Les Fractions au clair

Lucien Kerhornou

Description

Les Fractions au clair est un ouvrage de « vulgarisation » mais complet, sur les fractions. Il s'adresse aux collégiens de 5ème (matheux), 4ème, 3ème et aux professeurs désireux d'étayer leurs cours par un « support : papier ou numérique », ainsi qu'à tout lecteur intéressé par le sujet. La méthode : CAC utilisée, permet d'acquérir progressivement le sujet, du cas particulier (numérique) au cas général (lettres). Cet ouvrage est innovant et original, à bien des égards, tant dans le fond que dans la forme. La difficulté rencontrée a été de faire cohabiter : « Explications » et « Concision ».

Sujets

• Sciences & Techniques
• Informatique
• Sciences
• Sciences et techniques
• Mathematics
• Multiplication
• Mathématiques
• Science formelle
• Science

Informations

• Publié par: Edilivre
• Date de parution: 10 décembre 2014
• Nombre de lectures: 1
• EAN13: 9782332825513
• Langue: Français

Extrait

Couverture
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Cet ouvrage a été composé par Edilivre
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intégrale ou partielle réservés pour tous pays.

ISBN numérique : 978-2-332-82551-3

© Edilivre, 2014
Les Fractions : Opérations sur les fractions
Avertissement :
Ce sujet : « Les fractions » est exposé selon la méthode ; « CAC » : C oncret, A bstrait, C oncret.

Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois.

C oncret : Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérir l’essentiel du « Concept Exposé » , sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un « Cas Concret » représentatif .

A bstrait : Dans un deuxième temps, le « Cas Général » du concept est étudié de manière abstraite ; c’est-à-dire : en utilisant des lettres à la place des chiffres . Dans cette phase, tous les cas possibles sont étudiés et annoncés, ainsi que les cas d’impossibilité : Division par Zéro, par exemple.

C oncret : Dans ce troisième temps, on revient à l’exposé des cas concrets décrits dans l’exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d’impossibilité.
Ceci permet de montrer comment on utilise , en pratique, le « cas général », dans un cas particulier

La « difficulté » rencontrée dans la rédaction de ce document a été d’écrire un document : « E xplicatif » , (donc long et lourd) et « Concis » à la fois.
La rédaction d’un document : « Concis » , sans explications, serait peut-être souhaitable :
Un « Résumé », en somme ! Utile, pour la mémoire, lorsque le « sujet » est acquis !

Un lecteur averti peut sauter les : « Préliminaires », en tout ou partie.
Dans ces « Préliminaires » ; l’étude : du PPCM et du PGCD, me semble toutefois intéressante.

