman
12.3. Quelques résultats de l’électrodynamique quantique
Annexes de la deuxième partie
A1. Sur le principe de moindre action
A1.1. Le principe de moindre action en mécanique classique
A1.2. Le principe de moindre action en mécanique quantique
A2. Le vide quantique
A2.1. Génération de paires particules-antiparticules virtuelles.
A2.2. Polarisation du vide
A3. Intrication quantique
T ROISIÈME PARTIE
Relativité générale
1
Coordonnées polaires : un exemple simple de repère naturel et de symboles de Christoffel
1.1. Coordonnées curvilignes : cas des coordonnées polaires
1.2. Repère naturel, ou base naturelle, en coordonnées polaires
1.3. Le problème fondamental de l’analyse tensorielle. Symboles de Christoffel. Cas des coordonnées polaires
1.4. Propriétés des coordonnées polaires
2
Repère naturel
2.1. Coordonnées curvilignes : cas des coordonnées sphériques
2.2. Repère naturel, ou base naturelle, en coordonnées sphériques
2.3. Le problème fondamental de l’analyse tensorielle. Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques
2.4. Evolution d’un vecteur le long d’une courbe sur une variété dans un espace de Riemann. Transport parallèle
3
S ymboles de Christoffel
3.1. Définitions et propriétés
3.2. Expressions des symboles de Christoffel de 1 ère espèce en fonction du tenseur métrique
4
Dérivée covariante
4.1. Gradient
4.3. Dérivée covariante
4.4. Représentation de la dérivée covariante
5
Transport parallèle
5.1. Définition
5.2. Illustration géométrique dans
5.3. Géométrie du transport parallèle
5.4. Propriétés
6
Relativité générale
6.1. Les problèmes posés par la relativité restreinte
6.2. Le principe d’équivalence de la relativité générale
6.3. Le formalisme de la relativité générale
6.4. Rappels
6.5. Géodésiques
7
Courbure, tenseurs de Riemann-Christoffel, Ricci, Einstein
7.1. Dérivée covariante seconde
7.2. Tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure
7.3. Géométrie du tenseur de Riemann-Christoffel
7.4. À propos du tenseur de Riemann-Christoffel
7.5. Tenseur de Ricci et courbure scalaire
7.6. T enseur d’Einstein
8
Le tenseur énergie - impulsion
8.1. Le tenseur énergie - impulsion en relativité restreinte
8.2. Le tenseur énergie - impulsion en relativité générale
8.3. Propriétés du tenseur énergie - impulsion en relativité générale
9
Équation d’Einstein
9.1. Le tenseur énergie - impulsion en relativité générale
9.2. Le tenseur de courbure
9.3. L’équation d’Einstein
9.4. Résolution de l’équation d’Einstein
Annexe de la troisème partie
Principe de moindre action en relativité générale
Index
Table des matières
AVANT-PROPOS
Cet ouvrage s’adresse à tous ceux qui veulent s’initier de manière progressive, raisonnée, construite, à la relativité restreinte, à la mécanique quantique et à la relativité générale, comprendre les démarches mises en œuvre, apprendre les mathématiques utilisées, connaître l’histoire de l’évolution des idées.
La relativité restreinte et la mécanique quantique ont révolutionné la pensée scientifique et ont servi de base aux théories aujourd’hui en vigueur. Mais, déjà en elles-mêmes, elles ont de quoi éveiller notre curiosité.
La relativité restreinte est un modèle de théorie déductive. À partir d’un postulat élémentaire, on fait des mathématiques et on en déduit la formule la plus puissante de la physique, dans tous les sens du terme, .
L’infiniment petit est décidément déconcertant : personne ne comprend la mécanique quantique , mais chacun peut l’utiliser pour faire des calculs dont l’accord avec l’expérience est extraordinairement précis ; on apprend qu’une particule a le don de se trouver simultanément dans tous ses états, mais qu’elle le perd lorsque l’on cherche à savoir où elle se trouve et dans quel état ; on constate qu’elle reste liée à une autre particule qu’elle a côtoyée alors qu’elle se situe maintenant à distance, et que tout se passe comme si elle pouvait interagir instantanément avec elle, ce qui est incompatible avec la relativité restreinte ...
Quant à la relativité générale , elle est compatible avec toutes les observations qui ont été faites à ce jour.
Dans cette théorie, on cherche à écrire les équations du mouvement de telle sorte que la masse inerte et la masse pesante, que l’on confond déjà en mécanique newtonienne et en relativité restreinte au point de le