Résumé
N°
N°Chapitre
Désignation
Page
1
1.1.6.5
Décomposition d’un nombre entier en « Facteurs premiers ».
72 = 8 * 9 = 2 3 * 3 2
21
2
3.1
Notions : « d’ Égalités » et « d’ Identités » Voir§ 3.2
59
3
1.1.7
PPCM(a,b) : Définition, Calcul, Règle générale de calcul , Utilisation
PPCM(a,b) ≡ a * b ; S’il n’y a p as de facteurs communs dans les Développements(a et b).
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b ; S’il y a des facteurs communs dans les Développements(a et b).
Calcul du PPCM(a,b) : a et b : Entiers positifs.
Utiliser tous les facteurs premiers , des développements de (a et b).
Choisir, pour chaque facteur, l’exposant le plus grand .
Lien : { PPCM(a,b), PGCD(a,b) };
PPCM(a,b) * PGCD(a,b) ≡ a * b ≡ b * a
23
4
1.1.8
PGCD(a,b) : Définition, Calcul, Règle, Utilisation :
Simplification des fractions ;
Pour calculer le PGCD(a,b) :
N ’ utiliser que les facteurs premiers communs de : a et b.
Choisir , pour chaque facteur commun, l’exposant le plus petit.
38
5
1.1
Notion et définition de Fraction.
Fraction ≈ Division non calculée ; Reste nul ou négligeable.
8
6
1.1.4/1.1.5
Comparer Division et Fraction.
Division : D ≡ (d * Q) + R R =0 ou R ≠ 0 ; R < Q
11
7
2
Opérations sur les Fractions : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.
43
8
2.2.3
Addition de Fractions
Réduction des fractions au même Dénominateur : « DCF ».
Choix, comme D énominateur C ommun des F ractions : le PPCM(D1,D2).
Multiplier : D 1 de F1 et donc N1 de F1 par : PPCM(a,b) / D1.
Multiplier : D2 de F2 et donc N2 de F2 par : PPCM(a,b) / D2.
On est « ramené » à l’addition de 2 fractions de « même dénominateur » : PPCM(D1,D2).
46
9
2.3
Soustraction de fractions : Idem à l’Addition.
52
10
2.4
Multiplication de fractions
pour multiplier des fractions entre elles :
Multiplier les numérateurs entre eux.
Nr = N1 * N2 *……
Multiplier les dénominateurs entre eux.
Dr = D1 * D2 *……
53
11
2.5
Division de fractions
Pour « Diviser » deux fractions, on « Multiplie » la première fraction par la seconde renversée . Utilisation d’un cas connu : « multiplication des fractions ».
Fr = N1 * D2
D1 N2
54
12
2.6
Élévation d’une fraction F à une puissance p : F p
Pour élever une Fraction à une « Puissance : p ’ :
Élever N (Numérateur) à la puissance : p
Élever D (Dénominateur) à la puissance : p
Fr = F p = (N/P) p = N p / D p
55
1 Préliminaires
L’étude des « Fractions », des « Opérations sur les Fractions » n’est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que :
Définitions de :
– Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d’un nombre,
– M ultiple C ommun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b),
– Décomposition d’un nombre en Facteurs Premiers,
– PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b),
– PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b).
Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces « notions et définitions préalables ».
1.1 Notion de Fraction
Dans le langage courant, je dis : « donnes moi une fraction de ton gâteau » ; ou de tes économies ; cela veut dire :
« Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies ».
Plus précisément, les « Fractions » sont très utilisées dans les partages des Choses, d’Argent, de Grandeurs… entre plusieurs personne s ; Chez le notaire par exemple .
On dit que l’on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales (Equipartition).
Les partages sont donc supposés être équitables ; C’est-à-dire être effectués à parts égales : Equipartition.
Commençons par le partage d’une chose en plusieurs parts égales.
1.1.1 Exemple1 : Partage d’une maison
Un père de famille possède une (« 1 ») maison d’une valeur de : 200 000 €uros .
Il a : Trois enfants .
Il désire vendre la maison : 200 000 € et partager sa valeur entre les trois enfants.
Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable :
200 000 € : 3 = 66 666, 66€ ou 200 000 € / 3 = 66 666,66 € ou
200 000 €
= 66666,66 €
3
La part de chacun est donc : 66 666,66 € environ ; mais ce chiffre n’est pas tout à fait exact.
En effet :
66 666,66 € * 3 = 199 999,98 € et non pas 200 000 €.
66 666,66 € est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant.
On peut approcher aussi prêt que l’on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l’atteindre cependant. En effet : 200 000 n’est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit).
1.1.2 Exemple1 : Partage d’un camembert
Qu’est-ce qu’un camembert ? Toto répond : « Quelque chose qui pue, Monsieur » !
Ce n’est évidemment pas la réponse attendue !
Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d’égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d’argent, un sac de bonbons, un sac de canettes,
une longueur : 1 dm =
1 m
; 1 cm =
1 m
; une masse, etc…
10
100
Ce peut être aussi un « Camembert » !
Si on divise, partage, un : (« 1 ») camembert entier en 2 parties égales , chaque partie est appelée : moitié .
Chaque moitié représente 1 part sur les deux parts égales découpées dans le camembert.
Cela s’écrit :
1
1 ≈
1
: C’est tout le camembert ;
2
1
1 (Numérateur) : C’est le nombre de parts considéré, dans le camembert
2 : C’est le nombre de parts du Camembert.
1
: C’est la moitié du camembert
2
Si on coupe le camembert en 3, Chaque part vaut 1/3 (un tiers) du Camembert
Deux parts valent 2 / 3 du camembert 1/3 * 2 = 2/3 (deux tiers) du Camembert
Si on coupe le camembert en 4, chaque part vaut 1/4 (un quart ) du Camembert
3 parts valent 3/4 du camembert ; 1/4 * 3 = 3/4 (Trois quarts) du Camembert.
Si on coupe le camembert en 5, chaque part vaut 1/5 (un cinquième) du Camembert ; etc…
5 / 5 = 1 1 = tout le camembert ; 5/5 = (cinq cinquième.) du Camembert. Etc…
Peu importe, la taille du camembert ; Petit ou grand, c’est un (« 1 » en maths) camembert !
1.1.3 Définition d’une Fraction
Une fraction est une Division que l’on a posée mais que l’on n’a pas calculée, résolue .
Souvent cette division n’est pas exacte . On peut toutefois la calculer, si on le désire, avec toute la précision voulue ; c’est-à-dire avec le nombre de décimales nécessaires.
Ex : 20/3 = 6,66…
20/3 = 6,6666666…
20 /3 est une valeur exacte ;
6,66… est une valeur approchée
Quand on manie des nombres, on préfère manier des nombres exacts, que des nombres approchés (surtout aujourd’hui, avec les ordinateurs : Itération des calculs, effets de « bord »).
1.1.4 Rappel de la Division
Quatre grandeurs interviennent dans toute division :
Le Dividende : D ; C’est le nombre à diviser. Opérande 1.
Le Diviseur : d ; C’est le nombre par lequel on divise le dividende ; d ≠ 0. Opérande 2
Le Quotient : Q ; C’est le premier résultat de la division : du dividende par le diviseur. Résultat 1
Le Reste : R ; Deuxième résultat ; Il peut être : nul ou pas ;
Reste < Quotient . Résultat 2
Si R est nul alors la division est dite « juste » ;
Sinon elle est dite « approchée ».
Ex : Soit la division : 20 / 3 = 6,66 ; 6,66 * 3 = 19,98
R = 0,02.
« / »
est l’Opérateur de la Division.
20
est le Dividende : D.
3
est le Diviseur : d.
6,66
est le Quotient :
Q : Résultat ou V aleur n umérique
d écimale , approchée, de la division.
0,02
est le Reste : R.
R est souvent négligeable mais
pas toujours .
On a entre ces 4 éléments les relations :
La Division a deux résultats : Q et R
D ividende ≡ ( D iviseur * Q uotient) + R este
Ex : 20 = ( 3 *6 ) + 2
Reste ≠ 0 ;
I ci : R = 2 (Significatif)
20 = (3 * 6,66) + 0,02
Q : Premier résultat
R este < Diviseur
R este, plus petit que le Diviseur ;
R : Deuxième résultat
1.1.5 La Fraction
1.1.5.1 Présentation
La « Fraction » se présente sous la forme suivante : « Nombre du Haut » divisé par « Nombre du bas » .
Soit :
Fraction : →
Nombre du Haut
→
Numérateur
; C’est le